精品解析：吉林省松原市长岭县第四中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025—2026学年新课标高一上学期12月月考数学 考试时间： 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式不等式求解得到集合B，根据交集的运算即可得出答案. 【详解】，又 所以集合，又， 所以， 故选：C. 2. 已知，，，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数的性质确定的范围，进而确定大小关系. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，， 所以， 故选：C. 3. 若的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为的定义域是， 所以对于函数，应满足： ，即，解得， 故函数的定义域是. 故选：D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数，则与是同一个函数 C. 若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 D. 若都是无理数，则是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题得否定，同一函数的判断，一元二次不等式恒成立的条件及反例逐个判断即可； 【详解】命题“”的否定是“，A错； ，两函数定义域不同，B错误； 若不等式对任意实数都成立，则，即，C对； 取，此时为有理数，D错； 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，特殊点函数值，即可求解. 【详解】由，得， 即函数为偶函数，排除AB， 又， 当时，，所以，故排除D. 故选：C 6. 用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（ ）次 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为，从而列出不等式得出答案. 【详解】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度为， 因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为， 所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次. 故选：B 7. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（ ）小时 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 故选：B. 8. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A错误； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B错误； 对于C：当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D：由图象可知， 所以，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则，，所以，，则，即，A错； 对于B选项，因为，，则，由不等式的性质可得，B错； 对于C选项，因为，，则， 所以，，C对； 对于D选项，因为，，由不等式的性质可得，则， 由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则直线与函数的图象的公共点的个数为（ ） A. 当时，有个公共点 B. 当时，有且只有个公共点 C. 当时，有个公共点 D. 当时，没有公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此可知正确选项. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立，可得或， 所以直线与抛物线的交点为， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示： 当时，有个公共点，分别为，故A正确； 当时，有且只有个公共点，即为，故B正确； 当时，有个公共点，即为，故C正确； 当时，有个公共点，即为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得及，结合对应的解析式即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 13. 已知a>0，b>0且a+b=1，则的最小值是___________. 【答案】9 【解析】 【分析】先利用平方差公式和得出，再去括号、通分得出，根据和基本不等式可求出的最大值，即的最小值． 【详解】 ， ， ，即， ， ，当且仅当时，取得等号， 即的最小值是9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用这个条件进行转化是关键，属于中档题． 14. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则的值为___________________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到3是的一个周期，进而求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 可得，所以，所以3是的一个周期. 因为为奇函数，所以， 用替换，可得：，即. 又因，故得，即， 所以函数的图象关于 轴对称. 又， 则， 即得， 故. 故答案为：0. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）7；（3） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的定义和指数运算性质求解； （2）利用对数运算性质求解； （3）由两边平方可求，再两侧同时平方可求，由此可求结论. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，则有， 即， 所以， 所以， 故. 16. 已知集合.给出以下两个条件:①;② （1）从两个条件中，选择一个，填在横线上__________并求出此时a的取值范围; （2）若条件①和条件②中有且只有一个成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 不等式，即， 令，解得， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 若选①：因为， 当时，不等式的解集为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 则，无解； 综上所述：a的取值范围； 若选②：， 当时，不等式的解集为，不成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 则，无解； 综上所述：a的取值范围. （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论解不等式可得集合B，若选①：根据包含关系列式求解即可；若选②：根据交集运算列式求解即可； （2）若选①：可得，对②根据交集运算列式求解即可求得，列式求解即可；若选②：可得，对①根据包含关系列式求解即可求得，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若（1）中选①：可得条件①成立， 对于条件②：， 当时，不等式的解集为，不成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 则，无解； 综上所述：a的取值范围； 因为条件①和条件②中有且只有一个成立， 则或，解得或， 所以a的取值范围为； 若（1）中选②：可得条件②成立， 对于条件①：因为， 当时，不等式的解集为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 则，无解； 综上所述：a的取值范围； 因为条件①和条件②中有且只有一个成立， 则或，解得或， 所以a的取值范围为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且, （1）求实数的值 （2）用定义证明在上是增函数 （3）解关于t的不等式 【答案】（1）; （2）由（1）得, 任取， 则 ∵ ∴，，，， ∴ 即 ∴在上为增函数； （3） 【解析】 【小问1详解】 为奇函数,, ∴, ∴; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是定义在上的奇函数 ∴由得：， 又∵在上为增函数 ∴，解得， ∴原不等式的解集为. 18. 函数在上是单调递减函数且且满足下列三个条件中的两个①函数为奇函数;②;（3）. （1）从三个条件中选择两个并求的解析式; （2）在（1）的情况下，令. （i）求的值; （ii）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为在上是单调递减函数， 故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数 因为函数的定义域为，所以，则，故一定满足② 选择①②，，即， 而，解得. . （2）（i）0；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析条件可得只能选择①②，再由函数的奇偶性代入计算，即可得到结果； （2）（i）由条件可得为奇函数，即可得到结果；（ii）将方程有解转化为函数相交问题，再由对数型复合函数的值域代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）根据题意可知，解得函数的定义域为 又，则为奇函数， 且， ， （ii）若关于的方程在上有解， 则在区间上有解， 令，则的范围即为的值域， 易知函数为上的减函数， 对于函数， 由于内层函数为上的减函数，外层函数为增函数， 所以函数为上的减函数， 所以，函数为上的减函数. 则， 的取值范围为. 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数. （1）判断函数是否为型函数？若是，给出一个常数，若不是，说明理由； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式. 【答案】（1）是，答案不唯一，只要满足； （2） 设， 任取，则， 则， 则也是型函数. （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据定义型函数的定义求解； （2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得K，再利用反证法和分类讨论求出函数的解析式. 【小问1详解】 假设是型函数， 则任取，都有恒成立. 即，当时，， 当时， 综上所述，，所以答案不唯一，只要满足； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设且，因， 则， 由于，所以，所以， 所以或， 当时，假设存在且， 若，则， 若，则， 均矛盾，故对任意，都有， 此时，的解析式为 同理，当时，的解析式为， 综上，的解析式为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年新课标高一上学期12月月考数学 考试时间： 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 若的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若函数，则与是同一个函数 C. 若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 D. 若都是无理数，则是无理数 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（ ）次 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（ ）小时 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 11. 已知函数，则直线与函数的图象的公共点的个数为（ ） A. 当时，有个公共点 B. 当时，有且只有个公共点 C. 当时，有个公共点 D. 当时，没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式________． 13. 已知a>0，b>0且a+b=1，则的最小值是___________. 14. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则的值为___________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 16. 已知集合.给出以下两个条件:①;② （1）从两个条件中，选择一个，填在横线上__________并求出此时a的取值范围; （2）若条件①和条件②中有且只有一个成立，求a的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且, （1）求实数的值 （2）用定义证明在上是增函数 （3）解关于t的不等式 18. 函数在上是单调递减函数且且满足下列三个条件中的两个①函数为奇函数;②;（3）. （1）从三个条件中选择两个并求的解析式; （2）在（1）的情况下，令. （i）求的值; （ii）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数. （1）判断函数是否为型函数？若是，给出一个常数，若不是，说明理由； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $