精品解析：江苏省宿迁市钟吾国际学校2025-2026学年上学期期中八年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中测试 初二数学试卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（　　） A. 三角形的中线 B. 三角形的高线 C. 三角形的角平分线 D. 三角形一边的垂线 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 【详解】∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高， ∴分成的两三角形的面积相等． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟知三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键. 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. a是x的平方根 B. x是a的平方根 C. x是a的算术平方根 D. a是x的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 是的平方根． 故选：B． 3. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是负整数，是有理数，不符合题意； B. 是无理数，符合题意； C. 是分数，是有理数，不符合题意； D. 是有限小数，是有理数，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，，平分，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解∶∵，平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选∶C． 5. 下列各组数据是勾股数的有（ ） ，，；，，；，，；，，；，，． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 6. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 证明，可判断，可判断①；根据题意可得，可判断③；由，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的度数， ∴无法确定的度数， ∴无法得到的大小关系，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 7. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，一条长为20cm可到达底部的直吸管在罐外部分a长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ） A. 8≤a≤15 B. 5≤a≤8 C. 7≤a≤8 D. 7≤a≤15 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围． 解：如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短， 此时罐内部分就是圆柱形的高， 罐外部分a=20﹣12=8（cm）； 当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长， 即线段AB的长， 在Rt△ABO中， AB===13（cm）， 罐外部分a=20﹣13=7（cm）， 所以7≤a≤8． 故选C． 考点：勾股定理的应用． 8. 如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求得，再列面积等式求得是解题的关键． 二．填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，只需要对千分位上的数字6进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解；用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是， 故答案为；． 11. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】∵的周长为20，， ∴， ∵， ∴， 答案为：6． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 13. 如图，是边的垂直平分线，若，则=_______________ 【答案】5． 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度． 【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD． ∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 15. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据等边证得，得到，再根据等腰三角形的性质求得，；四边形的面积分解为三角形和的面积求解． 【详解】解：在与中， ， ，故①正确； ， ， ，，故②④正确； 四边形的面积，故③正确． 故答案为：①②③④． 16. 如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的的值，即可求得线段的最小值． 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，O为中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 18. 数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．定义：表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么c的值是__________________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解，正确理解题意列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴（不符合题意，舍去）或或或（不符合题意，舍去）， 综上所述，c的值是或， 故答案为：或． 三．解答题（共10小题，满分96分．将解题过程写在答题纸相应的位置上） 19. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、立方根、平方根、绝对值的混合运算，解题的关键是熟练掌握各运算的定义和性质． （1）分别计算乘方、立方根、绝对值，再进行加减运算； （2）依次计算乘方、平方根、立方根，再进行乘除、加减运算． 【小问1详解】 解： ； 代入原式∶ 【小问2详解】 ； ； ． 代入原式∶ 20. 已知的立方根是1，算术平方根是3，的整数部分是c． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）分别根据立方根及算术平方根的定义，估算无理数大小的方法求出，，的值即可； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可解答． 【小问1详解】 解：的立方根是1， ， ； 的算术平方根是3， ， ， ； ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 的平方根是． 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】略 如图，在的边长为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直． （1）的面积为___22___． （2）直线m上存在一点P，使周长最小； ①用无刻度的直尺在直线m上作出该点P（保留画图痕迹）； ②的周长的最小值为___23___．（直接写出结果） 【答案】（1）; （2）， 如图所示， 【解析】 【分析】（1）利用分割法求面积即可． （2）①使周长最小，只要的和最小即可，利用轴对称的思想解答即可； ②根据正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，结合周长的定义解答即可． 本题考查了分割法求面积，轴对称作图求周长最值，勾股定理应用，熟练掌握作图和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得的面积为， 故答案为：． 【小问2详解】 ①使周长最小，只要的和最小即可， 作出点A关于直线m的对称点，连接交直线m于点P 则点P即为所求． ②解：根据正方形的边长为1， 根据勾股定理，得，， 故的周长的最小值为， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 25. 在中，平分，，垂足为点D，过点D作，交于点E，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 由（1）已证：， ， ， 由（1）已证：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 26. 如图，在中，为，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，． （1）与是否相等．请说明理由； （2）若的周长是28，且，求的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是28，得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是28， ∴， ∴． 27. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； （2）图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】（1） 图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）76 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 28. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）2 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：2． 【小问2详解】 解：连接， 根据题意，得， 故4秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 29. （1）如图1，在中，，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则 ．（用含的式子表示），线段之间满足的等量关系式为 （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求证：： （3）如图3，在四边形中，，，．将绕点逆时针旋转，试画出旋转后的图形，并求出的长度．（不要求尺规作图） 【答案】（1），； （2）证明：如图2： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）4 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可． （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可． （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可 本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质． 【详解】解：（1）如图1， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：，． （2）略． (3)如图3，将绕点A逆时针旋转至，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 同理得：， ∴， 中，∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中测试 初二数学试卷 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（　　） A. 三角形的中线 B. 三角形的高线 C. 三角形的角平分线 D. 三角形一边的垂线 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. a是x的平方根 B. x是a的平方根 C. x是a的算术平方根 D. a是x的算术平方根 3. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 下列各组数据是勾股数的有（ ） ，，；，，；，，；，，；，，． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 6. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 7. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，一条长为20cm可到达底部的直吸管在罐外部分a长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ） A. 8≤a≤15 B. 5≤a≤8 C. 7≤a≤8 D. 7≤a≤15 8. 如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，，，的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 的算术平方根是______． 10. 用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是_______ 11. 若，且的周长为20，，，则的长为______． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 13. 如图，是边的垂直平分线，若，则=_______________ 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 15. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______． 16. 如图，是的角平分线，点在射线上，是线段的垂直平分线交于，．若，，则______． 17. 如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为________． 18. 数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．定义：表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么c的值是__________________________． 三．解答题（共10小题，满分96分．将解题过程写在答题纸相应的位置上） 19. 计算题 （1） （2） 20. 已知的立方根是1，算术平方根是3，的整数部分是c． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 如图，在的边长为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直． （1）的面积为___22___． （2）直线m上存在一点P，使周长最小； ①用无刻度的直尺在直线m上作出该点P（保留画图痕迹）； ②的周长的最小值为___23___．（直接写出结果） 24. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 25. 在中，平分，，垂足为点D，过点D作，交于点E，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 26. 如图，在中，为，的平分线的交点，，，，垂足分别为，，． （1）与是否相等．请说明理由； （2）若的周长是28，且，求的面积． 27. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； （2）图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 28. 如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点 P运动到的中点时，t的值是 ； （2）4秒内，若， 求的长； （3）当为直角三角形时，求t的值． 29. （1）如图1，在中，，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则 ．（用含的式子表示），线段之间满足的等量关系式为 （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点、重合）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求证：： （3）如图3，在四边形中，，，．将绕点逆时针旋转，试画出旋转后的图形，并求出的长度．（不要求尺规作图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $