课时分层评价20 直线与圆锥曲线的综合问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价20 直线与圆锥曲线的综合问题用P239 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.若椭圆的左、右焦点分别为F,F2,过乃的最短弦PQ的长为10， △PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为() A. B. C.号 D誓 答案：C 解析：如图所示，PQ为过F且垂直于x轴的弦，则Q(-c,),△ P℉0的周长为36，所以4a=36,a=9.由已知得号=5，即￥=5， 解得c=6,所以写=号，即e=号.故选C 2.直线y=x一1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是() A.(,-) B.(-号) C.(,-) D.(-) 答案：A [y=x-1, 解析：联立直线与椭圆的方程，得方程组{2x2+y2=4,消去y得2 十(x一1)2=4，即3x2-2x一3=0，所以弦的中点的横坐标是x=号×号 =寺，代入直线方程y=x一1中，得y=一号，所以弦的中点坐标是 (寺，-号)故选A. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.过椭圆x2十2y2=4的左焦点作倾斜角为罗的弦AB,则弦AB的长为 () A.9 B.8 c.9 D.6 答案：C y=5x+瓦：消去 解析：易求直线AB的方程为y=3(x+2)由x2+22=4, y并化简、整理，得7x2+12√2x十8=0.设A(,y),B(,2),则 y十2=- 乎，=号由弦长公式，得|AB1=1+k区|一 =1+5×(-9)-4×号=9.故选C 4.已知双曲线C:等-器=1a>0,b>0)与斜率为1的直线交于4， B两点，若线段AB的中点为(4,1)，则C的离心率e等于() A. B与 C.2 D.5 答案：B 解析：设40，B,均.因为-得=1，兰得=1，所以 ))VV2V 3 =0,又AB的中点为(4,1)，所以灯十x2=8, n十=2，所以兴=警由题意知兴=1，所以华=1，即草=， 则C的离心率e=1+竖=故选B. 5.已知F是椭圆器十号=1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦， 则△ABF面积的最大值为() A.6 B.12 C.15 D.20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：B 解析：由已知得a=5,b=3,c=√25-9=4，设A(1,y1),B(x2,y2), 则S△4Br=号|OF||y-y2|≤寺|OF|2b=号×4×6=12.故选B. 6.己知直线1过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直，1与C交 于A,B两点，|AB|=12,P为C的准线上的一点，则△ABP的面 积为( A.60 B.45 C.36 D.18 答案：C 解析：不妨设抛物线的解析式为y2=2xp>0),则焦点为F(号，0)， 对称轴为x轴，准线为x=一号.如图所示，过点P作PDLAB于点 D.因为直线1经过抛物线的焦点，A,B是1与C的交点，又AB⊥x 轴，所以|AB|=2p=12,所以p=6.又因为点P在准线上，所以 DP|=号+|-号引=p=6,所以S△4BP=克|DP|·|AB|=号X6X12 =36.故选C. 7.己知双曲线x2-y2=mm≠0)与直线y=x交于A,B两点，若1 AB|=2W15,则m= 答案：9 x2-y2=m, 解析：联立方程组 (y=x, 得y2=号，由此得m>0,y=士V厚， 故x=士2V厚，|AB1=2104|=2臀+4×罗=215，解得m= 9. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.过椭圆3x2十4y2=48的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B 两点，则|AB|等于 答案：蚂 解析：由3x2+42=48,得器+置=1，所以a2=16,b2=12,c2=4, 3x2+4y2=48, 所以F-2,0),直线1的方程为y=x+2.由{y=x+2, 得7x2 +16x-32=0.设A(,h),B(2,2),则：十2=-9，x2=-头， 所以|AB|=V1+11-|=V2×V区1+x)-4xx2=9 9.(双空题过点M1,1)作斜率为一的直线与椭圆C:器+器=】 (a>b>O)相交于A,B,则直线AB的方程为 ;若M是 线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 答案：x十2y-3=0号 解析：由题意可知，直线的点斜式方程为y一1=一（化一1），整理得 ∫+群=1，① x十2y-3=0.设A(1,y1),B(2,2),则 月+特-1@ 因为M是线 段AB的中点，所以梦=1，兴=1.又袋=一，①②两式相减 可得r型+99型2=0，即径+(-)×存=-0，整理得a a2 6 =2b,c=-五=b,所以e=S=壳=号，即精圆C的离心率 为9 10.(13分)已知椭圆E:￥+号=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F, F2,上顶点为M,且△FF2是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程； ·独家授权侵权必究◆ 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)若直线1：y=一x十m与椭圆E交于A,B两点，以AB为直径的圆 与y轴相切，求m的值 解：(1)由题意可得M(0,b),F1(-c,0),F(c,0), 由△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形得a2=1,b=c,且a2-b2 =c2,解得b=c=1,a=√2，则椭圆E的方程为号+y2=1. (2)设A(1,y1),B(x2,y2) 信n,号2加2a-2-0 有△=16m2-12(2m2-2)>0,即-3<m<5, :十=，x=,可得4AB中点横坐标为婴，|AB| V1+1V&+x}-4xx=2婴-=等V3-m, 因为以AB为直径的圆与y轴相切， 所以可得半径r=号|AB|=|婴|， 即导B-m=1婴1，解得m=士5∈(-5,5)，则m的值为士 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 1.(多选题)若双曲线C:器-器=1a>0,b>0)的实轴长为6，焦距 为10，右焦点为F,则下列结论正确的是() A.双曲线C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D.过点F的最短弦长为号 答案：ACD ·独家授权侵权必究◆ 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：由题意知2a=6,2c=10,即a=3,c=5,因为b2=c2-a2, 所以b2=25一9=16，解得b=4,所以右焦点为F(5,0),双曲线C 的渐近线方程为y=士等x,对于A,由，点F向双曲线C的渐近线作垂 线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的，点到，点F距离的最小值， ±是x5-q 由，点到直线的距离公式可得d=-(±) =4,故A正确；对于B, 因为a=3,c=5,所以双曲线C的离心率e=号=号，故B错误；对 于C,当双曲线C上的点为其右顶点(3，O)时，此时双曲线C上的点 到，点F的距离最小为2，故C正确；对于D,过点F的最短弦为通径， 即弯=号，故D正确故选ACD. 12.己知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(1,y1), B(x2,2)两点，则y十y的最小值是 答案：32 解析：设直线AB的方程为x=y十4，代入y2=4x得y2-41y-16 =0,△>0，则y1十y2=4m,yy2=-16,所以y+y3=y1+2)2-2y2 =16m2+32,当m=0时，y+y2取最小值，最小值为32 13.在平面直角坐标系xOy中，己知点P(4,0),点A,B在双曲线C: ￥-y2=1上，且A=3pB,则直线AB的斜率为 答案：士 解析：易知直线AB斜率为0时不符合题意，故设直线AB的方程为 (x=my+4, =my+4.由1x2-4y2-4=0,得(m2-42+8my+12=0,m2-4≠0. 易知△>0，设A(,y1),B(x,y2), ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 8m y1+y2=- m24, 则 12 ①，因为A=(4-,一y1),PB=(一4，) y2= 4m m24, 市=3p克，所以n=一3，代入①，得y=产， 取（如 (m292=4 m24, 化简得m2=手，所以m=士誓因此直线AB的斜率为后=士写 14.(15分)己知点A(m,4)(m>0)在抛物线x2=4y上，过点A作倾斜 角互补的两条直线1和2，且1,2与抛物的另一个交点分别为B, C. (I)求证：直线BC的斜率为定值； (2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围， 解：(1)证明：因为点A(m,4)在抛物线上， 所以16=m2,所以m=士4，又m>0,所以m=4. 设B(x1,y),C(,y2) 则十k一祭+踪=学+华==0，所以十=8 4 4 4 所以兴-学=-2， 4 所以直线BC的斜率为定值一2 (2)设直线BC的方程为y=-2x十b,P(,3),Q(x4,y4)关于直线 BC对称，设P0的中点为M0,w.则仰0=装=学=号=， 所以x0=1.所以M(1,-2+b), 又点M在抛物线内部，所以-2十b>，即b>星 (y=-2x+b, 由1x2=4y, 得x2+8x一4b=0, 所以x1十x2=一8，x1x2=-4b. 所以|BC|=V1+4|1-3|=V5V&1+x2)2-4xx2 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk,c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 =V5×V64+16b 又b>,所以|BC|>10W5 所以|BC|的取值范围为(10W5,十0) d创新拓展 15.(5分（新情境）如图所示，某市有相交于点O的一条东西走向的公 路1与一条南北走向的公路m,有一商城A的部分边界是椭圆的四分 之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴在公路1上且长为 2,短半轴在公路m上且长为1（单位：千米）.根据市民建议，欲新建 一条公路PQ,点P,Q分别在公路1，m上，且要求PQ与椭圆形商 城A相切，当公路PO最短时，OO为 千米 m 答案： 解析：以，点O为坐标原点，公路1，m所在直线分别为x轴、y轴建 立平面直角坐标系（图略），由题意设PQ所在直线的方程为y=x十b, (y=kx+b, 号得6>1，一是>2，联立等+y2=,可得（年+k)+2hx+-1 =0,则△=(2kb)P-4(主+k2)(b2-1)=0,即2=(b2-1).因为P (-是，0)，00，b0.所以1P01?=是+b2=0+-等+b2 4+产十b2=5+十b2-1)≥5+26×(b2-1)=9,当且仅当 b2-1=走，即b=3时取等号，即100|=3千米 16.(17分)已知点40，一2)，椭圆E:等+器=1a>b>0)的离心率 为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，0为坐标原点 (1)求椭圆E的方程； 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)设过点A的直线1与椭圆E交于P,Q两点，当△OPQ的面积最 大时，求直线1的方程 解：(1)设点F(c,0), 因为直线4F的斜率为9,400，-2)， 所以=9，c=5 又因为=9，b=a2-c2, 解得a=2,b=1, 所以椭圆E的方程为￥+y2=1 (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2) 由题意可知直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y=一2， ∫￥+y2=1, 联立y=kx-2,消去y得(1+4k22-16x+12=0, △=16(42-3)>0，即k2>, 16k 12 十x2=年4按，x12=+4级2 所以1P9|=V1+k2V区1+x)2-4xx2=V1+k 16k 48= 41+k24k 、1+42 1+4纵2 1+4k2 2 又，点O到直线1的距离d=4, 所以Saro=d1P01=4 1+4k2 设y4k2-3=t>0,则42=2+3. 所以Sa00=茶=年≤年=1， 当且仅当1=2，即√4k2-3=2,k=士时取等号，满足2>， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以△OPg的面积最大时，直线1的方程为y=x-2或=一气 x-2, 即V7x-2y-4=0或V7x+2y+4=0. 学生用书↓第78页 ·独家授权侵权必究·