课时分层评价12 圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价12　圆与圆的位置关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 答案：C 解析：圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，1＝r2－r1＜｜O1O2｜＝＜r1＋r2＝3，即两圆相交.故选C. 2.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离｜C1C2｜＝(　　) A.4 B.8 C.4 D.8 答案：B 解析：由题意知，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，｜C1C2｜＝×＝8.故选B. 3.圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　) A.(x－2)2＋y2＝5 B.x2＋(y－2)2＝5 C.(x－1)2＋(y－1)2＝5 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 答案：D 解析：由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为.设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则所以所求圆的圆心为(－1，－1).又所求圆的半径为，所以圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.故选D. 4.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以｜O1O2｜＝＝13，所以r－R＜｜O1O2｜＜R＋r，所以两圆相交.所以公切线有2条.故选B. 5.若圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A. B.4 C. D. 答案：D 解析：由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，圆O的半径r＝2，所以截得的弦长为2＝2＝.故选D. 6.(多选题)若对于圆C：(x－m－2)2＋(y－m)2＝1上任意一点P，在圆O：x2＋y2＝1上总存在点Q，使得∠PQO＝，则实数m可以取的值为(　　) A.－3 B.－2 C.0 D.1 答案：AD 解析：由∠PQO＝，知PQ为圆O的切线，即圆C上任意一点P都可以向圆O作切线，当两圆外离时，满足条件，所以｜OC｜＞1＋1，即＞2，化简得m2＋2m＞0，解得m＜－2或m＞0.结合选项可知m可以取－3，1.故选AD. 7.圆x2＋y2－2x－3＝0与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0的公共弦长为　　　　. 答案：2 解析：联立方程组两式相减得x＋y＋1＝0，为公共弦长所在直线的方程.又圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心为，r＝2，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝＝，所以两圆的公共弦长为2＝2＝2. 8.(易错题)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有　　　　条. 答案：4 解析：到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距｜AB｜＝＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 9.已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，则这些圆的公切线方程为　　　　　　. 答案：2x－y±5＝0 解析：由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则＝，所以c＝±5，所以这些圆的公切线方程为2x－y±5＝0. 10.(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为. (1)当两圆外切时，＝＋， 解得m＝25＋10. (2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5， 故－＝5，解得m＝25－10. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0， 所以公共弦长为 2＝2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值可以为(　　) A. B.4 C. D.6 答案：BCD 解析：因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点.圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，｜OC｜＝＝5，因此两圆相切或相交，即｜m－1｜≤≤m＋1，解得4≤m≤6.故选BCD. 12.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1.因为点P到点(0，1)的距离为2，所以点P的轨迹为x2＋(y－1)2＝4.因为P又在圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1上，所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点，即2－1≤ ≤2＋1，所以≤a≤0或1≤a≤.所以实数a的取值范围是∪. 13.已知圆C1：x2＋(y－3)2＝8与圆C2：(x－a)2＋y2＝8相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则的最小值为　　　　. 答案： 解析：圆C1：x2＋(y－3)2＝8的圆心C1(0，3)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋y2＝8的圆心C2(a，0)，半径r2＝2.因为两圆相交，则0＜｜C1C2｜＜4，即0＜＜4，解得－＜a＜.两圆的方程相减得2ax－6y＋9－a2＝0，即直线AB的方程为2ax－6y＋9－a2＝0.当a＝0时，直线AB的方程为2y－3＝0，此时AB∥x轴，与x轴没有交点，不符合题意.当a≠0时，令y＝0，得x＝－，即P( －，0).则＝×3×｜－－a｜＝｜a＋｜＝( ｜a｜＋)≥×2＝，当且仅当｜a｜＝，即a＝±3时取等号，所以. 14.(15分)已知圆C1：x2＋y2＝m与圆C2：x2＋y2－4x＝0. (1)若圆C1与圆C2内切，求实数m的值； (2)设点A(3，0)，在x轴正半轴上是否存在异于点A的点B(b，0)，使得对于圆C2上任意一点P，为定值？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)因为C2：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4， 故圆C2的圆心坐标为C2(2，0)，半径r2＝2， 且圆C1：x2＋y2＝m，故圆C1的圆心坐标为C1(0，0)，半径r1＝(m＞0)， 若圆C1与圆C2内切，则＝， 即＝2，且m＞0，所以m＝16. (2)设点P(x，y)，则x2＋y2－4x＝0， 于是｜PA｜2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋(4x－x2)＝－2x＋9， 同理｜PB｜2＝(4－2b)x＋b2， 可得＝， 要使为定值，则＝，解得b＝6或b＝3(舍去)， 故存在点B使得为定值，此时b＝6. 15.(5分)已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为(　　) A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0 答案：D 解析：由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得☉M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)，半径r＝2.如图所示，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由所以P(－1，0).易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D. 16.(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切. (1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径； (2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由. 解：(1)圆x2＋y2－2x－4y－76＝0的圆心坐标为(1，2)，半径为9. 设圆C的圆心坐标为(a，2a)，则半径r＝＝，两圆的圆心距为 ＝｜a－1｜＝r， 因为两圆外切，所以r＝r＋9，所以r＝＋1. (2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2). ①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心C到它的距离｜a－1｜＝r＝，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线； ②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)， 则d＝＝r＝对任意的a都成立，即＝，＝， 两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，当k＝1时，直线与l1重合， 当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0， 故还存在一条公切线，其方程为7x－y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $