课时分层评价13 椭圆及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价13 椭圆及其标准方程用P2 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.己知椭圆C:等+号=1，点4(1,1)，则点A与椭圆C的位置关 系是() A.点在椭圆上 B.点在椭圆内 C.点在椭圆外 D.无法判断 答案：B 解析：因为专十=装<1，所以点A在椭圆C内部故选B. 2.(多选题)对于曲线C:器十号=1，下面说法正确的是( A.曲线C不可能是椭圆 B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条 件 D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 答案：CD 解析：对于A,当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，故A错误； 对于B,当k=2.5时，4一k=k一1，此时曲线C是圆，故B错误； 4-k>0, k-1>0, 对于C,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 解得2.5 k-1>4-k, <k<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 要不充分条件，故C正确；对于D,若曲线C是焦点在x轴上的椭 k-1>0, 4-k>0, 圆，则 解得1<k<2.5,故D正确.故选CD. 4-k>k-1, 3.(2021新高考1卷)已知F1,F2是椭圆C:等+号=1的两个焦点， 点M在C上，则|，|·|F|的最大值为( A.13 B.12 C.9 D.6 答案：C 解析：由椭圆C:等+号=1，得|MF1+IME|=2×3=6,则1 M瓜，1·12≤(4W)2=32=9,当且仅当1AME,1= F,|=3时等号成立.故选C. 4.已知椭圆品十品=1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于( ) A.4 B.5 C.7 D.8 答案：A 解析：椭圆焦点在x轴上，所以a2=10-m,b2=m-2.又c=2,所 以(10-m)-(m-2)=4,所以m=4.故选A. 5.设P为椭圆器十名=1上一点，F,F分别为椭圆的左、右焦点， 且|PFI=4|PF2|,则() A.△PFF2为锐角三角形 B.△PFF2为钝角三角形 C.△PFF,为直角三角形 D.P,F,F2三点不构成三角形 答案：D 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：由题意可知，a=5,b=4,则c=3,又|PF1|十|PF2|=10,I PF1|=4|PF2|,所以|PF=8,|PF2|=2,且|FF2|=6, 则6十2=8，即P,F1,F2三点共线，不构成三角形.故选D. 6.△ABC的两个J顶点为A(一3,0)，B(3,0),△ABC的周长为16， 则项点C的轨迹方程为() A.器+若=10≠0) B.若+器=10≠0) C.器+号=10≠0) D.若十等=10≠0) 答案：A 解析：由题意知，点C到A,B两点的距离之和为10>6，故点C的轨 迹为以A(-3,0),B(3,0)为焦点的椭圆，故2a=10,c=3,b2=a2-c2 =16,又△ABC中A,B,C三，点不能共线，所以顶，点C的轨迹方程 为器+6=10y≠0)故选A 7.椭圆8x2十3y2=24的焦点坐标为 答案：0，-5)，(0，V5) 解析：因为椭圆方程可化为号+号=1，所以42=8，b2=3,且焦点 在y轴上，又c=8-3=5,所以其焦点坐标为(0，一5)，(0， V5). 8.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C:器+号=1的两个焦点，P, Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|FF2|,则四边 形PF1QF2的面积为 答案：8 解析：根据椭圆的对称性及|PQ|=|FF2|可以得到四边形 PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设| PF1|=m,则1PF21=2a-|PF1|=8-m,则|PFI2+|PF2I 2=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=|FF2|2=4c2=4(a2-b2)=48, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以m(8-m)=8,所以四边形PFQF2的面积为|PF1|×|PF2|= m(8-m)=8. 9.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆竖+号=1上的一个动点，点 A(1,1),B0,一1)，则IPA|+|PB|的最大值为 答案：5 解析：易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为B',则B (O,1),如图所示，连接PB',AB,根据椭圆的定义得|PB|十| PB'|=2a=4,所以|PB|=4一|PB'|,因此|PA|+|PB|=| PAI+(4-1PB)=4+IPAI-IPB'I <4+14B'I=4+1= 5,当且仅当点P在AB的延长线上时，等号成立，所以|PA|十 PB的最大值为5. 2 B 10.(13分)写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)b=1,c=V15,焦点在y轴上： (2)a=10,c=6: (3)经过点P(-23,0),Q0,2)两点； (4)与椭圆￥+号=1有相同的焦点且经过点(2，-√3)， 解：(1)因为b=1,c=√15，所以a2=b2+c2=16, 因为椭圆焦点在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为君十x2=1 (2)因为a=10,c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64, 因为椭圆焦点位置不确定， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以所求械圆的标准方程为品十器=1或器十=1. (3)由题意得P,O分别是椭圆与坐标轴的交点，且椭圆的焦点在x轴 上， 所以a=25,b=2, 所以所求椭圆的标准方程为器十号=1. (4)设椭圆号+号=1的两个焦点为F,下，且焦点在x轴上， 因为c=√4-3=1，所以F(-1,0),F2(1,0), 故设椭圆方程为罩+=1(a>b>0), =4+25,=4-25, 由题意得 2-b=1解得 条+是=1， 2=3+25(b2=3-25<0(舍去) 所以所求椭圆的标准方程为4+2+升25=1 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)设椭圆等+号=1的右焦点为F,直线y=m0<m<V) 与椭圆交于A,B两点，则() A.IAF|十IBF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6,12] C.当m=9时，△4BF为直角三角形 D.当m=1时，△ABF的面积为√6 答案：ACD 解析：设椭圆的左焦点为F,则|AF|=|BF|,所以|AF|十 BF|=|AF|十|AF'|=6为定值，故A正确；△ABF的周长为| AB|+|AF|+IBFI,因为IAF|+IBFI为定值6，IAB|的 取值范围是(0,6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6,12)，故B错 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 误；将y=与椭圆方程联立，可解得A( ,)B(9), 又因为FV6,0),所以证B驴=(6+9)(6-9)+(5)=0， 所以AF⊥BF,所以△ABF为直角三角形，故C正确；将y=1与椭 圆方程联立，解得A(-V6,1),B(V6，,1),所以S△4Br=×2√6×1 =6,故D正确.故选ACD. 12.己知△ABC的底边长为12，其中点B(一6,0)，C(6,0),其他两 边AB,AC上的中线之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为】 答案：品十器=1x≠士10) 解析：设边AB,AC的中点分别为D,E,故|CD|十|BE|=30, 所以|CG|十|BG|=20>12=|BC|,所以点G的轨迹为椭圆， 且其两个焦点分别为点B和C,所以轨迹方程为品十器=1c≠士10)， 13.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的项点A(一3,0)和C (3,0),顶点B在椭圆器+若=1上，则器 答案： 解析：由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.则△ABC的顶点A(一3， 0)和C3,0)分别为精圆的左、右焦点，顶点B在精圆器十器=1上， 所以|BC|十|BA|=2a=10,所以由正弦定理可知#C= 2sinB IBC BA 2 AC =装=名 14.(15分)设F1,F2分别为椭圆等十y2=1的左、右焦点，B为椭圆上 的点且坐标为(0，一1) (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PFI·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF,=CF1,求的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF的周长的最大值 解：(1)因为椭圆的方程为+y2=1, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 所以a=2,b=1,c=3, 即|FF3|=2V3,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以1PF|1PF,|≤(P+PB)=(传P=4,当且仅当1PF =|P℉2|=2时取“=” 所以IPFI·IPF2|的最大值为4. (2)设C(0,yo),B(0,-1),F1(-V3,0), 由B丽=C,得=-，%=一 又尊+g=1,所以+()2=1， 化简得2+62一7=0， 解得=-7或λ=1， 因为点C异于点B,所以=一7 (3)因为|PF|+IPB|=4-|PF2I+|PB|≤4+|BF2I, 所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BFI=8, 所以当点P位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF的周长最大， 最大值为8. @创新拓展 15.(5分)设P是椭圆器+号=1上一点，M,N分别是圆A:(x+42 +y2=1和圆B:(x-4)P+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小 值、最大值分别为() A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 答案：C 解析：如图所示，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个 焦点，由椭圆的定义知|PA|十|PB|=2a=10,连接PA,PB,分 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 别与左、右两圆相交于M,N两点，设r为两圆的半径，此时|PM +|PN|最小，最小值为|PA|+|PB|一2=8.延长PA,PB,分 别与左、右两圆相交于'，N"两点，此时|PM|十IPN|最大，最 大值为|PA|十|PB|+2r=12,即最小值和最大值分别为8,12. 故选C M'A 0 B 16.(17分)某海域有A,B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多 年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C,有渔船在距A岛、 B岛距离和为8海里处发现鱼群，以A,B所在直线为x轴，AB的垂 直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示 北 A OB (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探 测信号（传播速度相同），A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间 比为5：3，你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？ 解：(1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a=8的椭圆，又2c=4, 则c=2,a=4,故b=25, 所以曲线C的标准方程为器十罗=1. (2)由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3，因此设鱼群此 时距A,B两岛的距离比为5：3，即鱼群分别距A,B两岛的距离为 5海里和3海里，设P(x,y),B(2,O),由|PB|=3,得 Vx-2)}+y2=3, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (x-2)+y2=9, 解得 x=2, 或x2, 所以 若+拉=1， y=3 y=-3. -4≤x≤4， 所以点P的坐标为(2,3)或(2，一3) 学生用书↓第53页 ·独家授权侵权必究·