课时分层评价27 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价27 用向量方法研究立体几何中的位置关系用P25 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.设直线1的方向向量为a,平面α的法向量为b,若ab=0,则( A.1∥a B.ICa C.l⊥a D.1coa或l∥a 答案：D 解析：因为b=0,所以1ca或I∥au.故选D. 2.若直线1的一个方向向量为a=(2,2,一2)，平面a的一个法向量 为b=(1,1,-1),则( A.1⊥a B.1//a C.Ica D.A,B,C都有可能 答案：A 解析：直线1的一个方向向量为4=(2,2，一2)，平面α的一个法向 量为b=(1,1,一1)，则=2b,故a∥b,所以1⊥a.故选A. 3.已知直线1的方向向量为a=(2,4,x),直线2的方向向量为b= (2,y,4),且1⊥12，则x十y=() A.-1 B.1 C.0 D.无法确定 答案：A 解析：因为1⊥12，所以aLb,即ab=0,所以4+4y+4x=0,即x 十y=一1.故选A. 4.已知平面a,B的法向量分别为a=(31+1,0,2),b=(1,2一1,2) 若a⊥B,则2的值为( ) ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A.1或-克 B.1或 C.-1或 D.-1或- 答案：D 解析：由题意知，aLb,所以32十1十22=0，所以1=-1或-.故 选D, 5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N分别为A1B,AC 的中点，则N与平面BBCC的位置关系是() A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案：B 解析：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长 为2，则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2),所以 M2,1,1),N(1,1,2),所以M示=(-1,0,1).又平面BBC1C的 一个法向量为n=(0,1,0),所以M示n=-1×0+0×1+1×0=0, 所以M示⊥，又因为W￠平面BBCC,所以MN∥平面BBCC.故 选B C 6.(多选题)如图所示，在正方体ABCD-AB1CD1中，O是底面ABCD 的中心，M,N分别是棱DD,DC的中点，则直线OM( ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A M D A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和N垂直 D.与AC,N都不垂直 答案：AC 解析：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a), A(2a,0,0),C(0,2a,0),Oa,a,0),N0,a,2a).所以OM= (-a,-a,a),M=(0,a,a),AC=(-2a,2a,0).所以0MM= 0,OMAC=0,所以OMLAC,OMLN.OM和AA1显然不垂直.故 选AC 7.己知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面a,B, y的法向量，则a,B,y三个平面中互相垂直的有 对 答案：0 解析：因为b=(0,1,1)(1,1,0)=1≠0，c=(0,1,1)(1,0, 1)=1≠0，bc=(1,1,0)(1,0,1)=1≠0，所以4，b,c中任意两 个都不垂直，即a,B,y中任意两个平面都不垂直 8.己知n=(a十b,a-b,2)是直线1的一个方向向量，n=(2,3,1) 是平面a的一个法向量，若ILa,则a,b的值分别为 答案：5，-1 解析：因为1La,所以u∥，所以驶=梦=号，所以a=5,b=一 1. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 9.(双空题)在△ABC中，A(1,-2,-1),B(0,一3,1)，C(2,-2, 1)若向量n是与AB共线的单位向量，则向量n的坐标 为 若向量n与平面ABC垂直，且||=√21，则 n的坐标为 答案 (,,-)或(-，-)(-2,4,1)或2，-4， -1) 解析：据题意，得AB=(-1,一1,2)，AC=(1,0,2)设=(c,y, Γ等=片=， 2),若向量n是与A丽共线的单位向量，则x2+y2+2=1,可得n= (,,-)或n=(-誓，-，5)若m与平面ABC垂直，则 n0副t2a=0可得x nAc=0,(x+2z=0, z=. 又因为|n|=21, 所以Vx2+y2+z2=√21，解得y=4或y=-4.当y=4时，x=-2,z =1；当y=-4时，x=2,z=-1.所以n=(-2,4,1)或n=(2,- 4,-1). 10.(13分)如图，已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，PA =AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证： (1)MN∥平面PAD: (2)平面PMC⊥平面PDC. 证明：(1)如图所示，以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分 别为x,y,之轴建立空间直角坐标系 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D y M-- 设PA=AD=a,AB=b, 则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0, 0). 因为M,N分别为AB,PC的中点，所以M(号，0,0)，N(号，，) 所以M示=(0，号，是). 法-：A=(0,0,a),AD=(0,a,0), 所以M示=号AD十号A亚 又因为N￠平面PAD,所以N∥平面PAD 法二：由题意知A配为平面PAD的一个法向量 因为A正=(b,0,0), 所以ABM=0,所以AB⊥M 又Nt平面PAD,所以N∥平面PAD. (2)由(1)知，P(0,0,a),C(b,a,0),M(号，0,0)，D0,a,0), 所以P元=(b,a,-a,pM=（号，0，-a),pPD=(0,a,-a), 设平面PMC的一个法向量为=(，1，)， nP0,1+w:=0, 则nPM=0,号x-z1=0, x1=号z1, 所以y1=-z 令1=b,则1=(2a,-b,b), 设平面PDC的一个法向量为2=(2，y2,22), ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 nPC=0, 即 (bx2+ay2-az2=0, 则{hPi=0,1ay2z2=0, x2=0, 所以y2=2 令2=1，则2=(0,1,1)， 因为12=0-b+b=0, 所以1⊥2，所以平面PMC⊥平面PDC 可综合运用(11-13，每小题5分，共15分) 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=√2， AF=1,M在EF上，且AM∥平面BDE,则M点的坐标为() A.(1,1,1) B.(99,) c.(ξ，) D.(,） 答案：C 解析：设AC与BD相交于O点，连接OE,如图所示，建立空间直 角坐标系设M点的坐标为，y,1),则09，，0，E0,0,1), 4W2,V2,0)所以=(-号，-号1)，A成=(-2，y-2, I),.由AM∥平面BDE,且AMC平面ACEF,平面ACEFO平面BDE= OE,所以AM∥OE,即O正∥AM,即AM=O正，所以 |x-反=-9a,x=, y-点=-9x解得 =号，所以M点的坐标为(9,1)故选 1=λ， C. 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 12.(多选题)2021·新高考I卷)在正三棱柱ABC-A1B1C,中，AB=AA1 =1,点P满足B=B元十uBB1,其中%∈[0,1，u∈0,1]，则() A.当2=1时，△ABP的周长为定值 B.当u=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值 C.当=时，有且仅有一个点P,使得AP⊥BP D.当u=时，有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP 答案：BD 解析：B=BC十uBB(0≤≤1,0≤u≤1)对于A,当2=1时，点 P在棱CC1上运动，如图①所示，此时△ABP的周长为AB1十AP十 PB1=2+V1+匝+V1+(1-=V2+V1++2-2+2,不是 定值，故A错误； 对于B,当u=1时，点P在棱B1C1上运动，如图②所示，则VPA,BC =VA,PBC=SarcX9=9SPC=XX1X1=吾，为定值，故 B正确；对于C,取BC的中点D,B1C1的中点D1,连接DD1,AB, 则当入=寺时，点P在线段DD1上运动，假设AP⊥BP,则AP2+BP2 =AB,即（与）十(1-P+()2+2=2,解得=0或u=1,所以 点P与点D或D1重合时，AP⊥BP,故C错误； 图① 图② 法一：由多选题特征，排除A,C,故选BD. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二：对于D,易知四边形ABBA1为正方形，所以A BLAB1,设 AB1与AB交于点K,连接PK,要使AB⊥平面ABP,需AB⊥P, 所以，点P只能是棱CC1的中点，故D正确.综上，故选BD. 法三：对于D,分别取BB1,CC1的中点E,F,连接EF,则当u= 时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点，建立如图③所示的空 间直角坐标系C1-gy%,则B0,1,1,B1(0,1,O),A(5,于，0)， P0,1-1,)所以AB=（-9,克，1)，BP=(0,-入，)易知AB LA1B,若AB⊥平面ABP,只需A1B⊥BP,所以-十号=O,解得 =1,所以只存在一个点P,使得AB⊥平面ABP,此时点P与F 重合，故D正确.综上，故选BD FP) B 图③ 13.设常数a>0.如图在矩形ABCD中，AB=1,AD=a,PD⊥平面 ABCD.若线段AB上存在点Q,使得PQ⊥CQ,则实数a的取值范围 是 答案：(0，] 解析：因为在矩形ABCD中，AB=l,AD=a,PD⊥平面ABCD,所 以以点D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、之轴建 立空间直角坐标系，如图所示.设DP=b,AQ=x(0<x<1),其中x ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =0或x=1不符合题意，则P(0,0,b),Q(a,x,0),C(0,1,0).则 有P0=(a,x,-b),C0=(a,x-1,0).由PO LCO,得P0c0=a2 十x(x一1)=0，即x2-x十a2=0,若线段AB上存在点O,即方程在(0， 1)有解，设函数x)=x2-x十a2,f0)=a2>0,对称轴为x=,则方 程在(0,1)有解需满足f(寺)=a2-≤0，又因为a>0,所以0<a≤ ,即a的取值范围为(0，是] xA Q B 14.(15分)如图①，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将 △BCD沿对角线BD折起到△BCD的位置，使平面BCD⊥平面ABD, E是BD的中点，FA⊥平面ABD,且FA=2√3，如图②. 图① 图② (1)求证：FA∥平面BCD: (2)在线段AD上是否存在一点M,使得CM⊥平面FBC',若存在， 求器的值；若不存在，说明理由， 解：(I)证明：因为BC=CD,E为BD的中，点， 所以CE⊥BD, 又平面BCD⊥平面ABD,且平面BCD∩平面ABD=BD,CEC平面 BCD, 所以CE⊥平面ABD, 因为FA⊥平面ABD, 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以FA∥CE, 而CEC平面BCD,FA中平面BCD, 所以FA∥平面BCD, (2)由(1)知，CE⊥平面ABD,AE,BEC平面ABD, 所以CE⊥AE,CE⊥BE,又AE⊥BD, 故以，点E为原，点，BD,AE,EC所在直线分别为x轴、y轴、轴建 立空间直角坐标系，如图所示 则B(1,0,0),A(0,-3,0),D(-1,0,0),F0,-3,23), C(0,0,3),FB=(1,3,-23),B元=(-1,0,3)， 设平面FBC'的法向量为=(x,y,), mF0x+3y-25z=0, 则mBC=0,气-x+V5z=0, 令z=1,则x=3,y=1,故m=(5,1,1), 假设在线段AD上存在M1,yI,1),使得CM⊥平面FBC”, 设A应=AD,则(x1,M十5，)=(-1,5,0)=(-，5,0)， 所以：=一1，=51-5，=0，则c应=(-1，V31-5, 3) (5=-t, 由m∥c,得n=tC,即 1=t5入-5)，无解，1不存在 1=-V3t, 所以线段AD上不存在点M,使得CM⊥平面FBC' 独家授权侵权必究·