精品解析：广东省 惠州市仲恺区五校2025-2026学年上学期 12月联考九年级数学试题

2025-2026学年第一学期12月五校联考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 注意事项： 1、本试卷共1张，共4页． 2、将答案填写在答题卡上，在本试卷作答无效． 3、若试卷印刷不清晰或者单面，及时更换试卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．”是解题的关键． 根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是随机事件， 故选：A． 2. 下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 4. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 6. 如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，再根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 9. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线解析式可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大， ∵，，， ∴， 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份， ∴P（飞镖落在白色区域）= 故答案为：． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积． 【详解】解：连接， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 三、解答题（一）（共20分） 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键；先移项，然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ，  ， ∴  或 ， 解得  ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求，点的坐标为； （2） 解：如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． （1）则___________； （2）若，求的长． 【答案】（1）90 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 【小问2详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． 四、解答题（二）（共28分） 19. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 20. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 21. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 五、解答题（三）（共27分，22题13分，23题14分） 22. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以AC为对角线或以AC为边这两个情况，进而求得点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，得：， 解得：， 当时，， ，， 对称轴为直线， ， 抛物线经过A点，且与x轴的另一个交点为B， 将点A，点B的坐标代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，作于F，交于E， ，， ， ， ， ， ∵，， 当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：点P在抛物线对称轴上， 设， 以点A，C，P，Q为顶点作菱形， 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，两点坐标距离公式，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月五校联考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 注意事项： 1、本试卷共1张，共4页． 2、将答案填写在答题卡上，在本试卷作答无效． 3、若试卷印刷不清晰或者单面，及时更换试卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 2. 下列绿色能源图标中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 4. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 14. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）（共20分） 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． （1）则___________； （2）若，求的长． 四、解答题（二）（共28分） 19. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 20. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 21. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 五、解答题（三）（共27分，22题13分，23题14分） 22. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $