专题3.1 抛物线及其标准方程（3知识&6题型&强化训练）（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题3.1 抛物线及其标准方程 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出抛物线的过程 2.掌握抛物线的定义 3.掌握抛物线的标准方程和推导过程，会求简单的抛物线的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导抛物线的标准方程； (2)与抛物线有关的最值问题． 知识点01 抛物线的定义（重点） 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 【知识剖析】 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【即学即练】 1．（25高二上·贵州黔西·月考）已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B． C．3 D． 知识点02 抛物线的标准方程（难点） 抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 离心率 通径长 【知识剖析】 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （4）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【即学即练】 1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点03 抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知， ． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即学即练】 1．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】（24-25高二下·广东·开学考试）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 抛物线的定义及应用策略 利用抛物线的定义往往能实现抛物线上的点到焦点的距离与它到准线间的距离的灵活转化，因而抛物线的定义常用于求焦半径的长、点到准线或坐标轴的距离以及求与焦点相关的距离的最值问题等.. 【变式1-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（24-25高二上·天津东丽·月考）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 题型02 抛物线的焦点与准线 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)；(2)；(3)；(4). 求抛物线的焦点坐标与准线方程 1．将方程化为“标准形式”，确定p的值； 2．根据开口方向，推导焦点坐标与准线方程 【变式2-1】设，则抛物线的焦点坐标为 ． 【变式2-2】下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率 【变式2-3】已知曲线，则C为（   ） A．一条抛物线和两条互相平行的直线 B．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 C．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D．两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 题型03 求抛物线的标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 求抛物线的标准方程的常见方法 1.待定系数法： （1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； （2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； （3）寻关系：根据已知条件列出关于参数p的方程； （4）得方程：解方程，将p代入所设方程即得所求． 2.定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据抛物线的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【变式3-1】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 【典例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 利用抛物线的定义求动点的轨迹方程的策略 (1)明确核心：确定抛物线的焦点（定点 F）与准线（定直线 l，F 不在 l 上）； (2)建系设点：建立直角坐标系，设轨迹上动点 P (x,y)，写出 F 的坐标和 l 的方程； (3)列等量关系：用距离公式表示 | PF | 和 P 到 l 的距离，令二者相等； (4)化简检验：整理等式得方程，排除不合定义的情况，即为轨迹方程. 【变式4-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型05 抛物线中线段和差的最值问题 【典例5】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 抛物线中线段和与差的最值问题破解策略 由抛物线的定义可知，抛物线上的点M到焦点F的距离与M到准线l的距离相等，故与抛物线相关的距离的最值问题常通过距离的转化来解决. 【变式5-1】（24-25高二下·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【变式5-3】（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 题型06 抛物线在实际问题中的应用 【典例6】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 求解抛物线应用题的五个步骤 1．建系：建立适当的坐标系； 2．假设：设出合适的抛物线标准方程； 3．计算：通过计算求出抛物线的标准方程； 4．求解：求出需要求出的量； 5．还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． 【变式6-1】（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【变式6-2】（23-24高二上·四川德阳·月考）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【变式6-3】如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    练基础 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 2．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 6．（多选）当实数变化时，关于的方程表示的曲线的形状可能是（   ） A．一条直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 8．设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 . 9．已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 10．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 11．如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. (1)水面的宽为多少? (2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 练提升 12．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 13．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 15．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知，动点在圆上，动点Q在抛物线上，点Q在轴上的投影为，则的最小值为 ，的最小值为 ．    17．已知定点，定直线，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点，满足，请讨论点的轨迹类型． 18．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 19．如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 20．已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 练创新 21．古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 22．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案阴影区域”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．    (1)求抛物线方程； (2)求证：． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 抛物线及其标准方程 教学目标 1.经历从具体情景中抽象出抛物线的过程 2.掌握抛物线的定义 3.掌握抛物线的标准方程和推导过程，会求简单的抛物线的标准方程 教学重难点 1.重点 (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线的标准方程的应用． 2.难点 (1)推导抛物线的标准方程； (2)与抛物线有关的最值问题． 知识点01 抛物线的定义（重点） 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 【知识剖析】 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【即学即练】 1．（25高二上·贵州黔西·月考）已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由抛物线可得， 所以，，故抛物线C的焦点到准线的距离是． 故选：B． 知识点02 抛物线的标准方程（难点） 抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 离心率 通径长 【知识剖析】 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （4）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【即学即练】 1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 知识点03 抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即学即练】 1．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故选：B 题型01 抛物线的定义及应用 【典例1】（24-25高二下·广东·开学考试）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，列出关于p的式子，即可求得结果. 【解析】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2. 故选：B 抛物线的定义及应用策略 利用抛物线的定义往往能实现抛物线上的点到焦点的距离与它到准线间的距离的灵活转化，因而抛物线的定义常用于求焦半径的长、点到准线或坐标轴的距离以及求与焦点相关的距离的最值问题等.. 【变式1-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解析】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 【变式1-2】（24-25高二上·天津东丽·月考）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据焦半径，以及锐角三角函数即可求解. 【解析】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点， 由于，则，故,进而，故. 故选：A    【变式1-3】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 【答案】2或18 【分析】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【解析】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 题型02 抛物线的焦点与准线 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)，，草图见解析 (2)，，草图见解析 (3)，，草图见解析 (4)，，草图见解析 【分析】根据抛物线的方程，即可得焦点坐标以及准线方程，进而作出图形. 【解析】（1）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （2）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （3）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （4）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    求抛物线的焦点坐标与准线方程 1．将方程化为“标准形式”，确定p的值； 2．根据开口方向，推导焦点坐标与准线方程 【变式2-1】设，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】设，抛物线，可知焦点在轴上，焦点坐标为. 故答案为：． 【变式2-2】下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率 【答案】BCD 【解析】A：在椭圆中，因为，， 则，且焦点在轴上，故A错误； B：在双曲线中，，顶点在y轴上， 所以双曲线的顶点为，故B正确； C：抛物线的准线为，故C正确； D：双曲线中，，则， 所以双曲线的离心率为，故D正确． 故选：BCD． 【变式2-3】已知曲线，则C为（   ） A．一条抛物线和两条互相平行的直线 B．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 C．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D．两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 【答案】C 【解析】因为，且， 所以，即， 因此C为一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 题型03 求抛物线的标准方程 【典例3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【解析】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【典例3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【解析】由，两边同时平方有， 故选：B. 求抛物线的标准方程的常见方法 1.待定系数法： （1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； （2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； （3）寻关系：根据已知条件列出关于参数p的方程； （4）得方程：解方程，将p代入所设方程即得所求． 2.定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据抛物线的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【变式3-1】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的准线方程为，所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 【变式3-2】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【解析】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴.∴抛物线方程为. 故选：C. 题型04 与抛物线有关的轨迹问题 【典例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解析】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 利用抛物线的定义求动点的轨迹方程的策略 (1)明确核心：确定抛物线的焦点（定点 F）与准线（定直线 l，F 不在 l 上）； (2)建系设点：建立直角坐标系，设轨迹上动点 P (x,y)，写出 F 的坐标和 l 的方程； (3)列等量关系：用距离公式表示 | PF | 和 P 到 l 的距离，令二者相等； (4)化简检验：整理等式得方程，排除不合定义的情况，即为轨迹方程. 【变式4-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 【变式4-2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【解析】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【解析】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则,又，则，， 由，故点的轨迹方程为. 故选：D. 题型05 抛物线中线段和差的最值问题 【典例5】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得. 【解析】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 抛物线中线段和与差的最值问题破解策略 由抛物线的定义可知，抛物线上的点M到焦点F的距离与M到准线l的距离相等，故与抛物线相关的距离的最值问题常通过距离的转化来解决. 【变式5-1】（24-25高二下·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【解析】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义可得，再根据结论两点之间线段最短求结果. 【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为为抛物线上的动点，到直线，的距离分别，， 所以，， 因为关于的对称点为， 所以， 所以， 又， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以当点为线段与抛物线的交点时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：. 题型06 抛物线在实际问题中的应用 【典例6】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解析】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 求解抛物线应用题的五个步骤 1．建系：建立适当的坐标系； 2．假设：设出合适的抛物线标准方程； 3．计算：通过计算求出抛物线的标准方程； 4．求解：求出需要求出的量； 5．还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． 【变式6-1】（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 【变式6-2】（23-24高二上·四川德阳·月考）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【解析】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米. 故选：A. 【变式6-3】如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；    【答案】 【解析】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面， 所以在抛物线上， 所以解得， 所以抛物线方程为 当水面上升后，不妨设由图可知 则，解得， 所以， 所以当水面上升后，桥洞内水面宽为. 练基础 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 2．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 3．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，两边同时平方有， 故选：B. 4．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线，焦点， 当轴时，，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 5．设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【分析】根据题干运算定义，推出，从而得到，所以，即，从而根据点P的轨迹判断正确选项. 【解析】， ， ， ,即． 故点P的轨迹为抛物线的一部分． 故选：D． 6．（多选）当实数变化时，关于的方程表示的曲线的形状可能是（   ） A．一条直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据题意，由圆锥曲线的定义，逐一判断，即可得到结果. 【解析】当时，表示轴；当时，表示轴；所以A正确； 时，方程表示以原点为圆心的单位圆，所以B正确； 或时，方程表示双曲线，所以C正确； 且时，方程表示椭圆，故D错误． 故选：ABC 7．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项分析判断. 【解析】抛物线的焦点为，由轴，，得， 直线斜率，直线方程为，由，得， 对于A，，，A正确； 对于B，，由，，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，与之间的距离为，D错误. 故选：AC 8．设 ，若抛物线 的焦点为坐标原点，则 . 【答案】/ 【解析】易知抛物线的焦点坐标为， 将抛物线向上或向下平移个单位可得到抛物线， 由焦点坐标变为，可得. 故答案为：. 9．已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由抛物线，，是上两点， 得，结合，得， 又，则， 故， 故答案为： 10．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 11．如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. (1)水面的宽为多少? (2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 【解析】（1）以顶点O为坐标原点建立如图所示坐标系，设方程为， 因为在抛物线上，代入得，所以抛物线方程为， 令，解得， 所以水面的宽为. （2）设为抛物线上动点， 则水面中心到抛物线上的点距离为： ， 可知当时，， 故此时水面中心到抛物线上的点距离的最小值为. 练提升 12．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．25 D．28 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理、结合抛物线定义及基本不等式求出最小值. 【解析】由点在抛物线C上，得，由，得，解得， 抛物线C：的焦点，设直线l：，， 由，得，则，则， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为25． 故选：C 13．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线C上任意一点为，由题意求出其方程为：，再取，求，即得答案. 【解析】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 14．（多选）已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 【答案】BD 【分析】求出抛物线的焦点，判断A的真假；求双曲线的渐近线方程，判断B的真假；假设点的横坐标为10成立，根据点在抛物线上，求出纵坐标，再代入双曲线方程进行验证，判断C的真假；根据条件求出点坐标，代入双曲线方程求，可判断D的真假. 【解析】对A：因为抛物线的标准方程为：，所以其焦点坐标为，故A错误； 对B：由题意，. 所以双曲线的渐近线方程为：，故B正确； 对C：当点的横坐标为10，因为点在抛物线上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，该方程无解. 所以不存在，使得点的横坐标为10，故C错误； 对D：如图： 15．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【解析】因为为底面圆的直径，，，，所以，则， 所以，则都是等腰直角三角形. 因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故答案为： 16．如图，在平面直角坐标系中，已知，动点在圆上，动点Q在抛物线上，点Q在轴上的投影为，则的最小值为 ，的最小值为 ．    【答案】 【分析】第一空：根据抛物线的性质可知，结合阿氏圆的性质得， 第二空，，利用光线最短原理，取最小值时的点应该满足的平分线的反向延长线经过圆心，即可求解. 【解析】根据抛物线的性质的焦点为，准线为， 由抛物线定义可得，所以， 设，则由阿氏圆的性质得， 当，，，四点共线时取到最小值． 易知， 利用光线最短原理，取最小值时的点应该满足的平分线的反向延长线经过圆心， 所以， 当点的坐标为时取到最小值． 故答案为：， 17．已知定点，定直线，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点，满足，请讨论点的轨迹类型． 【解析】如图，设，则． 由，得． 化简得， 当时，点的轨迹是抛物线； 当时， ，即， 当时，，点轨迹是椭圆； 当时，，点轨迹是双曲线． 18．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，再通过向量垂直的条件来证明． 【解析】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以，. 19．如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 【分析】（1）利用点差法求得三个坐标之间的关系，利用，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点.化简得中点的轨迹方程； （2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点. 【解析】（1）设，， 则， 解得（舍）或， 由，两式作差得 当时，,故， 设：，联立，得（*） ，，且， 故直线，可知直线恒过定点， ∴且, 故，即， 当，亦满足上式，， 所以所求为. （2）由（1）可知直线 所以直线恒过定点. 20．已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 【分析】（1）根据已知条件列出方程，解方程即可得出结果； （2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出相关点的坐标，进而利用基本不等式计算最小值，最后求解四边形的面积. 【解析】（1）由抛物线的定义得， 因为，所以，解得，所以的方程为．    （2）由（1）知，直线的斜率存在且不为0． 设直线的方程为，，， 由消去得，则， 所以，因为点G是AB的中点， 所以，同理得， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为8． 根据对称性，不妨取，即直线AB的方程为， 则，同理得，故． 练创新 21．古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（   ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先设点的坐标，再联立抛物线计算求解点，最后应用平行线距离计算求解. 【解析】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 22．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案阴影区域”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．    (1)求抛物线方程； (2)求证：． 【解析】设抛物线的方程为，抛物线焦点为，，解得， 因此，抛物线的方程为； 过点作轴于点，设， 则中，，可得，， 可得，， 由此可得点的坐标为， 点为抛物线上的点，， 整理得将其看作是关于的一元二次方程， 解得． 为锐角，可得，且，不符合题意，得， 即：成立． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $