课时分层评价19 直线与圆锥曲线的交点-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价19　直线与圆锥曲线的交点 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案：A 解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又＋＝＜1，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.故选A. 2.过点(0，1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 答案：C 解析：因为点(0，1)在抛物线的外部，所以过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线，共3条.故选C. 3.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案：C 解析：由题意得，＞2，即m2＋n2＜4，所以＋≤＜1，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1相交，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个公共点.故选C. 4.若直线l过点(3，0)与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：C 解析：当直线斜率存在时，设直线l：y＝k(x－3)，代入双曲线方程化简得(4－9k2)x2＋54k2x－81k2－36＝0，要使l与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两相等实根，所以4－9k2＝0或Δ＝0(不成立)，解得k＝±.当直线斜率不存在时，直线为x＝3，此时与双曲线也只有一个公共点，故这样的直线有3条.故选C. 5.若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a＞0)的右支仅有一个公共点，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，4) B.(0，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞) 答案：A 解析：由双曲线方程为x2－ay2＝4(a＞0)，可得渐近线方程为x＝±y，由直线方程l：x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得＜2，解得0＜a＜4.故选A. 6.(多选题)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D. 答案：AD 解析：由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.故选AD. 7.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝　　　　. 答案： 解析：联立方程组得ax2－x＋1＝0，由直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，得解得a＝. 8.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：[1，5) 解析：因为焦点在x轴上的椭圆＋＝1，所以0＜m＜5，因为直线y＝kx＋1过定点P(0，1)，且直线与椭圆＋＝1总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即＋≤1，解得m≥1.综上，1≤m＜5. 9.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是　　　　. 答案： 解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知解得－＜k＜－1.故实数k的取值范围是. 10.(13分)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解：联立方程组消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 所以直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k＞1时，l与C没有公共点. (11—13，每小题5分，共15分) 11.以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：由题意知，设椭圆方程为＋＝1，由得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，又e＝，则b2＝4时，e取最大值，此时椭圆方程是＋＝1.故选C. 12.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上两点A，B在第一象限，且满足｜AF｜＝3，｜BF｜＝7，｜AB｜＝5，则直线AB的斜率为　　　　　. 答案： 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，由题可知AB的斜率存在，设AB的斜率为k.因为A，B都在x轴上方，由题意知k＞0，由抛物线定义｜AF｜＝x1＋，｜BF｜＝x2＋，则＝4，又因为｜AB｜＝·＝5，所以＝，解得k＝. 13.(双空题)在椭圆＋＝1上找一点P，使点P到直线2x－4y－31＝0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是　　　　，最小值为　　　　. 答案：(2，－3)　 解析：设过点P与直线2x－4y－31＝0平行的椭圆的切线方程为直线2x－4y＋m＝0，联立方程组整理得4x2＋mx＋m2－48＝0，则Δ＝m2－4×4＝0，解得m＝±16，当m＝16时，2x－4y＋16＝0，4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2，则y＝3，P(－2，3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝，当m＝－16时，2x－4y－16＝0，4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2－4x＋4＝0，解得x＝2，则y＝－3，P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝.所以P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离最小，最小值为. 14.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的取值范围. 解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝＋1，即＝＋1，化简整理得y2＝2(｜x｜＋x). 故点M的轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中， 记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0). 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2). 由方程组 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① a.当k＝0时，此时y＝1. 把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点. b.当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).② 设直线l与x轴的交点为(x0，0)， 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ 当x0＜0时，令Δ＜0， 由②③解得k＜－1或k＞. 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 当x0≥0时，令Δ＝0，由②③得，解集为空集. 综合a，b知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 15.(5分)已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为　　　　. 答案： 解析：设P(m，n)，当切线斜率都存在时，设斜率为k，则过点P的切线为y－n＝k(x－m).联立方程组⇒(k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，因为PA⊥PB，所以k1·k2＝＝－1，即m2＋n2＝1＋a2，所以点P在以(0，0)为圆心，为半径的圆上，即(0，0)到直线ax＋y－4＝0的距离为，由d＝＝，解得a＝.当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，当点P(a，4－a2)，此时4－a2＝1，a＝，当点P(－a，4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解.综上所述，a＝，又因为b＝1，所以c＝＝，e＝＝. 16.(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且｜MN｜＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值. 解：(1)由题意可知F， 则该直线方程为y＝x－， 代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. 因为｜MN｜＝8，所以x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x， 得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线， 所以Δ＝0，解得b＝1. 所以直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P(m，m＋1)， 则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))， 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. 因为x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. 因为－＝4(x1－x2)， 所以y1＋y2＝4×＝4， 所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为－14. 学生用书⬇第75页 学科网（北京）股份有限公司 $