第07讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关系，系统梳理根与x轴交点的对应联系，近似根的估计方法，以及a,b,c符号对图象开口、对称轴、与坐标轴交点的影响，构建从代数关系到几何直观再到参数分析的递进学习支架。 通过表格对比判别式与交点情况培养抽象能力和几何直观，典例“举一反三”结合图象解决方程根的问题提升推理能力，分层习题巩固助力运算能力培养与知识查漏补缺，课中辅助教师教学，课后帮助学生强化应用意识。

第07讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 考点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 考点3：二次函数与一元二次方程、不等式的综合 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，由二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根. 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 与二次函数y=ax2+ bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下： 判别式 结果 内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不等的实数根x= 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象 a>0 a<0 抛物线与x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 【知识点02】二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根. 1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 (1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0的根的个数. (2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. (3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的根 (1)将方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式； (2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； (3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 【知识点03】二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系 二次函数y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴的交点情况，具体如下表： 字母或式子的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y 轴 ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 图象与y 轴正半轴相交 c<0 图象与y 轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac=0 图象与x 轴有唯一一个交点 b2－4ac>0 图象与x 轴有两个交点 b2－4ac<0 图象与x 轴没有交点 【题型一】二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，利用抛物线的函数图像，解决下列问题： (1)当方程时，方程的根是 ． (2)当随的增大而减小时，的取值范围是 ． (3)当时，的取值范围是 ． (4)当总有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）小明同学学习二次函数后，对函数研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了函数图象的一部分，补全剩余函数图象； (2)写出该函数的一条性质：______． (3)观察研究 ①方程的解为______． ②关于的方程有四个实数根时的取值范围是______． 【题型二】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【典例2-1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是 ． x 1 y 【典例2-3】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【变式2-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【题型三】二次函数与一元二次方程、不等式的综合 【典例3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（   ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤ 【典例3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有 （填序号）． 【典例3-3】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 【变式3-1】（22-23九年级下·四川内江·期中）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（包含端点）．下列结论中正确的个数有（　　） ①不等式的解集为或；②；③一元二次方程的两个根分别为，；④；⑤对一切m（的实数）都有恒成立． A．5 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点，下列四个结论： 方程 的解为，； ； 对于任意实数，总有； 不等式 (为常数)的解集为或 ． 其中正确的结论是 （填写序号） 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； (2)求b，c的值； (3)在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 2．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西上饶·期中）二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为 ． 8．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知点向右平移个单位得到点，与两点均在抛物线上，且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为，则这条抛物线的表达式为 ． 9．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有 ． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确的是 （填序号）． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数． (1)画出该二次函数图象； (2)若点在此抛物线上，求的值 (3)根据图象直接写出函数值小于3时，的取值范围． 14．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 15．（25-26九年级上·山东泰安·期中）对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． (1)当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； (2)图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 16．（23-24九年级上·天津·月考）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 17．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围． 18．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数与一元二次方程（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 知识点02：二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系 典例分析 （举三反三） 考点1：二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 考点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 考点3：二次函数与一元二次方程、不等式的综合 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，由二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根. 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 与二次函数y=ax2+ bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下： 判别式 结果 内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不等的实数根x= 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象 a>0 a<0 抛物线与x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 【知识点02】二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根. 1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 (1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0的根的个数. (2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. (3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的根 (1)将方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式； (2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； (3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 【知识点03】二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系 二次函数y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴的交点情况，具体如下表： 字母或式子的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y 轴 ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 图象与y 轴正半轴相交 c<0 图象与y 轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac=0 图象与x 轴有唯一一个交点 b2－4ac>0 图象与x 轴有两个交点 b2－4ac<0 图象与x 轴没有交点 【题型一】二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 【典例1-1】（25-26九年级上·山东烟台·期中）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据抛物线对称轴求出b，得到函数解析式，将方程转化为函数交点问题，利用二次函数性质，通过判别式和区间端点函数值符号确定t的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， 当时，； 当时，； 函数在时有最大值12； ∴， ∴． 故选：C． 【典例1-2】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，利用抛物线的函数图像，解决下列问题： (1)当方程时，方程的根是 ． (2)当随的增大而减小时，的取值范围是 ． (3)当时，的取值范围是 ． (4)当总有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】此题考查了二次函数与x轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系、通过图像观察抛物线的增减性、利用画图解决抛物线与直线的交点个数问题、求函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，随的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到的取值范围； （3），x的取值范围，就是曲线在x坐标轴上面的曲线部分； （4）方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，据此即可直接求出的取值范围． 【详解】（1）解：方程的根即抛物线与轴交点的横坐标， 由图可知； （2）解：， 故对称轴， ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小； （3）解：对应抛物线的图像的两部分，分别为1的左侧，3的右侧， 即或； （4）解：根据题意抛物线顶点坐标为， 根据图象可知，当时，直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线向下移动，与抛物线无交点； 当时，直线向上移动，与抛物线有两个交点； 故当方程有两个不相等的实数根时，． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，掌握“利用数形结合的方法解决一元二次方程的根的问题”是解题的关键． 由关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，可得函数与直线在内有交点，再利用函数图象解决问题即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， 函数与直线在内有交点， 的简易图象如图所示， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，， 当时， 当时， 函数与直线在内有交点时，， 关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解时， 的范围为； 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）小明同学学习二次函数后，对函数研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了函数图象的一部分，补全剩余函数图象； (2)写出该函数的一条性质：______． (3)观察研究 ①方程的解为______． ②关于的方程有四个实数根时的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)函数图像关于y轴对称（答案不唯一） (3)①或或；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用图象求方程的根是解题的关键． （1）首先得到当时，，然后列表、描点、连线画出图象即可； （2）根据图象求解即可； （3）①找到图象与的交点的横坐标即可； ②找到图象与有4个交点时即可求解； 【详解】（1）当时， 列表如下： x 0 y 0 1 0 描点，画图如下： （2）由图象得，函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； （3）①由图象得，函数经过点，，， ∴方程的解为或或； ②由图象得，当时，函数图象与有4个交点， ∴关于的方程有四个实数根时的取值范围是． 【题型二】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【典例2-1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【典例2-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是 ． x 1 y 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 【典例2-3】（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 【详解】解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的函数值估算一元二次方程的解；由表格数据可知，当时，；当时，，因此方程根m在1.3和1.4之间，然后对照选项判断即可. 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程根m在1.3和1.4之间， 即 ∴只有C项符合题意. 故选：C. 【变式2-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有 个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江宁波·月考）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）∵方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 【题型三】二次函数与一元二次方程、不等式的综合 【典例3-1】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（   ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．①⑤⑥ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到；进而得到同号，再有抛物线开口向上，与轴交于负半轴，可得，，从而得到；再由抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，可得抛物线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当时，，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即同号， ∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当时，， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时随的增大而增大， 又当时，， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； 综上，正确的有①⑤⑥． 故选：C． 【典例3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，，，为常数）．对称轴为直线，该抛物线与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①； ②； ③一元二次方程的两根，则； ④对于任意实数，不等式恒成立； ⑤． 其中正确的说法有 （填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、根与系数的关系及函数的最值等知识． 根据对称轴为直线可得，判断②正确；由和与轴交点位置可得，从而，判断①正确；根据根与系数的关系可得，判断③错误；代入后不等式不恒成立，判断④错误；由函数值符号可得和，判断⑤正确． 【详解】解：∵对称轴为直线，∴，即，故，②正确； ∵，∴， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，另一个交点关于对称轴对称，在之间， ∴两根之积，又，∴， 故，①正确； 由根与系数的关系，，故③错误； 将代入不等式：， ∵， ∴等价于，解为或，不恒成立，故④错误； 由函数值符号：当时，；当时，， ∴，故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 【典例3-3】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得的值； （2）根据抛物线的对称性求得点的对称点，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴关于直线的对称点是， ∴关于的一元二次方程的解是； 故答案为：； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴的对称点是， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 【变式3-1】（22-23九年级下·四川内江·期中）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（包含端点）．下列结论中正确的个数有（　　） ①不等式的解集为或；②；③一元二次方程的两个根分别为，；④；⑤对一切m（的实数）都有恒成立． A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．由已知求出，，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为，则不等式的解集为或；再将，，代入，即可判断②；将一元二次方程化为，即可求方程的根；由已知可得，再由抛物线的顶点坐标可求，从而进一步可求n的范围为，即可求出即可判断④；根据二次函数性质即可判断⑤． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴， 即， ∵与x轴交于点， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个的交点为， ∴不等式的解集为或，故①不正确； ，故②不正确； ∵一元二次方程可化为， 即， ∴方程的根为，，故③正确； ∵抛物线与y轴的交点在和两点之间， ∴， ∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴， 当时，， ∴ ∵， ∴， 即， ∴， ∴对一切m（的实数）都有恒成立，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点，下列四个结论： 方程 的解为，； ； 对于任意实数，总有； 不等式 (为常数)的解集为或 ． 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）的应用，关键是弄清楚二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式解集的关系以及分类讨论思想．根据抛物线与轴的交点关于对称轴对称可以判断；将代入抛物线得：，根据抛物线的对称轴，得到，两式相加即可判断；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处取得的最小值，再由抛物线的性质任意实数，，即，通过判断，即可判断；设，由得，，可得，当时，，由对称轴建立方程即可求出与轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断． 【详解】解：∵抛物线（，，是常数，）的对称轴是直线，图象与轴交于点， 抛物线与轴的另一交点为， 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标：，， 故正确； 将代入抛物线得：， 又∵抛物线的对称轴， ， ， 故正确； ∵抛物线的对称轴，且， 抛物线开口向上， 当时，抛物线的最小值为， 对于任意实数，，即， ，， ， ∴对于任意实数，总有， 故正确； 由②可知：，， ， 对称轴为， 当时，， 设与轴另一交点横坐标为， 则， 解得， 当，即时， 的解集为或， 当，即时， 的解集为或， 故错误． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； (2)求b，c的值； (3)在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）①找到点关于函数对称轴的对称点即可解答；②找出与x轴的两个交点，然后根据函数图象解答即可； （2）根据函数与x轴的交点可知抛物线解析式为，然后化简进而可求出的值； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数对称轴为直线，与y轴交于点， 故C点的对称点为：， 故关于x的一元二次方程的解是， 故答案为：． ②∵二次函数与x轴交于，对称轴为直线 ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解为或， 故答案为：或． （2）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为和两点， ∴抛物线解析式为， ∴． （3）解：∵抛物线开口向下，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为：， 当时，，当时，， 故在自变量x的值满足的情况下，y的取值范围为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川广安·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 2．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点． 把解代入方程中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令得到点A的坐标，由轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得的长． 【详解】∵方程的两个根分别是， ∴， 解得， ∴二次函数为， 令，则， ∴二次函数为的图象与y轴的交点A的坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴． 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在  到  之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 6．（25-26九年级上·江西上饶·期中）二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系，关键是熟练应用知识点解题； 根据抛物线的开口方向、增减性、对称轴等情况进行推理，对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴交点在正半轴， ∴，， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，①正确； ∵与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的另一个交点的坐标为， ∴时， ∴，②正确； ∵、为函数图象上的点，且离对称轴较近，抛物线开口向下， ∴，③正确； ∵顶点坐标为， ∴当时，若方程有实数根， 则的取值范围是，④错误； 综上所述：正确的结论共个． 故选：C ． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与x轴的交点坐标 通过求解一元二次方程得到抛物线与x轴的交点坐标，再计算两点之间的距离． 【详解】解：令，得方程， 因式分解得， 解得，， 即抛物线与x轴的交点为和， ∴弦长为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知点向右平移个单位得到点，与两点均在抛物线上，且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为，则这条抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，由抛物线与轴交点纵坐标为，可得；再根据点平移得到的坐标，将和的坐标代入抛物线方程，建立方程组求解和． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的纵坐标为， 当时，， 点的坐标为，即， ∵点向右平移个单位得到点， 点的坐标为，即， 将点和点代入抛物线， 可得： 化简得：， 即：， 解得：， 抛物线的表达式为． 9．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②5是方程的一个根；③当时，的值随值的增大而增大；④；⑤其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与坐标轴的交点问题，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与、y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，再结合由对称轴得到，从而易判断④；由图象易判断③；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，图象过点， ∴，图象过点 ∴，， ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点， ∴5是方程的一个根，故②正确； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故④正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增大有减小，故③错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误， ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系． 根据图象可判断的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及时的函数值即可判断③，由x和对称轴即可判断④． 【详解】∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①正确， 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴②错误， 由图象可知，当时，， ∴， ∴③正确， 由题意可知是的一个根， ∵对称轴是， ∴另一个根为， ∴④正确， ∴正确的有①③④． 故答案为①③④． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数． (1)画出该二次函数图象； (2)若点在此抛物线上，求的值 (3)根据图象直接写出函数值小于3时，的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3)或 【分析】本题考查了画的图象，求抛物线与x轴的交点坐标，求抛物线与y轴的交点坐标，已知二次函数的函数值求自变量的值，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）分别求出顶点坐标，与两坐标轴的交点，并利用对称性得到5点，再描点连线即可； （2）根据点在此抛物线上，得到关于的方程求解即可； （3）结合图象写出函数值小于3时，的取值范围． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 故与轴的交点坐标为． 当时，， 解得：，， 故与轴的交点坐标为，． ， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为． 画出函数图象如图所示： （2）由条件可知， ， 解得或， 的值是或4； （3）由（1）可知，当时，二次函数的图象上有两个点和， 根据图象可得：函数值小于3时，的取值范围是或． 14．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 15．（25-26九年级上·山东泰安·期中）对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． (1)当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； (2)图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题． （1）根据抛物线的轴对称性质可知：抛物线的对称轴为：，由抛物线对称轴公式即可求出值， （2）设抛物线与轴交点横坐标为、，由此可知，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由已知得，抛物线的对称轴为：， 即，解得，． ． （2）令，得， ． ∵二次函数图象在轴上截得的线段长是， ，， ． 代入得， 解得：， 与轴交于正半轴， 可知，当时，， 解得． 所以不符合题意，应舍去． 16．（23-24九年级上·天津·月考）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【答案】(1)向上；；5 (2) (3) (4)或4 (5) 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）由表格可见，函数的对称轴为x=1对称轴右侧，y随x的增大而增大，故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； （2）根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； （3）根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； （4）根据表格可得或4时，，即可求解； （5）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为，根据函数的对称性m=5； 故答案为：向上；；5； （2）解：从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故； 故答案为：； （3）解：从表格看，当时，x的取值范围是：， 故答案为：； （4）解：从表格看，关于x的一元二次方程的解为：或4， 故答案为：或4； （5）解：∵二次函数经过点，，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 17．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，点在点左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了求解二次函数与坐标交点的问题，根据图象求解自变量取值范围，注重数形结合的思想是解答本题的关键． （1）令，得到一个一元二次方程，解方程后，随即可得到，的坐标；令，则有，即可得到点坐标，问题得解； （2）运用数形结合思想，可知时自变量取值范围为：二次函数图象在轴上方时自变量的取值范围，据此即可作答． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， 根据点在点左侧，可得，， 令，则有， 则点的坐标为． 答：点，，的坐标为，，． （2）解：当时，二次函数图象在轴上方， 此时的取值范围为或． 答：当时，的取值范围为或． 18．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得的值； （2）根据抛物线的对称性求得点的对称点，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴关于直线的对称点是， ∴关于的一元二次方程的解是； 故答案为：； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴的对称点是， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $