课时分层评价25 空间向量运算的坐标表示及应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价25空间向量运算的坐标表示及应用用P249 (时间：60分钟满分：110分)》 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.己知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向 量a-b+4c的坐标为()】 A.(5,-1,4) B.(5,1,-4) C.(-5,1,4) D.(-5,-1,4) 答案：A 解析：M-b+4c=(3,5,-1)-(2,2,3)+4(1,-1,2)=(1,3, -4)十(4，-4,8)=(5，-1,4).故选A. 2.下列各组向量中不平行的是() A.4=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.8=(-2,3,5),h=(16,24,40) 答案：D 解析：对于A,b=一2，所以∥b:对于B,d=一3c,所以c∥d; 对于C,f是零向量，所以e∥f对于D,不满足g=h,所以g与h 不是平行向量 3.己知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),12a十b|=√29，且元 >0,则等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：1a+b=(0,一1,1)+(4,1,0)=(4,1一2,2)，由已知得1 a十b|=√4+1-)+72=√29，且1>0，解得=3.故选B. 4.在空间直角坐标系O-y%中，i,j,k分别是x轴、y轴、之轴正方 向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a,i)=45°，(a,》= 60°，则(a,k〉等于( A.60° B.45° C.60°或120 D.45°或135° 答案：C 解析：设a=(x,少，则由cos〈a,=,cos(a,》= ，c0s（a,=最7，得a-9,=生，a al =c0s(a,k,所以（ξ）+（定）2+cos2(a,k=1,所以c0s(a, k)=±号，又0°<(a,k)<180°，所以(，k)=60°或120 。故选C 5.(多选题)在空间直角坐标系中，向量=（一2，一1,1），b=(3,4, 5),则下列结论正确的是() A.(2a+b)∥a B.51 al=3b C.a⊥(5a+6b) D.a与b夹角的余弦值为兽 答案：BC 解析：2a十b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),而≠号≠7，故A 错误；|al=V6,1bl=5V2,所以5引al=3b,故B正确；(5a +6b)=5a2+6mb=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0,故C正确；m b=-5,cos (a.)=5=-县，故D错误故选BC ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.（多选题)在△ABC中，A(1,2,一3，B(一2,1,0)，C(4,0,- 2),则下列k的值满足△ABC为直角三角形的有( A.±V10 B.3 c. D.-2 答案：ACD 解析：若∠A=90°，AB=(-3,-1,3,A元=(3，一2，)，则 ABAC=(-3)×3+(-1)×(-2)十3kXk=32-7=0,所以k=± 若∠B=90°，BA=(3,1,-3),BC=(6,-1,-2k,则B函 BC=3×6+1×(-1)十(-3k)×(-2)=62+17=0,此时k无解.若 ∠C=90°，CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-),则CBCA= (-6)X(-3)十2+2kX(-)=-2k2+20=0,所以k=±√10.故选 ACD 7.(双空题)设4=(1,0,1)，b=(1,一2,2)，则|a-b1= (a,b〉= 答案：√5罩 解析：由M-b=(1,0,1)-(1,-2,2)=(0,2,-1),得1-b1 =02+2+(-1=5.因为cos(a,b)=胎==9，〈a, 3 b)∈[0，，所以(a,b〉=平. 8.已知向量a=(2,一1,3)，b=(一4,2，t)的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 答案：(-0，-6)U(-6,9) 解析：由b=2×(-4)十(-1)×2十3t=-10+3t<0,得t<9,当 (-4=21, a∥b时，b=a,即(-4,2，)=0(2，-1,3)，得 2=-入， 解得t t=3λ， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 =一6，所以当向量4，b的夹角为钝角时，t的取值范围为（一o0,一 6)U(-6,9) 9.已知A(1,0,0),B(0,一1,1)，O为坐标原点，OA+OB与O的 夹角为120°，则2的值为 答案：一9 解析：因为A(1,0,0),B(0,一1,1)，所以OA=(1,0,0),O克= (0,-1,1),所以0A+0B=(1,-1,2),所以(OA+0)OB=21, 21 因为0A+0市与0克的夹角为120°，所以c0s120°=+2脉万=-克， 显然月<0，解得1=一5 6 10.(13分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱 SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点.若AB=a, SD=b. (1)求|E京|； (2)求cos〈AG,BC〉. 解：如图所示，以点D为原点，DA,DC,DS所在直线分别为x轴、 y轴、之轴建立空间直角坐标系D-yz 则A(a,0,0),S0,0,b),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,号，0)， F(0是号)，G(0,0号) ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 E=（-a,0号)，AG=（-a,0,号)，B元=(-a,0,0). )1E1=-a+02+学= 44b (2)cos (AG,BC)=- AGBC a2 2a t=+a=4+ 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.(新角度)己知{a,b,c是空间的一组标准正交基，向量{a十b,a一b, c是空间的另一组基，若向量p在{4，b,c下的坐标为(3,2,1)， 则它在{a+b,a-b,c;下的坐标为( ) A.(3,,1) B.(3,1) C.(1) D.(3,,1) 答案：D 解析：设向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),则向量a +b=(1,1,0),4-b=(1,一1,0)，又向量p=(3,2,1),不妨设 p=(a十b)+Wa-b)+zc,则(3,2,1)=(x十y,x-y,),即 x+y=3, (x=号， x-y=2,解得y=克，所以向量p在a+h,a一b,cy下的坐标为 z=1, z=1 (,1)故选D. 12.如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小 正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形 ABCD1是下底面最大的正方形，己知点P是线段AC上的动点，点 Q是线段BD上的动点，则线段PQ长度的最小值为 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B 答案：334 34 解析：以B1为坐标原点，B1C1,BA1所在直线分别为x轴、y轴，过 B1垂直于底面的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0,0,0),A(1,2,3),C(2,1,3),D(2,2,3).设B1Q=B1D, A=AC,1,u∈0,1]，则B1Q=(2,2,3)=(2λ，22,3)，B1P B1A+A=B1A+AC=(1,2,3)+4(1,-1,0)=(1+4,2-u,3), 所以Q2=B12-B10=(1+u-21,2-W-21,3-3).所以|Q2|2 =(1+u-22+(2-u-22)2+(3-3)2=1722-30M+22-2u+14= 17(入-)+2（μ-）+是.当=号且u=时，|Q12取得最小 值异，所以线段P四长度的最小值为腰 D XB杨 A B 13.己知空间三点A(0,1,2),B(-4,一1,8)，C(2,-5,6),则以 AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 答案：283 解析：由已知AC=(2,-6,4),AB=(-4,-2,6),所以|AC1 =V2+(-6}+4=214,1A1=-42+(-2y+6=24, ACAB -8+12+24 所以cos(AC,A》=品=4x2是=支又(AC,A》∈ 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [0m],则sin〈AC,AB》=√1-cos2aCAB)=9，,所以以AB, 4C为邻边的平行四边形的面积为S=号×2V14×2V14×9×2=28 5 14.(15分)在正三棱柱ABC-A1B1C中，△ABC和△AB1C1为正三角 形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在 点N,使得向量AB,与向量M示的夹角为45°？ 解：假设存在点N,使得向量AB,与向量M的夹角为45°，以，点A 为原点，AC,AA1所在直线分别为y轴、之轴建立空间直角坐标系， 如图所示」 由题意知A(0,0,0),B1(3,1,2),C(0,2,0),B(V3,1,0),M (,.0) 又点N在棱CC1上，可设N0,2,m)0≤m≤2)， 则a丽=(5,1,2)，M=(-9,克m), 所以|AB1|=22,|M|=√m2+1,AB1MN=2m-1. ABMN 2m-1 则cos (AE1:M》=W=2Nxm本=cos45”， 即5品-9，显然2m-1>0, 该方程无解，所以在棱CC1上不存在点N,使得向量AB,与向量M的 夹角为45° @创新拓展 15.(5分)（多选题）己知单位向量i,j,k两两的夹角均为00<0<π，0 ≠受)，若空间向量a满足a=xi十i十k(x,y,之∈R),则有序实数组 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (x,y,z)称为向量a在“仿射”坐标系O-y(O为坐标原点)下的“仿 射”坐标，记作a=(x,y,)0,则下列命题是真命题的为() A.已知a=(1,3,一2)0，b=(4,0,2)0,则ab=0 B.己知a=(x,y,0)芳，b=(0,0,)芳，其中x,y,>0,则当且仅 当x=y时，向量4，b的夹角取得最小值 C.己知a=(x1,y1,1)8,b=(x2,y2,22)9,则a+b=(:十x2,y1十y2, 1+22)0 D.己知0A=(1,0,0)芳，0B=(0,1,0)芳，0元=(0,0,1)片，则三 棱锥O-ABC的表面积S=√2 答案：BC 解析：mb=(1,3,-2)0(4,0,2)0=(i+3j-2k)(4i+2k)=4+2ik +12ij+6k-8ki-4=12c0s0,因为0<0<π，且0≠号，所以mb ≠0，故A错误；如图所示，设OB=b,OA=a,则点A在平面Oyy 上，点B在之轴上，由图易知当x=y时，∠AOB取得最小值，即向 量与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可 得，a+b=(1,M,1)9+(2,y2,z2)9=(xi+yWj+zk)十(xi+yj+ 2k)=(01十x2)i+0y1十2j+(a1+z2)k=(G1+x2,yⅥ1十y2,之1十z2)0,故C 正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S =4×号×12×5=5，故D错误故选BC. 16.(17分（创新题）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四 边形，AB=(2,-1,-4),A=(4,2,0),A=(-1,2,-1). (1)求证：AP⊥底面ABCD; ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)对于向量=(：1，y1,z1),b=(x2,y2,22),c=(3,y3,3),定义 一种运算：(aXb)c=xy223十x2y3十xy122一xy22一xy23一xy221: 试计算(AB×AD)A的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积 的关系，并由此猜想向量这一运算(AB×AD)A厅的绝对值的几何意 义 解：(1)证明：因为A·AB=一2-2+4=0， 所以AP⊥AB, 又因为A·AD=-4+4+0=0, 所以AP⊥AD 因为AB,AD是底面ABCD上的两条相交直线， 所以AP⊥底面ABCD ABA币 (2)设AB与AD的夹角为0，则c0s0=D= 8-2 3 V441+16V16计4=7105， V=寺|A1|AD1sm0.|A1=号105V1-s1+4+1= 16. (3)1(AB×AD)A正|=|-4-32-4-8|=48，它是四棱锥 P-ABCD体积的3倍 猜测：I(ABXAD)A|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平 行六面体的体积」 学生用书1第106页 ·独家授权侵权必究·