2.1.1椭圆及其标准方程（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，从篮球投影等生活实例导入，通过细绳画椭圆的动手操作，引导学生观察距离之和为常数的不变量，类比圆的定义抽象出椭圆定义，再以坐标法推导标准方程，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，通过动手操作和类比推理发展数学思维，推导过程逻辑严谨且结合典例分析定义法、待定系数法等解题方法，帮助学生提升抽象能力与推理意识，教师可直接用于教学，高效落实核心素养。

1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 结合实例，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义. 理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 能够根据已知条件求椭圆的标准方程. 1 读教材 阅读课本P46-P47，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“椭圆及其标准方程”吧！ 1.你能举出一些“椭圆形状”的例子吗？ 2.椭圆的定义是什么？ 新课引入 生活中我们对“椭圆形状” 并不陌生. 椭圆形的镜子 篮球在阳光下的投影 行星运行的轨道 具有什么特点的曲线是椭圆呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的定义 3 题型训练 2 椭圆的标准方程 新知探究 知识点一、椭圆的定义 思考1：如何绘制出椭圆？ 1.取一条一定长度的细绳,把它的两端分别固定在画板上和. 2. 当绳长和的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在画板上慢慢移动,画出曲线． 新知探究 知识点一、椭圆的定义 思考2：绘制椭圆过程中,哪些量没有发生改变？ 移动笔尖的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离之和等于一个常数. 思考3：绳长能小于和之间的距离吗？ 思考4：类比圆的定义,你能用精确的数学语言描述椭圆吗? 不能 新知探究 知识点一、椭圆的定义 思考4：类比圆的定义,你能用精确的数学语言描述椭圆吗 平面内与一个定点的距离等于常数(大于0)的点的轨迹叫作圆. 这个定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径. 圆的定义 椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 类比 新知探究 知识点一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2,的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. M F1 F2 注：是椭圆上任意一点,且常数;将常数记为焦距记为且. 通过观察可知椭圆是轴对称图形,那么如何由椭圆的定义说明该猜想的正确性? 新知探究 知识点二、椭圆的对称性 设点P为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义可知： |PF1|+|PF2|=2a(a为大于0的常数) 设点P1为点P关于直线F1F2的对称点,则 |P1F1|+|P1F2|=2a(a为大于0的常数) 这说明点P1也在椭圆上,所以直线F1F2是椭圆的对称轴． 一、椭圆是轴对称图形 新知探究 知识点二、椭圆的对称性 类似地,可知线段F1F2的垂直平分线MN也是椭圆的对称轴; 线段F1F2的中点O是椭圆的对称中心. 椭圆是轴对称图形,直线F1F2及线段F1F2的垂直平分线都是椭圆的对称轴;椭圆也是中心对称图形,线段F1F2的中点o是椭圆的对称中心. 二、椭圆是中心对称图形 典例分析 例1：已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的定点A的轨迹是什么？并说明理由. 因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以 |AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC| 根据椭圆的定义可知,△ABC的定点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为4的椭圆. 解： 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的定义 3 题型训练 2 椭圆的标准方程 新知探究 通过前面的探究,我们得到椭圆了定义,接下来要建立椭圆的方程. 思考5：类比圆的方程的建立,如何建立椭圆的方程呢？ 坐标法 思考6：用坐标法求轨迹方程分为几步？ 建系、设点、列式、化简 如何建立平面直角坐标系能使方程的形式简单？ 利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴. O x y O x y 新知探究 如图,以直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系. 建系 设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距2c(c>0),M到的距离的和为2a(2a>2c),则的坐标分别是(-c,0)、(c,0). 设点 O x y F1 F2 下面,我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程. 设P(x,y)是椭圆上任意点,根据椭圆的定义可知点P满足： |PF1|+|PF2|=2a 因为|PF1|= , |PF2|= 列式 下面,我们根据椭圆的定义来求椭圆的方程. 新知探究 O x y F1 F2 P 化简 新知探究 1.对方程①移项： 2.对方程②两边平方得： 整理,得. ② ① 化简 ③ 3.对方程③两边平方得：. 整理,得. ④ 4.将方程④两边同时除以得： ⑤ 新知探究 思考：观察下图,你能从中找出表示的线段吗？ O x y F1 F2 P 令 、 、 18 新知探究 知识点二、椭圆的标准方程 我们将方程 叫作椭圆的标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),其中b2=a2-c2. 如果焦点在y轴上, 其焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c),用同样的方法可以推出标准方程为 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 O x y O x y 、 、 知识点二、椭圆的标准方程 新知探究 典例分析 例1：已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经P.求椭圆的标准方程. 解法1： 因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为： 根据椭圆的定义知： 从而a=, 又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6． 所以椭圆的标准方程为: 典例分析 因为点P 在椭圆上,又c=2,所以 解得b2=6或b2= (舍去), 则a2=10. 所以椭圆的标准方程为： 例1：已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经P.求椭圆的标准方程. 解法2： 因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为： 求解椭圆标准方程的方法： 提分笔记 ⑴定义法：根据椭圆的定义,确定的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. ⑵待定系数法：首先建立方程,然后依据题设条件,计算出方程中的a,b的值,从而确定椭圆方程（注意焦点的位置）. 典例分析 例2：求证：点M(acosθ,bsinθ)(0≤θ≤2)在椭圆上. 将点M的坐标代入,得 所以点M(acosθ,bsinθ)(0≤θ≤2)在椭圆上. 证： 学习过程 01 03 02 目录 1 椭圆的定义 3 题型训练 2 椭圆的标准方程 题型探究 例1： 解： 求椭圆的标准方程 题型1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (1)由题意，联立，解得： ， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 则由椭圆的性质得：， 题型探究 例1： 解： 求椭圆的标准方程 题型1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (2)由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：， 故椭圆的标准方程为：. 题型探究 例1： 解： 求椭圆的标准方程 题型1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，； (2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，，且经过点； (3)因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点，所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. 因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 题型探究 例1： 由椭圆方程求参数的取值范围 题型2 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 解： D 题型探究 例2： 由椭圆方程求参数的取值范围 题型2 若曲线表示椭圆，则， 解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解： B 课堂小结 一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2,的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. M F1 F2 注：是椭圆上任意一点,且常数;将常数记为焦距记为且. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 O x y O x y 、 、 课堂小结 感谢聆听! $$