课时分层评价3 直线方程的两点式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价3　直线方程的两点式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：A 解析：令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A. 2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0 C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0 答案：B 解析：由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选B. 3.若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A.180 B.181 C.182 D.183 答案：D 解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故选D. 4.两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　　) 答案：B 解析：直线－＝1的斜率为k1＝，直线－＝1的斜率为k2＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意.故选B. 5.若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝(　　) A. B. C. D.2　　 答案：B 解析：因为直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，所以＋＝1，则a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2，此时b＝a，则＝＝.故选B. 6.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程 B.在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1 C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D.过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 答案：AD 解析：对于A，＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线去掉点(x1，y1)，故A正确；对于B，在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有ab≠0时，直线方程为＋＝1，故B错误；对于C，直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0，b)，交点到原点的距离为，故C错误；对于D，过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线当x1≠x2时，直线方程为y－y2＝(x－x2)，变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，当x1＝x2时，直线方程为x＝x2，也适合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正确.故选AD. 7.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：易得直线＝过(－5，0)，(3，－3)，故l的斜率为＝－. 8.已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为　　　　. 答案：－1 解析：因为直线l的方向向量为(1，－2)，所以直线斜率k＝－2，又直线l过点(－3，4)，所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 9.(易错题)过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　. 答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.所以所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 10.(13分)直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当｜OA｜＝｜OB｜时，求直线l的方程； (2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，且A(a，0)，B(0，b)， 由｜OA｜＝｜OB｜，得a＝b，由直线l过点P( ，2)，得＋＝1，解得 所以直线l的方程为3x＋3y－10＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，a＋b＝7　①， 因为直线l过点P，所以＋＝1　②， 联立①②，解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A.＞ B.＞ C.(b－a)(b＋a)＞0 D.＞ 答案：AB 解析：因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0，由直线的斜率小于1，可得0＜－＜1，结合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由绝对值的性质，可得＞，故A正确；由幂函数y＝的单调性知， ＞，故B正确；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C错误；由＜0，＞0，得＜，故D错误.故选AB. 12.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0 解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则｜a｜＝｜b｜.因为｜a｜·｜b｜＝｜a｜2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线l的方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0. 13.(双空题)若直线l过点(4，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　　　　，当△AOB的面积取最小值时直线l的方程是　　　　　　　　. 答案：8　x＋4y－8＝0 解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点(4，1)，所以＋＝1.又＋≥2，所以1≥2，即ab≥16，当且仅当＝，即a＝8，b＝2时取等号，所以(S△AOB)min＝×16＝8，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. 14.(15分)一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河边共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 解：如图所示，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立平面直角坐标系， 则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝｜BH｜＝＝300， 故点B(300，700)， 设点A关于x轴的对称点为A'(0，－300)， 则直线A'B的斜率k＝，直线A'B的方程为y＝x－300. 令y＝0，得x＝90，则点P(90，0)， 故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省. 15.(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0 C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0 答案：C 解析：因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G，因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D(，0)，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0.故选C. 16.(17分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？ 解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n). 又因为P(m，n)在直线EF：＋＝1上， 所以＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20， 故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)， 当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5， 即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大. 学生用书⬇第12页 学科网（北京）股份有限公司 $