3.3.1空间向量基本定理（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及基底概念，通过回顾平面向量基本定理，类比提出空间向量表示的猜想，构建从平面到空间的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点是以类比思想为主线，新知探究通过几何构造与分情况讨论，培养数学思维中的逻辑论证能力，典例分析结合平行六面体实例，体现数形结合。助力学生提升空间想象与推理能力，为教师提供系统教学流程和分层练习资源。

3.3.1空间向量基本定理 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解空间向量基本定理的内容，掌握 “基底” 的概念，能运用定理对空间向量进行分解. 通过类比平面向量基本定理，经历空间向量基本定理的探究过程，提升类比推理、空间想象与逻辑论证能力. 体会 “平面到空间” 的数学推广思想，感受空间向量的严谨性与系统性. 平面内，给定两个不共线的向量,，对于平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对，使得. 问题2：对于空间任意向量，能否用几个特定的向量来表示呢？如果能，需要几个？需要满足什么条件？ 知识回顾 问题1：平面向量基本定理的内容是什么？请用自己的语言解释？ 猜想： 确定一个平面需要两个不共线向量 类比 确定一个空间可能需要三个不共面的向量 特别地，当,为直角坐标系基向量时，就是向量的坐标. 新知探究 1.构造几何图形： 探究：空间中，若给定三个不共面的向量，对于空间任意向量，能否用线性表示？ 过空间任一点 因为不共面， 故四点不共面. 作=,,=, 新知探究 2.分情况讨论向量： 情况1：点不在直线上 过作∥，交平面于， 由平面向量基本定理，= 又∥， 故=. 因此=+=. 探究：空间中，若给定三个不共面的向量，对于空间任意向量，能否用线性表示？ 新知探究 2.分情况讨论向量： 情况2：点在直线上 存在实数使得= 即,， 也满足 综上，空间任意向量都可表示为 探究：空间中，若给定三个不共面的向量，对于空间任意向量，能否用线性表示？ 概念深化 1.空间向量基本定理 如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 问题3：类比平面向量基本定理中的“基”的概念，说说什么是空间向量的“基”？构成基的向量需满足什么条件？ 由空间向量基本定理可知，若不共面，则所有空间向量组成的集合就是,这个集合可以看成是由生成的. 我们把称为空间的一组基,其中都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 概念深化 1.空间向量基本定理 2.基底的概念 我们把称为空间的一组基,其中都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 即时训练：已知构成空间的一个基，从中选择哪一个向量可以与向量构成空间的另一个基？ 如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 ∵ 构成空间的一个基， ∴ 不共面. 由平面向量基本定理知， 均与共面. 故与构成空间的另一个基. 概念深化 1.空间向量基本定理 2.基底的概念 我们把称为空间的一组基,其中都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 问题4：如何证明空间向量基本定理中实数的唯一性？ 如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 概念深化 问题4：如何证明空间向量基本定理中实数的唯一性？ 证明 假设还有另一个三元有序实数组也满足，则 ， 不妨设，则 . 也就是说，向量可以被向量线性表示，不难得出，此时向量应该与向量共面，这与是空间三个不共面的向量矛盾.因此，.同理可得,. 因此，空间向量基本定理中三元有序实数数组具有唯一性. 概念深化 1.空间向量基本定理 2.基底的概念 我们把称为空间的一组基,其中都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 3.三元有序实数数组的唯一性 空间向量基本定理中三元有序实数数组具有唯一性. 如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 例1 如图，在平行六面体中，点是的对角线的交点，点是棱的中点，如果试用表示. 典例分析 分析 将分解为+的路径，再逐一用基底表示. 解 因为点M的为的对角线的交点, 所以, 又, 所以 N M D' C' C B' A B A' D 用基表示向量要结合向量的加减法运算法则寻找目标向量与基向量的关系. 1.已知空间向量的一组基，，. (1)写出一个与向量平行的向量. (2)写出一个与向量共面的向量. (3)向量是否共线？是否共面？ (4)写出一个向量，使之与向量构成空间向量的另一组基. 巩固训练 2.如图，在长方体中，点分别是,的中点，点为的中点.设 ，用表示下列向量： (1)；(2). 巩固训练 解 (1)答案不唯一，如. (2)答案不唯一，如. (3)不共线，但它们共面. (4)答案不唯一，如. 1.已知空间向量的一组基，，. (1)写出一个与向量平行的向量. (2)写出一个与向量共面的向量. (3)向量是否共线？是否共面？ (4)写出一个向量，使之与向量构成空间向量的另一组基. 巩固训练 解 (1). . . . 2.如图，在长方体中，点分别是,的中点，点为的中点.设 ，用表示下列向量： (1)；(2). (2). . 基本知识： (1) 空间向量基本定理： (2) 基底的概念： 基本方法： 平面向量 → 类比 课堂小结 基本思想： (1) 类比思想； (2) 数形结合思想. 空间向量 不共面的三个空间向量 基础作业： 习题3-3A组第1题，第2题，第6题 拓展练习： 思考如何类比“平面向量运算的坐标表示”定义“空间向量运算的坐标表示”？ 布置作业 感谢聆听! $