4 2.4　圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法，培养数学抽象的核心素养.　2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，提升数学运算的核心素养.　3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆与圆的位置关系 问题1.观察下图，思考问题. 上图为某次拍到的日环食全过程，可以用下图所示的两个圆来表示变化过程. 根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 提示：有三种，分别为相交、相切(含外切与内切)和相离(含外离与内含). 问题2.能否通过一些数量关系判断两圆的位置关系？ 提示：可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断，比较准确区分5种位置关系；也可以用公共点的个数，但相切、相离时不够准确. 1.平面内两个不等的圆之间的5种位置关系 位置 关系 定义 图形 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部 外切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点 相交 两个圆有两个公共点 续表 内切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点 学生用书⬇第40页 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部 2.判断方法 几何法：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系： 位置关系 图示 d与r1，r2的大小关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 内切 d＝｜r1－r2｜ 内含 d＜｜r1－r2｜ [微思考]　1.(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？ (2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ 提示：(1)公切线的条数分别是4，3，2，1，0. (2)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线. 2.圆与圆的位置关系可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断吗？ 提示：当有两组解时，两圆相交，可以用代数法判断；当有一组解或无解时，不可以用代数法判断，因为当有一组解时，两圆位置关系是相切，但不能判断是内切还是外切；当无解时，两圆位置关系是相离，但不能判断是外离，还是内含，所以此时还得重新用几何法进一步确定. 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解：圆C1，C2的方程经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以｜C1C2｜＝＝a. (1)当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. (2)当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. (3)当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离. (4)当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 判断两圆的位置关系的三种方法 1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. 2.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 3.公切线法：根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系. 注意：在运用代数法判断两圆的位置关系时，只能粗略判断相交、相离、相切，因此在实际解题时要优先选用几何法. 对点练1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而｜C1C2｜＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切； 当｜－1｜＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切； 当｜－1｜＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交； 当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离. 学生用书⬇第41页 任务二　利用两圆的位置关系求圆的方程 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 解①②③，得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. [变式探究] (变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解：因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 对点练2.已知△ABC的边AB，AC所在的直线方程分别为x－2y＋3＝0，x＋2y－1＝0.求以点A为圆心，与圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1相切的圆的方程. 解：由 所以点A. A满足(－1－2)2＋(1＋3)2＞1，即A在圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1外. 由题意知D(2，－3)， 所以｜AD｜＝＝5. 设圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)， 当两圆外切时，有r＋1＝5，所以r＝4， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16； 当两圆内切时，有r－1＝5，所以r＝6，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝36. 综上所述，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16或(x＋1)2＋(y－1)2＝36. 任务三　相交弦及圆系方程问题 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)(一题多解)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. 因为A，B两点的坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝， 所以C1到直线AB的距离d＝＝， 所以｜AB｜＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)法一：解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故圆心为(，－)，半径为. 故圆的方程为( x－)2＋( y＋)2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为( －，－)，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 1.两圆的公共弦问题 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 2.过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 学生用书⬇第42页 对点练3.(一题多解)已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程. 解：法一：由 得 所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4). 设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将点A，B，P的坐标代入，得 解得满足D2＋E2－4F＞0， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0. 因为点P(－1，－2)在圆C上， 所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0， 即x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 任务再现 1.圆与圆的位置关系.2.利用两圆的位置关系求圆的方程.3.相交弦及圆系方程问题 方法提炼 几何法、代数法 易错警示 混淆两圆位置关系的条件以及忽略两圆相切包括内切与外切两种情况 1.两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 答案：C 解析：法一：(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜｜C1C2｜＜r1＋r2，所以两圆相交.故选C. 法二：(代数法)：联立方程 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，所以两圆相交.故选C. 2.(多选题)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A.2 B.－2 C.5 D.－5 答案：AD 解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2，或m＝－5.故选AD. 3.以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝5 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C.(x－1)2＋y2＝5 D.x2＋(y－1)2＝5 答案：A 解析：由题意知，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a，1)代入上式可得a＝1，即圆心为(1，1)，半径r＝＝，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A. 4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，λ≠－1，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $