课时分层评价17 抛物线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 抛物线及其标准方程用P233 对应学生 课时分层评价17 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.若抛物线x2=y的焦点坐标为(0,1)，则其准线方程为() A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 答案：C 解析：由题意可知该抛物线开口向上，又焦点坐标为(0,1)，所以准 线方程为y=一1.故选C 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案：D 解析：由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等， 满足抛物线的定义 3.己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P在C上，若点Q(6,3), 则△POF周长的最小值为() A.13 B.12 C.10 D.8 答案：A 解析：y2=2X4x,故F(2,0),记抛物线C的准线为1，则1：x=一2， 记，点P到1的距离为d,点Q6,3)到1的距离为d”,如图所示，则 IPQ+PF1+|QF1=|PQ+d+V(6-2)}+(3-0)}≥d'+5=8+5 =13.故选A. ,独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.(多选题)经过点P(4,一2)的抛物线的标准方程可以为() A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 答案：AC 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2x(p>0) 又因为抛物线经过点P(4,一2)，所以(-2)2=2p×4,解得p=寺，所 以抛物线的方程为yP=x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程 为x2=一2D>0),又因为抛物线经过点P(4,一2)，所以42=-2p ×(一2)，解得p=4,所以抛物线的方程为x2=一8y.故选AC. 5.已知P1(x1,y1),P22,y2),P3(3,3)是抛物线y2=2pxD>0)上的 三点，点F是拋物线y2=2px的焦点，且|PF|+|P,F|=2I PF,则( A.01十X3>2x2 B.x1十3=2x2 C.0十3<2x2 D.:十与2x2的大小关系不确定 答案：B 解析：由|PF|+|PF|=2|PF|,得(x1+号)+(x3+号)=2 (x2+号)，即十x3=23.故选B. 6.(多选题)如图，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A,B分别在抛物 线y2=8x及圆(x一2)2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于 x轴，则△FAB的周长可以为( ) ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.8 B.9 C.10 D.12 答案：BC 解析：由题意知抛物线的准线：x=一2，焦点F2,0),根据抛物线 的定义可得|AF|=x4十2.又圆(x一2)2+y2=16的圆心为(2,0)，半 径为4，所以△FAB的周长=|AF|十|AB|十|BF|=x4十2十 (xB-x4)十4=6十xB.由抛物线y2=8x及圆(x一2)2+y2=16可得交点的 横坐标为2，所以z∈(2,6)，所以6十xB∈(8,12).故选BC. 7.己知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大 值为 答案：6 解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),利用抛物线的定义可知，设 A(1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,那么|AF|+|BF|=x十x2 十2，由图可知|AF|十|BF|≥|AB|→|AB|≤6，当AB过焦 点F时取最大值为6. 8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x十1的距离为W2,则p 答案：2 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：抛物线y2=2x(D>0)的焦点坐标为（气，0），它到直线y=x十1 号+1 的距离为d=行=V2→p=2 9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2),记抛物线C:y2=4x 上的动点P到准线的距离为d,则d一|PA的最大值为 答案：V5 解析：如图所示，F为抛物线C的焦点，F(1,0),由抛物线的定义 知，d=|PF|,所以d-|PA=|PF|-PA≤|AF|= √(2-1)+(2-0)2=V5,当点P为射线FA与抛物线C的交点时，取 最大值V5 A(2,2) 0 10.(13分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 M(m,一3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程 解：如图所示，设抛物线的方程为2=-2p(p>0),则焦点F (O,-),准线1：y=号，作NL1,垂足为N, 则|N|=|F|=5, 而|MN|=3+号=5，即p=4 所以抛物线方程为x2=一8y,准线方程为y=2 由m2=-8×(-3)=24,得m=±2√6. 可综合运用(11-13，每小题5分，共15分) ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 11.已知直线1：4x一3y+6=0和直线12：x=-2,抛物线y2=4x上 一动点P到直线1和2距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 c.9 D.5+1 答案：B 解析：由题可知x=一1是抛物线y2=4x的准线，如图所示，设抛物 线的焦点为F,则F(1,O),所以动点P到2的距离等于P到x=一1 的距离加1，即动点P到2的距离等于|PF|十1.所以动点P到直线 1和直线12的距离之和的最小值为焦点F到直线1：4x一3y十6=0 的距离加1，即其最小值是。+1=3故选B. 12 12.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件，其中满足抛物线方 程为y2=10x的是( ) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 答案：BD 解析：抛物线y2=10x的焦点在x轴上，故B满足，A不满足；设M (1,yo)是y2=10x上一点，则|F|=1+号=1+号=7≠6，故C不 满足；由于抛物线y2=10x的焦点为（号，0），设过该焦点的直线的斜 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 率存在，方程为y=k(x-),若由原点向该直线作垂线，垂足为(2， 1)时，则k=一2，此时存在，故D满足.故选BD. 13.(双空题)已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+0y一1)P=4 与抛物线Z在第一象限的交点为P(m,平)，直线1：x=0<t<m)与 抛物线Z的交点为A,直线1与圆F相交，记上方的交点为B,则m ;△FAB周长的取值范围为. 答案：2(4,6) 解析：如图所示，设直线1与抛物线Z的准线交于点C,由 (x2=4y, x2+y-1}=4, x>0,y>0, 折年以和2低，解点所以1()。】 x=2, (x=t, 4 x=t, X=t, x2+y-1)2=4,解得 由 y=1+N4-平，所以，1+4-，由 x>0y>1, 抛物线的定义得|AF|=|AC|,所以△FAB周长=|FA|十| FB+ABI=AC+AB+BFI=IBC+=4-t2 +4.因为t∈(0,2)，所以N4-t2+4∈(4,6). 14.(15分)已知抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a十4,0)为圆 心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的 两点M,N,点P为线段N的中点. (1)求IAM|+IAN|的值； ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)是否存在这样的α，使2|AP|=|AM|+IAN|？若存在，求 出α的值；若不存在，请说明理由 解：(I)设MxMy,Nxw,w),由地物线的定义，得|AM|+|AN =xM十xw十2a.又圆的方程为x-(a+4)2+y2=16,将y2=4ax代入， 得x2-2(4-ax十a2+8a=0,所以M+xw=2(4-a),所以|AM|+I AN|=8 (2)不存在.假设存在这样的a,使得2|AP|=|AM|+|AN|. 过点P作PP'垂直于抛物线的准线，垂足为P(图略)】 因为IAM|十IAN|=2|PP'|,所以|AP|=|PP'| 由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段N的中点 矛盾，所以这样的a不存在 ⊙创新拓展 15.(5分)如图，在正方体ABCD-AB1CD1中，P是侧面BBCC内一 动点，若P到直线BC与直线CD1的距离相等，则动点P的轨迹所 在的曲线是() 0 A A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 答案：D 解析：连接PC1(图略)，因为几何体ABCD-ABCD1是正方体，所以 直线CD1⊥侧面BBCC,所以CD1⊥PC1,则|PC1|为点P到直 线CD1的距离.又点P到直线CD1的距离等于点P到直线BC的距 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，所以动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线.故选D 16.(17分)如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2√2km处，B 地与东西走向的高铁线（近似看成直线M相距4k.已知曲线形公路 PO上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线1的距离.现要在公路 旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A 地、B地送电 →东 P 、B (1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在的曲线方 程； (2)变电房M应建在相对于A地的什么位置（方向和距离）才能使得架 设电路所用电线长度最短？求出最短长度， 解：(I)如图所示，以经过点B且垂直于（垂足为）的直线为y轴， 线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0,2),A (2,4). 东 因为曲线形公路PO上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线I的 距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，1为准线的抛物线.设 抛物线方程为x2=2p(D>0),由|BO|=2,知p=4,故曲线形公 路PQ所在的曲线方程为x2=8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即|A|十|B|最小，如图 所示，过M作H⊥I,垂足为H, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由抛物线定义得|B|=|H|, 所以|MA|+B|=|MA|+|H|, 当A,M,H三点共线时，|MA|十|H|取得最小值 即|MA|+|MB|取得最小值，此时M(2,) 所以变电房M应建在A地正南方向，且与A地相距？k的位置上， 才能使得所用电线长度最短，最短长度为6km. 学生用书↓第69页 ·独家授权侵权必究·