1.1.6.1两点间距离公式（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.6 平面直角坐标系中的距离公式 一、两点间的距离公式 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离   两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 一起来探讨这个简单的问题吧！ 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解两点间距离公式的代数含义与几何含义. 会运用公式在直角坐标系中求两点间的距离. 能灵活应用公式解决两点间距离的最值问题和参数问题. 读教材 阅读课本P21-P22，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“两点间的距离公式”吧！ 1.平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？ 2.斜率为k的直线上任意两点的距离公式还能怎么表示？ 今天，我们一起来探讨上面的问题？ 新课引入 对于数轴上的任意两点A、B，我们可以如何计算A、B间的距离？ 数轴上 在平面直角坐标系中，若两点为，又该如何 计算A、B之间的距离呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 两点间的距离公式 2 题型训练 新知探究1 探究1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 | ? O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) 解：由点，，得. 于是， . 由此得到两点间的距离公式 . 新知探究1 探究1 你能利用 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 构造直角三角形，再用 勾股定理推导两点间的距离公式吗？ x y O P2 (x2，y2) P1 (x1，y1) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) Q (x2，y1) || = || || = || 两点间的距离公式： 新知探究1 解k＝，得于是， ＝＝. ＝＝. 新知1 两点间的距离公式 1.两点间的距离公式: 注： 原点与任一点间的距离. 两点间的距离公式： 典例分析 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l:y=2x+b上的两点， 若|x2-x1|=3，求|AB|？ 解：∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l:y=2x+b上， ∴y1=2x1+b ， y2=2x2+b， 由已知|x2-x1|=3，得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6. 根据两点间的距离公式，得 课本第21页 典例分析 例2 已知∆ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，求∆ABC的周长？ 典例分析 例3 如图，∆ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4). (1)试判断∆ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长？ 课本第22页 解：(1)根据两点间的距离公式，得： 因为： 即： ∴∆ABC是直角三角形. 典例分析 例3 如图，∆ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4). (1)试判断∆ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长？ 课本第22页 解：(2)∵BC的中点D的横坐标： ，纵坐标： ∴BC边上中线的长 典例分析 例4 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B， 求|AB|的值？ 典例分析 例5 已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________. 1或－5 解：由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52， 所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5. 典例分析 例6 求直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标？ 解：设所求点的坐标为(x0，y0)，有 坐标为(－3,4)和(－1,2) 典例分析 例7 已知点，，在轴上求一点，使， 并求的值? 解：设所求点为，则 . 由，得.解得. 所以，所求点为，且. 学习过程 01 03 02 目录 1 两点间的距离公式 2 题型训练 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例1 已知∆ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)， 则BC边上 的中线长为______. 解：BC的中点坐标为(0,1)， 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例2 在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，求Q点的坐标？ (10,0)或(0,0) 解：设Q(x0,0)，则有 所以Q点的坐标为(10,0)或(0,0) 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例3 已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l 与已知 直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l 的方程？ 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)， 当直线的斜率不存在时，方程为x＝1.此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 即l:3x＋4y＋1＝0. 题型探究 例4 (多选)对于 ,下列说法正确的是( ) A.可看作点(，0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(，0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(，－1)与点(－1,1)的距离 两点间距离的最值 题型2 BCD 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确. 题型探究 例5 已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，求实数a的值？ 两点间距离的最值 题型2 解：　∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， 题型探究 两点间距离的最值 题型2 课堂小结 1.两点间的距离公式: 注： 原点与任一点间的距离. 两点间的距离公式： 感谢聆听！ 思考：斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式？ 已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，两点间的距离公式为： |P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝|x2－x1|·eq \r(1＋k2)＝|y2－y1|·eq \r(1＋\f(1,k2)). 已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式 |P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝|x2－x1|·eq \r(1＋k2)＝|y2－y1|·eq \r(1＋\f(1,k2)). 解：|AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. 解：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)， 直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B(－1，)， 由两点间的距离公式，得|AB|＝. x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或 则BC边上的中线长为＝. 13＝，得x0＝0或x0＝10. 解方程组得 即B. 由|AB|＝＝5， 解得k＝－， ＝＝， 解:＝ ∴当a＝时，|AB|取得最小值. ∴|AB|＝ ＝＝ ＝ 例6 已知x，y∈R，S＝＋， 求S的最小值？ 解：S＝+可以看作：点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，由两点之间线段最短及数形结合(图略)： 最小值为点(－1,0)与点(1,0)的距离2. 已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式 |P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝|x2－x1|·eq \r(1＋k2)＝|y2－y1|·eq \r(1＋\f(1,k2)). $$