1.1.3（二）直线方程的两点式 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019)选择性必修第一册

1.1.3.2 直线方程的两点式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，理解并掌握直线的两点式方程，体现逻辑推理能力（重点） 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围（难点） 新课导入 我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系. 思考一下：如图，已知直线l上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x,y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？ 新课学习 对于上面的思考进行分析： 设直线AB的方程为y-y1=k(x-x1)， ① 而直线AB的斜率为 代入①，整理得 新课学习 直线方程的两点式的概念 由直线上任意两点算出的斜率是一个恒定的常数，因此 即 (其中x1≠x2,y1≠y2) 这个方程称为直线方程的两点式. 新课学习 拓展：两点式方程的注意事项： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0 (y1＝y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 新课学习 例9:已知直线l与x轴的交点为A (a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠ 0，b≠ 0，求直线l的方程． ∵直线l经过点 A (a,0)，B(0,b)，所以直线l的方程为： 整理，得 新课学习 截距式方程的概念 通常，称 （其中ab≠0） 为直线方程的截距式. 截距式方程的相关概念： 与x轴交点的横坐标（即直线在x轴上的截距） 与y轴交点的纵坐标（即直线在y轴上的截距） 新课学习 例10：已知直线l经过A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)两点，写出直线l方程. 由经两点的直线斜率的计算公式，可得 再由直线方程的点斜式，可得 新课学习 拓展：截距式方程应用的注意事项： 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． 2.选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 3.要注意截距式直线方程的逆向应用． 新课学习 思考一下：任意一条直线的方程都能用直线的截距式表示吗？ (1)直线方程的截距式是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点. (2)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. (3)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (4)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (5)过原点的直线的横、纵截距都为零. 新课学习 练一练：已知直线l经过点P(2,3),且在x轴、y轴上的截距相等，试求该直线方程. 方法一： （1）直线在x轴、y轴上的截距相等且不为0时，设直线l的方程为 又直线经过点P(2,3), 解得a=5 ∴直线l的方程为x+y-5=0 新课学习 (2)直线在x轴、y轴上的截距相等且为0时，设直线l过原点，此时直线l的斜率为 所以直线l的方程为 ，即3x-2y=0 综上可知，所求直线方程为x+y-5=0或3x-2y=0 新课学习 方法二： 所求直线方程为y-3=k(x-2)(k≠0) 令y=0,得 令x=0,得y=-2k+3 由 ，得 或k=-1 故所求直线方程为x+y-5=0或3x-2y=0 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 C 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 课堂巩固 27 课堂总结 1.直线方程两点式的概念 2.截距式方程的概念 THANK YOU 1.已知直线 ，则以下四个情况中，可以使l的图像如下图所示的为( ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析：由 ，当 时， ，当 时， ， 由图可知 ，所以当 时， ， 当 时， ， 所以ABC错误，D正确，故选：D 2.已知直线l过点 和 ，且在x轴上的截距是1，则实数m等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：因为直线l在x轴上的截距是1，所以过点 ， 又直线l过点 ，所以直线l的斜率为 ， 所以直线l的方程为： ，即直线方程为 ， 又直线l过点 ，所以 ，解得 .故选：D. 3.己知直线l过点 和 ，则直线l在y轴上的截距为( ) A. B.0 C.2 D.4 解析：直线l的斜率为 ， 直线l的方程为 ，即 ，故直线l在y轴上的截距为2. 故选：C 4.过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A. B. C. 或 D. 或 解析：设直线在两坐标轴上的截距分别为：a，b，则 ① ，则直线过原点，则直线方程为： ② ， 则 ，则设直线方程为： ，即 ，则 ， 直线方程为： 综上所述：该直线方程为 或 故选：D 5.直线在x轴上的截距为( ) A.-2 B. C. D.2 解析：令 ，求出x的值，即可得到直线在x轴上的截距． 直线 ，令 ， 可得 ，故直线 在x轴上的截距为 ， 故选：B 解析：经过两点 和 的直线方程为 ， 即 ，令 ，得 .故答案为：27. 6.经过点 ， 的直线在x轴上的截距为_________. $$