3.2 抛物线的简单几何性质提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第2章 圆锥曲线 3.1 函数的概念及其表示 能力提升训练 1.已知抛物线，则过抛物线 的焦点，弦长为整数且不超过2 025 的直线的条数是( ) A.4 043 B.4 048 C.2 021 D.2 022 2.（2024陕西渭南期中）“米”是象形字.数学探究课上，某同学 用抛物线和 构造了 一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线， 的焦点 分别为，，点在抛物线上，过点作 轴的平行线交抛 物线于点，若，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.（2023河南安阳重点高中阶段练习）过抛物线 焦点的直线与抛物线交于点,，若，则直线 的方程为( ) A. B. C.或 D.或 4.（2025江苏邗江中学期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点 且满足，则弦的中点到 轴的距离为( ) A. B.3 C. D.4 5.（2025江西宜春一中期中）一个工业凹槽的截面 是一条抛物线的一部分，它的方程是 , ，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球 体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( ) A. B.1 C.2 D. 6.（多选|2023山东潍坊期中）已知抛物线的焦点为 ，经 过点且斜率为的直线与抛物线交于,两点（点在第一象限），若， 为坐标原点，则以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 7. （2025福建厦门期中）抛物线上任意两点，处的切线交于点 ，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时， 具有以下特征:（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3） .已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点 ，若点的横坐标为2，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. 8.已知为抛物线的焦点，，， 为抛物线上三点（允许重合），满足 ，且，则 的取值范围是______. 9.（15分）（2025河南南阳六校联考）已知圆 . （1） 若直线平分圆，求 的最小值； （2） 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切， 为抛物线的焦点， 为抛物线上的动点，点，求 的最大值. 参考答案 1.A【解析】 ,即,由抛物线的性质可得,过抛物线 的焦点,长度最短的弦 （通径长）的长为 .由抛物线的对称性可得,弦长在5到2 025之间且为整数的弦 共有 （条）,故弦长为整数且不超过2 025的直线的条数是 . 2.D【解析】 ,即,由抛物线的对称性知 , 由抛物线定义可知,,即,解得 . 3.D【解析】由题意可知,直线的斜率一定存在,设直线的倾斜角为 ,则 （焦点在轴,所以分母为余弦）,解得.因为 ,所以 或,直线的斜率,所以直线的方程为,即 或 . 4.C【解析】 因为抛物线,所以 , 设点在轴上方,且直线的倾斜角为 , 则根据抛物线的定义易知 , 所以,同理可得 , 又,所以 , 所以,所以,又 , 所以 , 根据抛物线的性质可得弦的中点到 轴的距离为 . 5.C【解析】 如图,设,是抛物线上任一点, , 抛物线内以为圆心的圆能过原点,则的最小值是 , , 若,所以当时,取得最小值,则 点不可能是原点, 即抛物线的顶点, 不合题意, 若,即,则时,,此时圆的半径为 , 最大值是2. 6.BC【解析】设直线的倾斜角为 ,由焦半径公式可知, ,则 ； , ； . 7.C【解析】 抛物线的焦点的坐标为,准线方程为 , 由题意知,为“阿基米德三角形”,可得点 必在抛物线的准线上, 所以点,直线的斜率为 , 又因为,所以直线的斜率为 , 所以直线的方程为,即 . 8. 【解析】 设,,,抛物线的焦点为 ,准线方程为 ,所以,,,又,, 为抛 物线上三点,显然三点不完全重合,所以 , 即,,所以因为 , 所以,等价于 . 由对称性,不妨设 ,所以 ,即 ,所以 ,所以,所以 , , . 9.(1)【答案】 圆的方程可化为 ,（1分） 则圆的圆心为,半径 ,（2分） 由题意知,直线过圆心 ,（3分） 则,即,, ,（4分） 由 , 当且仅当 时等号成立,（6分） 所以 的最小值是4.（7分） (2)【答案】 由题意,抛物线的准线方程为 ,（8分） 如图,所以抛物线的方程为,焦点为 ,（9分） 所以, ,（10分） ,其中 ,（11分） 所以当 时, , 当且仅当,即 时等号成立；（13分） 当时,,,则 .（14分） 综上,的最大值是 .（15分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $