第十四章 全等三角形 单元测试 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 单元测试题 一、单选题 1．下列各组图形中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．能判定的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，，点A和点D，点B和点E是对应点，B、C、D在同一直线上，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（    ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 6．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，已知，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（   ） A．或 B． C．或 D．或 10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④ 二、填空题 11．如图，已知是的平分线，要判定，若以“”为依据，还需添加的条件是 ． 12．如图，已知，垂足为B，，，若，，则 ． 13．如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是 ． 14．如图，是等腰直角三角形，，D为内一点，且，，则的面积为 ． 15．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 三、解答题 16．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 17．如图，在中，，，． (1)求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 18．在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 19．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点Ｍ，N重合，即．过角尺顶点P的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． (1)请说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； (2)小明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点Ｍ，N，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图3，，平分，P是射线上的一点，点C在射线上运动，过点P作，与直线交于点D，过点P作于点E．若，，请直接写出的长． 20．池塘两端，的距离无法直接测量，八年级（1）班的甲、乙两个数学小组开展了课题研究． (1)甲小组的设计方案是：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由： (2)请你代表乙小组设计一个测量方案，写出测量方案并画出测量方案示意图，不用证明方案的可行性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十四章 全等三角形 单元测试题2025-2026学年人教版（2012）八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A B D C C D D 1．B 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握全等图形的概念是解题的关键；因此此题可根据全等图形的概念“能够完全重合的两个图形”进行排除选项即可． 【详解】解：选项中是全等图形的只有B选项，A、C、D都不是全等图形； 故选B． 2．B 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，选项B满足角角边条件，据此解题即可． 【详解】解：在和中， ，，， 且是的对边，是的对边， ∴则由判定定理，证得， 其他选项均不满足全等判定条件： 选项A和C为，不符合全等三角形判定方法，不能判定全等； 选项D中边不是已知两角的夹边或对边，不能判定全等， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可得：，，再根据求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定与性质、角的和差等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，；再根据角的和差可得；再证明，然后利用平行线的性质以及等量代换可得、、，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有4个． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了全等三角形判定定理．根据“”可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅱ可以根据“”可作出完全相同的三角形． 故选：B． 6．D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 先作于点E，然后根据角平分线的性质，即可得到点D到的距离． 【详解】解：作于点E，如图所示， ， 是的角平分线， ，，， ， 即点D到的距离6， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等即可得解． 【详解】解：，，， ，， ． 故选：． 9．D 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情形，分别求出速度为V． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：，，， ∵， ∴当时，，， 即：，， 解得：，， 所以点Q的运动速度为； 当时，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 所以点Q的运动速度为， 综上，点Q的运动速度为或， 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与性质，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积公式是解题的关键． 由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得，即可判断；过点作，，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，则，由此可得出；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论； 【详解】，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等， 错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ，分别是和的角平分线， ， 在中，， 则， 在上取一点，使得， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作，， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述：正确的是． 故选． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 先根据角平分线的定义得到，加上为公共边，所以根据“ASA”添加 【详解】解：是的平分线， ， ， 当添加时，可根据“”判定 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 13．6 【分析】过C作于点E，交BD于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值． 本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图： 平分，，， ， 是最小值， 此时M与重合，N与重合， 三角形的面积为15，， ， 即的最小值为 故答案为： 14．18 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，过点A作，交CD的延长线于点H，则，证明，进而依据“”判定和全等得，然后再根据三角形的面积公式即可得出的面积，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点H，则， 如图： 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的面积为：， 故答案为： 15．或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 16．(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：，，理由如下： ， ， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）在中，，， ， 是角平分线， ， ， ， ， ． 18．(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明：①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ． （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ． （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 19．(1)见解析 (2)小明的观点正确，理由见解析 (3)8或12 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】（1）解：在和中 ， ， 即平分； （2）解：小明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； （3）解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为8或12． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）利用证明即可； （2）先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，因为当，，且对顶角，所以可利用证明，即可设计方案并画图． 【详解】（1）解：可行，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； （2）设计方案：如图，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $