3.3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

3.3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 1.若a,b,c是空间的一组基，且向量p=xa+b+2C,则(x,y,2)叫作向量p在基a,b,c以下的 坐标已知a,b,c是空间的一组基，而c,a+b,a-b是空间的另一组基，一个向量p在基 a,b,c (1,2,3) c,a+b,a-by 下的坐标为 则向量卫在基 下的坐标为() 。3 B332 231 222 D322 2.中国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马· PE=1PC 如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD,且4，若AB=a, AD=b,AP=C,则B距=() A 515 51 .5 a-二b+二G A.4441 B40+4-4 31,3 313 -a- -b- c a+-b+ C.444 D.444 3如图，在平行六面体MBCD-4B,CD中，E为BC延长线上一点，BC=2CE,则DE可以 表示为() D C 、B D B A丽+D+ B极+而- c+0+ 2 D瓜+而- 2 4如图所示，在四面体0-4BC中，O1=a,OB=b,0C=c,点M在O4上，且 ON=2M,N为C的中点，则N=() M B 1 b+c A.2-3b+2 2m+1b±1c1a+1b-2c B50+2b+ 3c 5如图，在四面体ABCD中，E,G分别是CD,BE的中点，则AG-() B+14D+14C 14B+14D+3AC A.2 2 4 B.244 。}B+D+)4C 1 C.2 4 2 D.2 4 6已知点0，A,B,c为空间不共面的四点，日向量“=O+O丽+oC,向量 b=OA+OB-OC,则与4，b不能构成空间的一组基的向量是(） A.Q1 B.OB c.oc D.OA或oB (多选)7.下列各组向量中平行的有() A.0=02,-2)b=(-2,-4,4 B.c=(1,0,0)d=(←-3,0,0) c.e=(23,0)f=(0,0,0) D.8=（-2,35)h=16,24,40) 8.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a(b+c)的值为 9.已知4=(，5，-1)，b=(-2,3,5) (1)若(a+b)/(a-3b),则实数元的值为 (2)若(2a+b)1(a-3b),则实数元的值为 10.已知向量a=(,1,0),b=（-l,0,2),c=(x,-l,2),若a,b,c是共面向量，则x= 答案以及解析 1.答案：B 解析：设向量p在基c,a+b,a-b}下的坐标为x,y,2), p=xc+y(a+b)+z(a-b)=(y+z)a+(y-2)b+xc. x=3, 3 因为向量p在基 下的坐标为 ,所以 ,则y+2=解得 y= 2' y-z=2, 1 (1,2,3) p=a+2b+3c x=3, 2= fa,b,cj 21 3 3 1 故向量p在基{c,a+b,a-b下的坐标为2’2故选B. 2.答案：D 解析：连接4C. E=BP+PE=AP-4B+-PC -AP-AB+(4C-AP)-AP-4B+i(AB+4D-AP)-c-a+i(@+b-e)--3q+1b+ 4a+b+ -c 4 44 3答案：B 解折：因为C2派，所以E-C 所以DE-E-0=+E-(D+4)=历+BC-(D+4) =孤+D-(D+)=孤+而-故选B 4.答案：B ,0M=20A 解析：因为OM=2MaA,所以O 3 瓜-0丽-0m-0丽+xci--子，达 所以 2 2 5.答案：D 解析：由E,G分别是CD,BE的中点， 则c-号旺.正0.无=+元-+正+c+ 2 +5c而+-西+号c-亚+0-0丽+号D+c板选心 6.答案：C 解折；~0C-a1+05+00-o+0丽-0C-a-,:0C与45不柜利皮的 一组基故选C 7.答案：ABC 解析：A中，b=-2a,故a/b; B中，d=-3c,故e: C中，零向量与任何向量都平行； D中，不存在实数九使h=g,故向量g与h不平行故选ABC. 8.答案：5 解析：因为b=(2,0,3),c=(0,2,2), 所以b+c=(2,2,5), 又因为4=(2,3，-)， 所以a(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5. 1 9.答案：(1)3 106 (2)3 解析：(1)因为a=(1,5,-),b=(-2,3,5), 所以4-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(1,5-1)-(-6,9,15)=(7,-4,-16), 2a+b=2(1,5,-1)+(-2,3,5)=(2,52,-2)+(-2,3,5)=(2-2,52+3,-元+5) 2-25+3-+5 1 =- 因为（⑦a+b)/(a-3b),所以7-4-16，解得-3 (2)因为(a+b)1(a-3b),所以（元-2,5元+3，-元+5）(7，-4，-16)=0， 106 即7(2-2)-4(5元+3)-16(-元+5)=0，解得-3. 10.答案：-2 解析：由于a,b不共线，且和c共面，根据平面向量的基本定理，有唯一的实数对m,n, 使c=ma+nb,即(x,-1,2)=(m-nm,2n, x=m-n, m=-1 即 -1=m,解得n=l 2=2n, x=-2.