课时分层评价14 椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价14椭圆的简单几何性质用P227 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.若椭圆的焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4 √5，则椭圆的方程为( ) A.器+若=1 B.若+若=1 C.罟+竖=1 D.若+￥=1 答案：A 解析：由题意得c=2√5，a十b=10,又a2=b2+c2,解得a=6,b =4所以椭圆的方程为器十名=1故选A. 2.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为() A. B.2 C. D.4 答案：C 解析：椭圆2+m2=1的标准方程为心+兰=1.因为焦点在y轴上， 且长轴长是短轴长的2倍，所以√盒=2，所以m=.故选C. 3.曲线器+号=1与景+器=10<k<9)的关系是() A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 答案：B ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：曲线等+号=1的焦距为20=8，而曲线景十=1 (0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同.故选 B. 4.已知椭圆C:器+器=1a>b>0)的左顶点和右焦点分别为4，F, 点P为椭圆外一点，线段PA,PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别 交于M,N两点，当|MA|=|F时，椭圆的离心率为( A. B. C. D.号 答案：C 解析：如图所示，设P(o,o),A(一a,0),F(c,O),因为|MA|= MF|，所以M=又因为M为PA的中点，所以=，则0 =c,所以M(学，宁)，N(c,)因为点M在椭圆上，代入椭圆方程 得ya=[1-g],因为MN∥x轴，所以b[1-]=(号)子， 整理得3c2+2ac-a2=0,即3e2+2e-1=0,解得e=专或e=-1(舍 去)故选C 0 5.(多选题)为使椭圆号+器=1的离心率为号，则正数m的值可以是 () A.1 B.V3 C. D. 答案：CD ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m,所以c2 =a2-b2=2-m,所以e2=器=罗=，解得m=是，符合题意；当 m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2,所以c2=a2-b2=m一2， 所以2=草==，解得m=号，符合题意.故正数m的值可以是 号或号.故选CD. 6.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将 杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆现有一高度为12厘米，底 面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯 容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不 能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是() A.(o.] B[,) c(o,2] D.[S,1) 答案：C 解析：当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的 离心率最大，此时椭圆长轴长为12+62=65（厘米），短轴长为6 厘术，所以满圆离心率e=1-(希)=9，所以e∈(0,25]故 选C. 7.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为5，且过P(一5， 4),则椭圆的方程为 答案：器十=1 解析：因为e==写，所以等=￥=专，所以5a2-5b=a2,即4a2 =5,设精圆的标准方程为器+器=1la>0),因为椭圆过点P(-5, 4),所以等+器=1，解得a2=45.所以椭圆方程为器十元-1， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F,F,在x轴 上，离心率为过F的直线1交C于A,B两点，且△4BF,的周长 为16，那么椭圆C的方程为 答案：器+晋=1 解析：设椭圆方程为器+导=1(a>b>0,由e=号，知=，故 兰=.因为△ABF的周长为|AB|十IB那2|十IAE2|=(|AEI +|AF2|)十(|BF1I+|BF2|)=4a=16,所以a=4,所以b2=8, 所以椭圆C的方程为器+罗=1， 9.椭圆器+器=1(a>b>0)的两个焦点是F,F,若P为其上一点， 且|PF丨=5|PF2|,则此椭圆离心率的取值范围是 答案：[号，1) 解析：由题意可知|PF|+|PF2|=2a,IPF|=5|PF2|,则I PFI=号，|PF2|=号，因为|PFI一IPF2|≤IFF2|,所以 ≤2c,e≥号.又e<1,所以椭圆离心率的取值范围是[号，1) 10.(13分)己知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3),且点F2, 0)为其右焦点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程 解：()由题意，可设精圆方程为号+导=1a>h>0。 若点F2,0)为其右焦点， 则其左焦点为F(一2,0)， c=2, 从而有{2a=AFI+AF1=3+5=8, fc=2, 解得 (a=4. 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又a2=b2+c2,所以b2=12, 故椭圆的标准方程为器十置=1. (2)设点P的坐标为(o,yo),点Q的坐标为(x,y), 因为Q为PF的中点， （x=, +2 「X0=2x-2, 所以y=兰， 所以 (yo=2y, 又P是器十晋=1上的动点， 所以2+智=1， 16 即点0的轨迹方程是学+号=1 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.如图，把椭圆￥+号=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作 x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,Pg,F是左焦点， 则|PF|+|P,F|+…+|PF|=() B A.16 B.18 C.20 D.22 答案：B 解析：因为把椭圆罕十号=1的长轴AB分成10等份，过每个分，点作 x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,Pg,设椭圆的右 焦点为F',且a2=4,可得a=2,由椭圆的定义及椭圆的对称性，可 PF=PoF,PF=PSF,PF=P-F ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 '1,…,所以|PF|+|PF|++|PF|=(|PF|+1 PF|)+(|PsF'|+|PsF|)+…+(|PsF'|+|PsFI)=9a= 18.故选B 12.(新角度)（多选题）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算 出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积据 此得某椭圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的 标准方程可以为() A.等+号=1 B.器+若=1 C.器+若=1 D.等+若=1 答案：AD πab=62m, 解析：由题意可知 2c=×2a, 又a2=b2+c2,解得a=3,b=22, c=1,所以椭圆的标准方程为号十发=1或餐十号=1.故选AD 13.P是椭圆等+导=1a>b>0)上的任意一点，，乃，是它的两个焦 点，O为坐标原点，有一动点Q满足O0=PF1+PF,则动点Q的 轨迹方程是 答案：希+品=1 解析：设Qx,y),因为O0=PF1+PF2,所以O=-O0= (-予，一)，因为P关转圈等十导1上的任意一点，所以营十怎 1,所以器十器=1 14.(15分)设F,乃，分别是椭圆E:等+器=1a>b>0)的左、右焦 点，过点F的直线交椭圆E于A,B两点，|AFI=3|FB|: (1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16，求|AF2|; ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)若cos∠AFB=是，求椭圆E的离心率， 解：(1)由|A|=3|FB|,|AB|=4, 得|AF=3,|FB|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8 故|AF2|=8-3=5 (2)设|FB|=k,则k>0且|AF1|=3k,IAB|=4k 由椭圆定义可得，|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF22+BF22-2| AF2|·|BF2|·CoS∠AF,B, 即(4)2=(2a-3k)2+(2a-k2-号(2a-3)(2a-k), 化简可得(a十k)(a-3=0,而a十k>0,故a=3k 于是有|AF2|=3k=|AF1I,|BF2|=5k 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得FA⊥F2A, 故△AFF2为等腰直角三角形 从而c=9a, 所以精圆E的离心率e==号 d创新拓展 15.(5分（新情境）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的 历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展了油纸伞文化 艺术节活动，在本次活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上， 如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2， 当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞 柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则e2= () ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 60° A. B.7-2W3 C.3-2y2 D.33-5 答案：D 解析：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半 轴长b=2,在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，|AC|=4,由 正孩定理得品船=品s→804=品o→60品60m5 2a 9x9x9】 =n60→2a= →a=V2+5,所以e2=爱=世=1-马 -1-（后)=35-5故选D, 16.(17分)如图，我区新城公园将在长34米，宽30米的矩形地块内 开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆器+器=1x≤0)和 器十器=1（≥0）组成，其中a>b>9,“挞圆”内切于矩形（即“挞 圆”与矩形各边均有且只有一个公共点) 22 34 (1)求“挞圆”的方程； ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一 条边所在直线方程为y=(t∈(0,15)，求该网箱所占水面面积的最大 值 解：(1)由题意知b=15,a十9=34， 解得a=25,b=15 所以“挞圆”方程为器+台=1(r≤0)和5+器=10x≥0 (2)设P(xo,)为矩形在第一象限内的顶，点，Q(x1,t)为矩形在第二象 限内的顶点， 则总+=1，意+总=1，可得=一0 所以内接矩形的面积S=2(0-)=21X号0=15X34×2号壳≤15 ×34(等+总)=510， 当且仅当号=÷时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米 学生用书！第57页 ·独家授权侵权必究·