课时分层评价18 抛物线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价18　抛物线的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.故选D. 2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(　　) A.y2＝－9x或x2＝y B.y2＝9x或x2＝－y C.x2＝y或x2＝－y D.x2＝y 答案：B 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p1，所以p＝或p1＝，所以y2＝9x或x2＝－y.故选B. 3.若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则p的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.4 答案：C 解析：双曲线的方程可化为－＝1，所以双曲线的左焦点为.又因为抛物线的准线为x＝－，由题意得－＝－，解得p＝4.故选C. 4.图①为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，以顶点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，已知该卫星接收天线的口径｜AB｜＝6，深度｜MO｜＝2，信号处理中心F位于焦点处，若P是该拋物线上一点，抛物线开口内有一点Q，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，因为｜AB｜＝6，｜MO｜＝2，所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.如图所示，过点P作PP'垂直于准线，垂足为P'，过点Q作QQ'垂直于准线，垂足为Q'，则｜PF｜＝｜PP'｜，所以｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PP'｜＋｜PQ｜≥｜QQ'｜＝＋＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为3.故选C. 5.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 答案：B 解析：若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示.画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.故选B. 6.(多选题)(2025·八省适应性测试)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则(　　) A.p＝4 B.｜MF｜≥｜OF｜ C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 答案：ABC 解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，故A正确；对于B，设M在y2＝8x上，所以x0≥0，所以＝x0＋≥＝，故B正确；对于C，因为以M为圆心且过F的圆半径为＝x0＋2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，故C正确；对于D，当∠OFM＝120°时，x0＞2，结合抛物线的对称性不妨设M在x轴上方，则＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－(舍去).所以△OFM的面积为S△OFM＝×＝4，故D错误.故选ABC. 7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：因为点A(－2，3)在抛物线C的准线上，所以＝2，所以p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝　　　　. 答案：6 解析：如图所示，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，｜OF｜＝2.因为M为FN的中点，所以｜MM'｜＝1，所以M到准线的距离d＝｜MM'｜＋＝3，所以｜MF｜＝3，所以｜FN｜＝6. 9.(双空题)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且｜FM｜＝6，则M的横坐标是　　　　；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝　　　　　　　. 答案：5　4 解析：由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)，则｜FM｜＝＝6，解得x＝5.易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·｜MN｜＝×4×2＝4. 10.(13分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5， 所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5， 所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则 而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以＝8x0， 所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若｜FA｜＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　) A. B. C. D. 答案：BC 解析：如图所示，作AH⊥l于H，则｜AH｜＝｜FA｜＝3，作FE⊥AH于E，则｜AE｜＝3－＝.在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝＝，所以∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.故选BC. 12.已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1，2)，B(－1，2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为(　　) A.2＋ B.1＋ C.3 D.4 答案：B 解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，如图所示，则四边形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2(｜AM｜＋｜MF｜)≥1＋2｜AF｜＝1＋，当且仅当M在线段AF上时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋.故选B. 13.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　　　. 答案：6 解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.将y＝－－＝1得｜x｜＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6. 14.(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)， 则其准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为｜AF｜＋｜BF｜＝8， 所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6，0)在线段AB的中垂线上， 所以｜QA｜＝｜QB｜， 即＝， 又＝2px1，＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2， 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x. 15.(5分)(多选题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，则下列说法正确的有(　　) A.抛物线准线方程为x＝－1 B.若｜AF｜＋｜BF｜＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以线段AB为直径的圆与准线相切 答案：BC 解析：对于A，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，焦点F(0，1)，故A错误；对于B，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得｜AF｜＋｜BF｜＝y1＋y2＋2＝8，可得y1＋y2＝6，所以线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故B正确；对于C，｜AF｜＝y1＋1，AF的中点为(，)，AF的中点(，)到x轴的距离为＝｜AF｜，所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；对于D，因为点A，B没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故D错误.故选BC. 16.(17分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，满足＋＋＝0. (1)求｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜的值； (2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为kAB，kBC，kAC，若实数λ满足：＋＝λ·，求λ的值. 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F， 所以＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，＝(x3－，y3). 因为＋＋＝0， 所以(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，y1＋y2＋y3＝0， 即x1＋x2＋x3＝. 由抛物线定义知，｜FA｜＝x1－＝x1＋， ｜FB｜＝x2－＝x2＋，｜FC｜＝x3－(－)＝x3＋， 所以｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜＝x1＋x2＋x3＋＝＋＝3p. (2)由(1)知，y1＋y2＋y3＝0. 因为kAB＝＝＝， 同理kAC＝，kBC＝， 所以＋＝＋＝λ·＝λ·，即2y2＋(y1＋y3)＝λ(y1＋y3)， 所以2y2－y2＝－λy2，解得λ＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $