专题3.1 圆（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦圆的核心知识点，系统梳理圆及相关概念（描述性与集合性定义、弦、直径等）、点和圆的三种位置关系，通过7个考点讲练（弦的条数、最长弦、位置关系判断等）构建知识梳理→考点突破→真题实战→分层练习的学习支架。 资料以几何直观呈现概念（如圆的旋转定义图示），通过典例与变式训练培养推理意识（如点与圆位置关系求半径），分层练习（基础夯实、培优拔高）适配不同学生需求。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升圆的知识应用能力。

专题3.1 圆 【知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆及相关概念 1 知识点梳理02：点和圆的三种位置关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求圆中弦的条数 2 考点2：求过圆内一点的最长弦 3 考点3：判断点与圆的位置关系 7 考点4：利用点与圆的位置关系求半径 10 考点5：已知半径和园上两点作圆 11 考点6：点与圆上一点的最值问题 15 考点7：圆的周长和面积问题 21 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 40 知识点梳理01：圆及相关概念 1、圆的概念 （1）描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. （2）集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【易错点拨】 同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. （3）与圆相关的概念： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； 直径：经过圆心的弦叫做直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 知识点梳理02：点和圆的三种位置关系 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 考点1：求圆中弦的条数 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【规范解答】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级下·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【思路点拨】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【规范解答】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【思路点拨】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【规范解答】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 考点2：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理，三角形的三边关系，圆的性质，连接，由题意可得，由三角形三边关系可得点在线段上时，取最大值；点在线段的延长线上时，取最小值，进而求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【规范解答】解：连接，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即点在线段上时，取最大值，此时取最大值，如图， ∴； 又∵， 即点在线段的延长线上时，取最小值，此时取最小值，如图， ∴； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·河南洛阳·三模）如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 / / 【思路点拨】连接与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【规范解答】解：连接与交于点O， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，的最小值为， 故答案为：，． 【变式训练2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，E是边的中点，连接，若，，则对角线的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出点的运动轨迹是解本题的关键．先求出，在的延长线上取一点，使，连接，判断出，得出，以为边在上方作等边△，再以点为圆心，为半径作，则点在上，得出的最小值等于，最大值等于，再构造出直角三角形求出． 【规范解答】解：点是的中点，， ， 如图，在的延长线上取一点，使，连接， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 以为边在上方作等边△， ，， 以点为圆心，为半径作， 则点在上， 过点作射线交于，， 则的最小值等于，最大值等于， 过点作于，则，， ， 在中，根据勾股定理得，， ，， ， 故答案为：． 考点3：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【答案】(1)点A在内； (2)点A在外； (3)点A在上． 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质求得的长，再根据勾股定理求出的长，比较即可得出答案； 【规范解答】（1）解：连接，如图： ∵在中，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在内； （2）解：∵在中，，，点是的中点， ∴，， 在中，， ∵， ∴点在外； （3）解：∵在中，，，点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴点在上． 【变式训练1】（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 【规范解答】解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半，由圆周角定理可知点在半上运动，连接交于点，由轴对称可得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长，又由可知取最小值时，的值最小，利用勾股定理求出长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半， ∴，， ∴， ∵线段与始终保持垂直， ∴， ∴点在半上运动， 连接交于点， ∵点关于对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长， ∵， ∴可知取最小值时，的值最小， ∵， ∴的最小值， 故答案为：． 考点4：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【规范解答】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东汕头·月考）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【规范解答】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式训练2】（2024九年级上·全国·专题练习）内一点到上的最近点的距离为2，最远点的距离为10，则的半径为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系．根据直径等于最近点的距离加最远点的距离，即可求解． 【规范解答】解：当点在定圆内时，最近点的距离为2，最远点的距离为10， 则直径是，因而半径是6， 故答案为：6． 考点5：已知半径和园上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级下·北京海淀·月考）对于平面内和外一点，若过点的直线与有两个不同的公共点，点为直线上的另一点，且满足(如图1所示)，则称点是点关于的密切点． 已知在平面直角坐标系中， 的半径为2，点． (1)在点 中，是点关于的密切点的为__________． (2)设直线方程为，如图2所示， ①时，求出点关于的密切点的坐标； ②的圆心为，半径为2，若上存在点关于的密切点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）E；（2）①；②或 【思路点拨】(1)用假设法通过特殊位置判断; （2）①拿出直线解析式，联立与圆的位置根据勾股定理求得M,N两点的横坐标，根据题目条件信息转化即可求解. ②作出点关于的密切点的运动轨迹，根据图像即可求出取值范围. 【规范解答】解：(1)当圆心在坐标原点上时，直线为时，易得： ,, ∵，设Q点坐标为, 解得， 故是点关于的密切点. (2)①依题意直线方程过定点 ∴直线方程为 如右图，作轴于点，轴于点． 设 由得 ∴ 点的横坐标是方程的两根 解得 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ②点关于的密切点的轨迹为线段,为切点弦(不含端点)． 或 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【思路点拨】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形. 【规范解答】如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆. 【变式训练2】（2024·陕西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 【答案】2﹣2 【思路点拨】根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵CE+CF＝4，CF+DF＝4， ∴CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠DAP+∠FDP＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴点P在以AD为直径的圆上， 设AD的中点为G， 由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵CD＝4，DG＝2， ∴CG＝＝2 ∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2， 故答案为：2﹣2． 考点6：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】（1）①连接，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； ②连接，利用①的方法求得，利用勾股定理和轴对称的性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求； （2）作点关于的对称点，连接，，，，，，作点关于的对称点，连接，利用轴对称的性质得到，则；利用点的轨迹的知识求得的面积的最小值与最大值，则结论可得． 【规范解答】（1）①连接，如图， 由题意得：，， 四边形为矩形， ，， 设，则 ， ， ， ， ； ②连接，如图， 由题意得：，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， 点B与点N关于对称， ，， 设，则 ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ； （2）作点D关于的对称点，连接，，，，，，作点D关于的对称点，连接，如图， 将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N， ≌， 点D关于的对称点为，点D关于的对称点， 垂直平分，AF垂直平分， ， ， 在以F为圆心，为半径的劣弧上运动． 当点在边上时，的面积取得最小值，当点与点D重合时，的面积取得最大值， 的面积的最小值， 的面积的最大值， 面积的最大值与最小值之和 【变式训练1】（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【思路点拨】本题考查了斜边上的中线，两点间的距离，点到圆上一点距离的最值问题： 首先求出，斜边上的中线得到，然后求出点A到上一点的最大值和最小值，进行判断即可． 【规范解答】解：∵点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交于M，，当点P与M重合时，最大，即a最大，当点与重合时，最小，即最小： ∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴，， ∴． ∴的值可能为； 故选：BCD． 【变式训练2】（2025·北京·三模）如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为 ； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查圆上一点到圆外直线的距离，解题的关键是正确理解题意． （1）根据圆的性质，当最佳距离时，利用圆上一点到圆外一点距离的最值关系求解最大值； （2）根据以及圆上点到圆外一条直线的距离的取值范围，结合的最大值为，建立不等式求解，即可得最佳距离的范围． 【规范解答】（1）解：如图，轨道圆心记为点，立柱所在直线记为，作，与交于点，点，与交于点， 根据题意可知，， ∴， 当最佳距离时，， ∴， ∴， 的最大值为， 故答案为：． （2）解：当时，， 根据题意可得，， ∵，， ∴， ∴， 当的最大值为时， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点7：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【规范解答】解：四边形是边长为2的正方形， 正方形的对角线的长为， 半径的长为， ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 【变式训练1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【答案】2π 【思路点拨】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， 连接，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：四珠顺次连接成为一个菱形，且．乙：四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为，其它客观因素都相同．则对于下列说法： ①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等边三角形三角形的性质，正方形的性质，圆的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形三角形的性质，正方形的性质，圆的面积公式逐项判断即可． 【规范解答】根据题意求出甲乙的行距，阴影部分的面积即可判断． 解：∵甲的株距为，行距为，乙的行距为， ∴甲的行距比乙的小，故①②正确， ∵甲阴影部分的面积， 乙的阴影部分的面积 ∴甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少， 故③错误，④正确． 故选：C． 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时， ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点使，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，利用相似三角形的性质求出，，进而可得，由即可求解． 【规范解答】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，使，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵， ， ∴， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ∴， 故答案为：． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在正方形中，．点在边上，连结交对角线于点，过点作交边于点，连结、，过点作交于点．以下四个结论：①；②周长为4；③；④连结，则的最小值为．其中正确的结论是 （只填写序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】过点作于点，交于点，过点作于点，证明四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，证明，再证明，即可判断①；延长至使，连接，先证明，再证明，得出，再利用的周长，即可判断②；由②中，，得出，结合，则要使，则需要，但位置不确定，则可判断③；证明，取中点，连接，可得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆上部分，当、、依次共线时，的值最小，此时最小值为，求解即可． 【规范解答】解：过点作于点，交于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 故①正确； 如图，延长至使，连接， ，，， ， ，， ∵，， ， ， ， ， 又，， ， ， 的周长，故②正确； 由②中，， ∴， ∵， ∴要使， 则需要， 但位置不确定，则不一定成立， 故③错误； ∵，， ∴， 取中点，连接， ∴， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆上部分， ∴当、、依次共线时，的值最小，此时最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故④正确， 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 3．（2024·河北沧州·中考真题）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，点与圆上一点的最佳问题，根据三角形中位线性质求得，得出点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动是解题的关键． 取的中点O，连接，根据中位线的性质与旋转的性质求得，则点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点D在上时，此时最小，由求解即可． 【规范解答】解：取的中点O，连接，如图， ∵点D是线段的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵由旋转可得， ∴， ∴点以点A为圆心，为半径的圆上运动，同时，点D是在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点D在上时，最小，如图， ∴此时，． 故选：B． 4．（2024·上海·中考真题）下列事件是必然事件的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．三点确定一个圆 C．对顶角相等 D．同位角相等 【答案】C 【思路点拨】本题考查了必然事件的判断，根据必然事件的定义逐一分析即可判断求解，掌握必然事件的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、任意两个等腰三角形不一定相似，该选项事件属于随机事件，不合题意； 、三点共线时无法确定圆，需不共线才能确定唯一圆，该选项事件属于随机事件，不合题意； 、对顶角一定相等是必然事件，符合题意； 、同位角相等需两直线平行，否则不成立，该选项事件属于随机事件，不合题意； 故选：． 5．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发，沿方向匀速运动到终点．当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、． (1)______； (2)直接写出的最小值______； (3)当点、、共线时，求四边形的面积； (4)当与的直角边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)1或或 【思路点拨】（1）利用勾股定理求解； （2）由，可得点在以点D为圆心，1为半径的圆上运动，由此可解； （3）利用勾股定理计算出点、、共线时的长度，设，用勾股定理解求出，则四边形的面积； （4）分三种情况：当且在上方时，当且在下方时，当时，画出图形，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ， 故答案为：； （2）解： ， 点在以点D为圆心，1为半径的圆上运动， 如图，当点在位置时，取最小值，最小值为：， 故答案为：1； （3）解：点关于直线的对称点是， ，，，． 点、、共线 ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 四边形的面积； （4）解：分三种情况： 当且在上方时，如图： 则， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形， ； 当且在下方时，如图：作于点E， 由题意得． ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， 解得， ，， ， ； 当时，如图： 此时， ， ， ，即， ， ； 综上可知，的值为1或或． 基础夯实 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）已知⊙O的半径为，为平面内一点，若，，则点A与⊙O的位置关系是（   ） A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【规范解答】解：，即点到圆心的距离大于圆的半径， 点在外． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知的半径为3，点在外，则的长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【规范解答】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【规范解答】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级下·上海浦东新·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是 平方厘米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用和圆的周长，熟练掌握该知识点是关键． 设圆的半径为，由图将梯形的周长用圆的周长和半径表示出来，列出方程求解即可． 【规范解答】解：由图可知：梯形的周长由 8 段弧长和 4 个半径组成， 8 段弧长即为圆的半个周长， 设圆的半径为， 可得：， 解得：，故圆的半径为 4 厘米， 则圆的面积是平方厘米． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 【答案】内 【思路点拨】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【规范解答】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【规范解答】解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 7．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 【答案】 上 或 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，点和圆的位置关系．根据题意画出图形，即可得解． 【规范解答】解：点如图所示，则点在上； 如图，线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 线段是线段绕点顺时针旋转得到，的坐标为； 故答案为：上；或． 8．（2025·陕西咸阳·三模）问题提出 （1）如图1，在中，，，以点A为圆心，2为半径作，点是上的一个动点，连接，则长的最小值为_____； 问题解决 （2）某农业园区有一个平行四边形形状的种植基地，其中，，．为了便于灌溉和管理，在点处建了一个半径为的圆形灌溉中心（圆心为），现在要在圆形灌溉中心的边缘上设置一个传感器，从种植基地的点和点分别连接线路到传感器，以为顶点，分别与，构成，求面积的最大值． 【答案】（1）8；（2） 【思路点拨】本题考查三角形三边关系、三角函数、勾股定理以及三角形面积公式的应用 ，解题关键是利用几何性质和相关定理，分别求出线段长度和三角形高的最大值来解决问题。 （1）依据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知在中，, 当点在线段上时，取得最小值,将其代入计算，得出最小值。 （2）过作，在中，利用三角函数求出、，，再在中根据勾股定理求出。过作，用面积法求出，结合圆半径，得到中边上高的最大值为。根据三角形面积公式，代入和的最大值，求出面积的最大值。 【规范解答】解：（1）根据三角形三边关系，长度的最小值为点到圆心的距离减去的半径． ∵，半径， ∴的最小值为 ． 故答案为：8； （2）过点作于点． 在中，，． ， ∴． ， ∴ ． ∵， ∴． 在中， 根据勾股定理． ， 设中边上的高为． 过点作于点G，． ， ． ∵圆形灌溉中心半径， ∴的最大值为． ∵， 把，代入可得： 面积的最大值为 ． 9．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接，由等边对等角得，， 进而得．再根据直角三角形的两锐角互余即可得解。 ，从而得到答案． 【规范解答】解：连接． ， ． ， ． ． ， ． ，即． ． 10．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【规范解答】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 培优拔高 11．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义及性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【规范解答】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【规范解答】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 13．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【规范解答】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 14．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 225 121 【思路点拨】本题考查的是坐标与图象的性质和点与圆的位置关系，确定取最大值时，点P的位置是解题的关键． 表示点P到原点O的距离的平方，点P在圆A上运动，求该距离平方的最值，转化为求圆上点到定点的距离最值问题． 【规范解答】圆心到原点的距离， 的半径为2，当点P位于线段的延长线上且远离O时， 取得最大值， 故的最大值为； 当点P位于线段上且靠近O时， 取得最小值，故的最小值为． 故答案为225，121． 15．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查多边形内角和以及线段的最值，（1）根据多边形内角和定理可求出；（2）根据题意得点在以D为圆心，2为半径的圆上，连接AD，交⊙D于点Q，此时AQ最短，证明，根据相似三角形的性质列比例式可求出． 【规范解答】解：（1）∵五边形的内角和为， ∴； （2）∵， ∴点Q在以D为圆心，2为半径的圆上， 如图，连接，交于点Q，此时最短，此时点B，P重合，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：108；． 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ．（取3） 【答案】960 【思路点拨】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图： 由题意可得：等边三角形的边长， ∴等边的周长是， ∵圆的周长， ∴烟花的截面周长， ∴组合烟花侧面包装纸的面积． 故答案为：960． 17．（24-25九年级下·河南开封·月考）如图，已知正方形的边长为，在中，，，是斜边的中点，连接，为的中点，连接，当绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，到圆上一点的距离，添加恰当辅助线是解题的关键．延长至，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在的延长线上时，有最大值为，即的最大值为，当点在线段上时，有最小值为，即的最小值为，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长至，使，连接，，， 为的中点，， ， ， ， 在中，，，是斜边的中点， ，， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的延长线上时，有最大值为，即的最大值为， 当点在线段上时，有最小值为，即的最小值为， 故答案为：，． 18．（2025·河南郑州·一模）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）以点为圆心，作弧交于两点，再分别以这两交点为圆心，大于两交点一半为半径画弧，取两弧的交点，与点连接，所得线段与的交点即为所求的点； （2）根据正方形的性质，得，，由（1）得，再根据同角的余角相等，得，然后根据全等三角形判定（角边角），得，即可证得结论； （3）以中点为圆心，为直径画圆，根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点始终在上，即可得点到圆的最短距离为长的最小值，即当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：作图如图1所示． （2）证明：延长交于点，如图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3，以中点为圆心，为直径画圆， ， 点始终在上， 如图，当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小， 四边形是正方形，， ， ， ， ， 长的最小值为． 19．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点 ，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上是否存在一点，使得的周长最短．若存在，求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)若点在以点为圆心，2为半径的上，与轴交于点两点（点在点的左侧），连接，以为边在的下方作等腰，且，连接，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数 （1）利用待定系数法即可求解； （2）将点A关于对称轴对称到点B，利用三角形三边关系，数形结合即可求出的周长的最小值及此时N的位置； （3）将点绕点顺时针旋转到，连接，证明，得到，从而判断出在以为圆心，2为半径的圆上运动，再根据点与圆的位置关系即可求出长度的取值范围． 本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、将军饮马问题、动点轨迹为圆的问题，熟练掌握相关方法是解题关键． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由得， 设直线的表达式为， 代入，得，解得， ∴直线的表达式为：， 点A关于抛物线对称轴的对称点为点，连接， 的周长，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当与对称轴的交点为N时，的周长最短，最小值为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点； ∴当N点坐标为时，的周长最短，为； （3）解：将点绕点顺时针旋转到，连接， ， 又， ， ， ∴在以为圆心，2为半径的圆上运动， ， ∴的最大值为，最小值为， ． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 【答案】（1），，证明见解析（2），，证明见解析（3） 【思路点拨】（1）延长至，使，连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，得出，再证得，即可得出答案； （2）作关于点成中心对称的，连接、，则，，，进而可得，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质即可求得答案； （3）过点作于点，连接、，交于点，利用三角形中位线定理可得，又点是定点，得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可求得的最小值，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【规范解答】解：（1）如图1，延长至，使，连接， 则与关于点对称，即为所求作的图形． 四边形是正方形， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ，点为线段的中点， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）结论：，；证明如下： 如图2，作关于点成中心对称的，连接、， 则，，， ， ，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，； （3）如图3，过点作于点，连接、，交于点， 由旋转得，， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，，， 是的中点，， 又点为线段的中点， 是的中位线， ， 点是定点， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 设交于点，当点与点重合时，为最小值， 此时，， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆 【知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆及相关概念 1 知识点梳理02：点和圆的三种位置关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：求圆中弦的条数 2 考点2：求过圆内一点的最长弦 3 考点3：判断点与圆的位置关系 4 考点4：利用点与圆的位置关系求半径 5 考点5：已知半径和园上两点作圆 5 考点6：点与圆上一点的最值问题 6 考点7：圆的周长和面积问题 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 13 知识点梳理01：圆及相关概念 1、圆的概念 （1）描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. （2）集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【易错点拨】 同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. （3）与圆相关的概念： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； 直径：经过圆心的弦叫做直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 知识点梳理02：点和圆的三种位置关系 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 考点1：求圆中弦的条数 【典例精讲】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式训练1】（24-25九年级下·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 考点2：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图是小明根据推磨原理制作的简易风扇的示意图，以为轴将矩形木板垂直固定在水平面上，用长为的连杆将点与滑轨上的推拉点相连（大小可变），当点在轨道上来回滑动时可带动矩形木板绕着轴转动（不考虑矩形木板与水平面的摩擦），从而起到吹风的效果，固定杆，，，如图为简易风扇的俯视图．矩形木板转动过程中，的取值范围是 【变式训练1】（2025·河南洛阳·三模）如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为 ，的最小值为 ． 【变式训练2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，E是边的中点，连接，若，，则对角线的取值范围为 ． 考点3：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求： (1)时，点A与的位置关系； (2)时，点A与的位置关系； (3) 时，点A与的位置关系． 【变式训练1】（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 考点4：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式训练1】（24-25九年级上·广东汕头·月考）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024九年级上·全国·专题练习）内一点到上的最近点的距离为2，最远点的距离为10，则的半径为 ． 考点5：已知半径和园上两点作圆 【典例精讲】（24-25九年级下·北京海淀·月考）对于平面内和外一点，若过点的直线与有两个不同的公共点，点为直线上的另一点，且满足(如图1所示)，则称点是点关于的密切点． 已知在平面直角坐标系中， 的半径为2，点． (1)在点 中，是点关于的密切点的为__________． (2)设直线方程为，如图2所示， ①时，求出点关于的密切点的坐标； ②的圆心为，半径为2，若上存在点关于的密切点，直接写出的取值范围． 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形. 【变式训练2】（2024·陕西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为 ． 考点6：点与圆上一点的最值问题 【典例精讲】（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【变式训练1】（24-25九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ） A． B．4 C．5 D．6 【变式训练2】（2025·北京·三模）如图所示，在一个半径为的圆形轨道所在平面内，垂直立一根柱子，设轨道到柱子的最近距离为，在圆形轨道上有精密测距仪，可以在轨道的不同的n个位置测量离柱子的距离，用，，，表示个不同位置测量的距离． 当时，此时为轨道与柱子的最佳位置，此时的为最佳距离． （1）当最佳距离时，的最大值为 ； （2）当的最大值为时，最佳距离d的范围是 ． 考点7：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：四珠顺次连接成为一个菱形，且．乙：四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为，其它客观因素都相同．则对于下列说法： ①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时， ． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在正方形中，．点在边上，连结交对角线于点，过点作交边于点，连结、，过点作交于点．以下四个结论：①；②周长为4；③；④连结，则的最小值为．其中正确的结论是 （只填写序号） 3．（2024·河北沧州·中考真题）如图，点B是线段上的点，且满足，．将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取线段的中点D，则点A与点D的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·上海·中考真题）下列事件是必然事件的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．三点确定一个圆 C．对顶角相等 D．同位角相等 5．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，且．点从点出发，沿方向匀速运动到终点．当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、． (1)______； (2)直接写出的最小值______； (3)当点、、共线时，求四边形的面积； (4)当与的直角边垂直时，直接写出的值． 基础夯实 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期末）已知⊙O的半径为，为平面内一点，若，，则点A与⊙O的位置关系是（   ） A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．不能确定 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）已知的半径为3，点在外，则的长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级下·湖北宜昌·月考）如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海浦东新·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是 平方厘米． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·期末）已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是 ． 7．（2025·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，的半径为2．若将点绕点顺时针旋转得到点，则点在 （填“内”或“上”或“外”）；若线段绕点顺时针旋转，其对应线段恰好是的弦，则点的坐标为 ． 8．（2025·陕西咸阳·三模）问题提出 （1）如图1，在中，，，以点A为圆心，2为半径作，点是上的一个动点，连接，则长的最小值为_____； 问题解决 （2）某农业园区有一个平行四边形形状的种植基地，其中，，．为了便于灌溉和管理，在点处建了一个半径为的圆形灌溉中心（圆心为），现在要在圆形灌溉中心的边缘上设置一个传感器，从种植基地的点和点分别连接线路到传感器，以为顶点，分别与，构成，求面积的最大值． 9．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，是的弦，是上一点，且，．求的度数． 10．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 培优拔高 11．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 12．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南湘西·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，是上的一个动点，则的最大值为 ，的最小值为 ． 15．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 16．（2025·四川成都·模拟预测）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ．（取3） 17．（24-25九年级下·河南开封·月考）如图，已知正方形的边长为，在中，，，是斜边的中点，连接，为的中点，连接，当绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ． 18．（2025·河南郑州·一模）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 19．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点 ，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上是否存在一点，使得的周长最短．若存在，求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由； (3)若点在以点为圆心，2为半径的上，与轴交于点两点（点在点的左侧），连接，以为边在的下方作等腰，且，连接，求长度的取值范围． 20．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $