第十五章 轴对称 单元测试 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 单元测试题 一、单选题 1．以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点关于轴的对称点为点，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 6．如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（   ） A．8 B．16 C．12 D．24 8．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，一条船从岛出发，由西向东航行海里到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔的最短距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 9．如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 10．如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．命题“垂线段最短”的逆命题是 ． 12．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则 ． 13．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 14．如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 15．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有 ．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 三、解答题 16．如图1，在等边三角形中，D、E分别在边上，，交于点F， (1)求的度数： (2)如图2，若D、E分别在边的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并证明． 17．如图，已知的顶点分别为． (1)若各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，画出所得的；所得的与有怎样的位置关系？ (2)作出向右平移5个单位长度后的图形． 18．已知：如图，在中，点、在边上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 19．如图，在边长为的等边中，点P，Q分别是边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：． (2)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形． 20．问题情境：数学实践活动中，小明把两个等腰直角三角板和如图1：背靠背放在一起，直角顶点C重合，，． 问题探究： (1)和的位置关系是________，数量关系是________，________度． (2)如图2，当是等腰直角三角形时，，，于点C，，若G恰好是中点． ①证明． ②请探究：，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 单元测试题2025-2026学年人教版（2012）八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D D B D C B 1．C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 根据轴对称图形的定义准确分析判断即可； 【详解】根据选项分析，选项、、是轴对称图形，选项不是轴对称图形； 故选． 2．C 【分析】本题重点考查了坐标与图形变化，轴对称，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，熟练掌握其特点是解题的关键． 点的坐标为，关于轴对称的点，即横坐标不变，纵坐标取相反数，得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点，横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为，故点的坐标为． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律，解题的关键是掌握该规律求解． 利用点关于x轴对称的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是. 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 6．D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，等腰三角形的定义及性质；连接，得到，根据面积公式求出，根据线段垂直平分线性质得到，得到，结合的长为的最小值，计算即可． 【详解】解：连接． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵的面积为8， ∴的面积是． 故选：B． 8．D 【分析】结合方向角可得，，由三角形内角和定理、等角对等边可得，作交延长线于点，再根据含角的直角三角形特征即可得解． 【详解】解：依题得：，，， 中，， ， 作交延长线于点， 此时， 中，， 即该船与灯塔的最短距离为海里． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理、等角对等边、含角的直角三角形特征、三角形外角的性质、方向角，解题关键是熟练掌握含角的直角三角形特征． 9．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 10．B 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 11．最短的线段是垂线段 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清原命题的条件和结论部分，再互换位置则可得逆命题． 【详解】解：原命题“垂线段最短”可表述为“如果一条线段是垂线段，那么它是最短的”．根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到逆命题“如果一条线段是最短的，那么它是垂线段”，即“最短的线段是垂线段”．故答案为：最短的线段是垂线段． 12．7或13 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13， 故答案为：7或13． 13．5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 14．20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 15．①③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． ①利用三角形的内角和以及角平分线和直角三角形的性质求出相关的角，然后利用角的和差进行求解即可； ②利用反证法进行证明即可； ③在上截取，连接，求出相关的角，证明和，得出相等的线段，利用线段的和差即可得出结论； ④在③的基础上，过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出三角形相等的高，然后根据面积比等于底边的比进行求解即可． 【详解】解：①， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ， ； 假设，则， ，， ， ， ， ，与矛盾， 假设不成立，即， ，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在上截取，连接； 平分，平分，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①③④． 故答案为：①③④． 16．(1) (2)（1）中的结论成立，证明见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明，则，利用三角形外角的性质即可得到答案； （2）证明，得到，又由，再根据三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：在等边三角形中，， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）（1）中的结论成立，证明如下： 在等边三角形中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 17．(1)作图见解析，与关于轴对称 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，平移作图． （1）根据题意先求出、、的坐标，再描点得到；观察图形即可得出结论； （2）利用平移的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵，各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴， 如图所示，为所求； 观察图形得，与关于轴对称； （2）解：如图所示，为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． （1）作于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：作于点， ， ， ， ， 即． （2）， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 19．(1)见解析 (2)秒或秒 【分析】（1）依题意得：，根据等边三角形性质得，，由此可依据“”判定和全等； （2）设点P，Q运动的时间为t秒，则，，再分两种情况讨论如下：①当时，在中，根据得，即，即可；②当时，在中，根据得，即，即可． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：依题意得：， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：设点P，Q运动的时间为t秒， ， 为等边三角形，且边长为， ，， ， 当是直角三角形时，有以下两种情况， ①当时，如图1所示： 在中，， ， ， 解得：， 即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形； ②当时，如图2所示： 在中，， ， ， 解得：， 即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形， 综上所述：当点P，Q运动秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：或 20．(1)；； (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据和都是等腰直角三角形得到，进而证明，得到，，根据，可得，得到．过点C作于点M，作于点N，根据可得，根据角平分线的判定定理得到平分，即可求解； （2）①由，是等腰直角三角形得到，，从而可得，根据线段的和差证明，进而证得，得到，由有，即可得证． ②根据全等三角形的性质得到，，从而． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 过点C作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∵，，又， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 故答案为：；；． （2）解：①∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）有， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $