课时分层评价16 双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价16双曲线的简单几何性质用P25 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线器-号=1的一条渐近线的距离 为() A.号 B.8 c. D.美 答案：A 解析：由双曲线的方程知，α=4，b=3,焦点在x轴上，所以双曲线 的一条渐近线方程为y=x,即3x一4y=0,所以点(3,0)到双曲线的 3x3-4x0】 一条渐近线的距离为=号故选A. 2.(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是() A.2-号=1 B.￥-y2=1 C.号-2=1 D.y2-￥=1 答案：AC 解析：B、D选项，双曲线的渐近线方程为y=士x,A、C选项，双 曲线的渐近线方程为y=士2x.故选AC 3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为5，则它的 渐近线方程为() A.y=±2x By=士x C.y=±x D.y=±6x 答案：C ·独家授权侵权必究· 多学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：设双曲线的方程为兰-等=1(a>0,b>0),因为e==5, c=√+b,所以警-1+()=5，所以唱=2，所以双曲线 的渐近线方程为y=士x=士x故选C. 4.若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线罩-器= 1(a>0,b>0)下支的一部分，此双曲线一条渐近线为3x十√7y=0, 下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为() A.号-号=1 B.号-号=1 C.号-2=1 D.需-希=1 答案：A 解析：由题意可得 c-a=1, 又c2=a2+b2,则 (a=3, 1b=万， 即该双曲线方程州一号=1，故选A 5.设F为双曲线C:景-器=1a>0,b>0)的右焦点，0为坐标原点， 以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=| OF|,则C的离心率为() A.2 B.3 C.2 D.5 答案：A 解析：如图所示，由题意知，以OF为直径的圆的方程为(x-)十 y2=号①，将x2+y2=a2记为②式，①-②得x=号，则以OF为直径 的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=号，所以|P⑨ ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =2-().由1P9|=|OF1，得2-()=c,整理得 c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=√2.故选A. 6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:￥-y2=1的左焦点为 F,点A在C的右支上，A关于O的对称点为B,则|AFI一|BFI=() A.-25 B.2W5 C.-4 D.4 答案：D 解析：由已知及双曲线的定义知AF|一|BF=2a=4.故选D 7.已知P是双曲线器一号=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方 程为3x一y=0.设F1,F分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3, 则IPFI= 答案：5 解：依题意知3=，所以a=1,由点P在双曲线右支上，得|PF -|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2+|PF2|=2+3=5. 8.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相 交，则该双曲线离心率的范围为 答案：(W2,十o) 解析：设双曲线的方程为器一器=1，(c,0),渐近线y=昌，由题 意知，-号>-号，即a2<b2,即a2<c2-a2,即e>V2 9.(双空题)如图，B地在A地的正东方向4k处，C地在B地的北 偏东30°方向2k处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 距离比到B的距离远2km,则曲线PO的轨迹方程 是 ；现要在曲线PO上选一处M建一座码头， 向B,C两地转运货物，那么这两条公路B,MC的路程之和最短 是 km. 东 答案：x2-号=1(x≥1)2万-2 解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系.则|DA|一|DB|=2,根据双曲线定义知， 轨迹为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1 =3,故轨迹方程为x2-号=16≥1)根据题意知C(3,3),A(-2, 0),IB|+IMC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=2W7 一2，当A,M,C三点共线时等号成立. 北 ,东 B 10.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一题多解)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(-5,3)： (2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6. 解：(1)法一：因为e=s=√2，所以c=√2a,b2=c2-a2=a2 又因为焦点在轴上， 所以设双曲线的标准方程为器-罩=1(a>0), 把，点（一5,3）代入方程，解得α2=16 所以所求双曲线的标准方程为器一若=1， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二：由离心率为√2知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方 程为x2一y2=k(k≠0)，把，点（一5,3）的坐标代入方程得k=16, 所以所求双曲线的标准方程为器-名=1， (2)设双曲线方程为4x2-9y2=(0≠0)， 即臀-兮=1≠0.由题意得a=3 当1>0时，=9,1=36， 双曲线方程为号-号=1； 当<0时，令=9,1=-81， 双曲线方程为号-爹=1 所以所求双曲线的标准方程为等一号=1或号-等=1. 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.已知双曲线器-器=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂 直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条 渐近线的距离分别为d1和d,且d十d2=6,则双曲线的方程为( A.号-号=1 B.号-号=1 C.￥-=1 D.器-竖=1 答案：A 解析：把=c代入器一器=1，得y=±号不妨设A(c,培)，B (c,一普)，双曲线的一条渐近线方程为y=x,即b一ay=0,则 bc-b2 bc+b2 bc-b2」，bc+b2 d=a4,d=4b，故d+d=4b+a0 =bc-bibc+b=2b =6,故b=3又号=厚=警=√1+g=2,得42=3，所以双曲线 的方程为等-号=1.故选A. 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 12.(多选题)己知双曲线E:2x2-my2=4m的左、右焦点分别为1，F2, P是双曲线上一点，则下列结论正确的是( ) A.m>0 B.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为F1(一2,0)，F2(2,0) C.焦点F到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2 D.若双曲线E的一条渐近线方程是y=2x且IPF1|=3,则|PF2I =1或|PF,|=5 答案：AC 解析：对于A,将方程2x2-m2=4m化为标准形式为器-号=1， 方程表示双曲线，则m>0,故A正确；对于B,双曲线E为等轴双 曲线时，2m=4,即a2=b2=4,所以c=2y2,焦点坐标为(2√2,0)， (一2W2,0),故B错误；对于C,不妨设双曲线的一条渐近线方程为 d y=x,所以E的一个焦点(C,0)到一条渐近线的距离是雪=b, 故为定值b=2,故C正确；对于D,双曲线器-号=1的一条渐近 线方程是y=2x,所以a2=2m=1,c2=1+22=5,c=√5.由双曲线的 定义知|PF2|-|PF1|=±2，又|PF|=3,所以|PF2|=1 或|PF2|=5,又|PF2|≥c-a=V5-1,所以|PF2|=5,故D 错误.故选AC 13.(双空题)已知椭圆M等+器=1(a>b>0),双曲线N:器-器= 1(m>0,n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率 为 ；双曲线W的离心率为 答案：V3-12 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限 内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P, 椭圆左焦点为Q,右焦点为F,连接PQ,如图所示，由题意知，△ OPF为正三角形，边长设为2，则高为V3,所以椭圆半焦距为2,2a =|PQ|+|PF|=23+2,a=5+1,椭圆M的离心率为+1= 5-l.双曲线N的一条渐近线斜率为品=tam60°=3，e2=器=1 十器=4，所以双曲线N的离心率为2. 14.(15分)已知F,F分别为双曲线等-器=1(a>0,b>0)的左、右 焦点，P为双圃线右支上的作意一点，当时取最小值时，求双曲 线离心率e的取值范围 解：因为双曲线器-器=1@>0，b>0)的左、右焦点分别为F,F, P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|-|PF2|=2a,IPF1I=2a+|PF2|, 所以-2 PF2 =0十4a+1PF:1≥8a,当且仅当箭 =I PF2, 即|PF2|=2a时取等号， 所以|PF1|=2a十IPF2|=4a. 因为|PF1|-|PF2|=2a<2c,|PF|+|PF2|=6a≥2c→e= ≤3， 所以双曲线离心率e的取值范围为(1,3] ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 d创新拓展 15.(5分（新情境）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光 线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一 个焦点若双曲线E:等-器=1@>0，b>0)的左、右焦点分别为F, F2,从F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后，分别经过点C 和D,且cos∠B4C=-是，ABBD=0,则E的离心率为( ) A.耍 B.37 C. D.5 答案：B 解析：由题意知，延长CA,DB,则必过点F,如图所示由双曲线 「AF-AF2|=2a, 的定义知 BF-|BF21=2a,又因为cos∠BAC=-备，所以cos∠ FAB=最.又因为A正BD=0,所以AB⊥BD,设|AF|=13m,m (AF2|=13m-2a, >0,则|AB|=5,BF1=12m,因此{IBF2l=12m-2a, 从而 由|AF2|+|BF2|=|AB|得13m-2a+12m-2a=5m,所以a =5m.则|BF|=号a,|BF2|=号a,|FF2|=2c,又因为|BF1| 2+1BF312=1FF12,所以（号a)+(层a)2=(2c,即37a2= 25c2,即e=厚故选B. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 16.(17分)已知双曲线器-器=10a>0,b>0)的左、右焦点分别为， F2,P是双曲线的右支上一点 (1)求PF的最小值； (2)若右支上存在点P满足|PF=4PF2,求双曲线的离心率的取值 范围 解：(1)设F1(-c,0),F2(c,0),P(x,yx≥a), 则PF1=V区+c}+y2-Vx+c}+x2-b2-Vx2+2cx+ V(x+a)2 =|x+al=号x十a≥a十a=a十c, 当P在右顶点时，|PF最小，所以PF的最小值为a十c PF-PF2=2a,解得 PF1|=号， 2)依题意{PF1|=4PF2, PF2|=号 法一：由(1)知，|PF1|≥a十c,所以号a≥a十c, 所以1<e≤号 法二：设∠FPF2=0,0∈(0，π] 向余放文理得og_-号-0 2x号×号 8a2 即-1≤骨-e2<1,得1<e2≤，1<e≤号. 所以双曲线的离心率的取值范围为(1，] ·独家授权侵权必究·