第19讲 一次函数的简单应用（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第19讲 一次函数的简单应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 利用图象建立一次函数模型 2 一次函数与二元一次方程（组）的关系 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、其他问题(一次函数的实际应用) 五、一次函数与几何综合 六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 八、利用图象法解一元一次方程 九、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 十、根据两条直线的交点求不等式的解集 十一、两直线的交点与二元一次方程组的解 十二、图象法解二元一次方程组 十三、求直线围成的图形面积 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1. 利用图象建立一次函数模型 1.一次函数的应用:在运用一次函数解决实际问题时,首先判定问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时,可求出函数表达式,并运用一次函数的图象与性质解决实际问题. 2.判断两个变量之间是不是一次函数关系的基本步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值; （2）建立合适的直角坐标系,在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象. （3）观察图象特征，判定函数的类型. 如果图象是一条不与坐标轴平行的直线、射线或线段,那么可以根据图象建立一次函数模型 知识点2 .一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系： 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 3.两条直线交点的个数与对应的二元一次方程组解的个数的关系： （1）两条直线有一个交点 ⇔方程组只有一个解； （2）两条直线平行（无交点）⇔方程组无解； （3）两条直线重合（有无数个交点）⇔方程组有无数个解. 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可． 【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15； B套餐的收费方式：y2＝0.15x； 由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为元和元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，设买A种笔记本x本，买两种笔记本的总费用为W元． (1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价a元，B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 【答案】(1)，； (2)详情见详解 【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）本题考查求一次函数的解析式及自变量取值范围，根据费用等于单价乘以数量列式求解结合数量不等关系列不等式即可得到答案； （2）本题考查一次函数的性质，分类讨论的取值，结合一次函数的性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意得：，   即，且，   解得：， 答：W关于x的函数关系式为：，自变量x取值范围为：； （2）解：根据题意得， （且x为正数）， 又∵，   ∴， 当即时，W随着x的增大而减小，当时，， 当即时，W为定值， 当即时，W随着x的增大而增大，当时，， 答：当时，应购买A笔记本8本，B笔记本本， 当时，A笔记本可以为8，9，，本，B笔记本对应为，，，本，当时，应购买A笔记本本，B笔记本本． 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 【答案】70 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） (2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； （2）解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 6．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)三种方案，①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件 (2)，方案生产A产品30件，生产B产品20件获利最大，最大利润为元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用， 正确理解题意是解题的关键． （1）设生产产品件，则生产产品件，根据题意列出不等式组求其整数解即可确定方案； （2）A产品生产件数为x件，根据总利润=生产A产品的利润＋生产B产品的利润，建立一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产产品件，则生产产品件， 由题意得， 解得 ∵为整数， ∴取30或31或32， ∴方案有三种：①生产A产品30件，生产B产品20件；②生产A产品31件，生产B产品19件；③生产A产品32件，生产B产品18件； （2）解：由题意得，， 即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当取30时，最大，且为元， ∴此时选择方案①生产A产品30件，生产B产品20件． 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，与之间的关系如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，从图象中获得信息是解题的关键．根据图象，先求出乙的速度，再求出甲的速度，进而得出答案． 【详解】解：由图象可知，乙的速度为 ， 甲的速度比乙的速度快， 甲的速度为， 甲到达目的地的时间为， 此时甲乙之间的距离为， 则点C的坐标为． 故选：D． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地（先到达B地者在终点等待），甲骑摩托车，乙骑自行车．图中分别表示甲、乙离开A地的路程s（）与时间t（h）的函数关系的图象（如图），则当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求得两个二次函数的解析式，分当时和当时，两种情况讨论，即可解决问题． 【详解】解：设甲离开A地后s（）与时间t（h）的函数表达式为：， 由题意，得，解得， ∴， 同理， 当时， 解得． 当相遇前，即时， 由题意得，解得； ，解得； ∴； 当时，，， ， ∴相遇后不存在两人之间的路程超过的时候； 综上，当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：； (2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； (3)小时或小时或小时 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． （2）解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． （3）解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 题型四、其他问题(一次函数的实际应用) 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，求出当时间为分钟时蜡烛燃烧的长度，蜡烛的总长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度． 【详解】解：设蜡烛燃烧的长度为，燃烧的时间为分钟．由题意可设（），则 ， ∴， ∴． 当时，， ∴剩余蜡烛的长度为：． 故选． 11．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）某品牌驱蚊液如图1，1瓶可驱蚊45晚（每晚按8小时计算），将一瓶新驱蚊液水平放置如图2，，记液面高度为，驱蚊时间为（晚）当液面在以下时，液面高度随驱蚊时间匀速下降．如图3，小明发现当新驱蚊液用了15晚后，液面高度为当液面在以下时，h关于t的函数表达式为 ．满瓶时以上部分的驱蚊液能够驱蚊 时． 【答案】 ； 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 由1瓶可驱蚊45晚，新驱蚊液用了15晚后，液面高度为得到晚，那么先计算以上的时间，再计算以下的函数解析式即可． 【详解】解：当液面在以下时，每晚液面下降： ， 液面在以下时，驱蚊时间为晚， 则以上部分的驱蚊液能够驱蚊晚，即时， ∴则当液面在以下时，h关于t的函数表达式为 化简得： 故答案为：；． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示，那么当按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数关系式． (2)当时，求关于的函数关系式． (3)如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 【答案】(1) (2) (3)服药后第小时至第5小时 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用， （1）先用待定系数法求出当时，y关于x的函数解析式； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时，对于，，分别得出点的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设关于的函数关系式为， 代入得，， ∴， （2）解：由（1）可得， ∴当时，， 当时，设关于的函数关系式为，代入，得， 解得： ∴当时， （3）解：∵当时，；当时， 当时，，当时，， ∵每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效， 答：这个有效时间的范围是服药后第小时至第5小时． 题型五、一次函数与几何综合 13．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若直线与函数的图象有二个交点，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的综合应用，根据直线必过点，结合的图象特点，确定临界点即可． 【详解】解：∵， ∴当，， ∴直线必过点， ∵， ∴当与平行，或与平行时，即：时，此时直线与函数的图象有一个交点，如图： ∴当时，直线与函数的图象有二个交点； 故选B． 14．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，列方程求出a值，进而求出结论即可； 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则 ， ， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 题型六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 17．如图，直线l：为常数，且经过第四象限． （1）若直线l与x轴交于点，求m的值； （2）求m的取值范围： （3）判断点是否在直线l上，若不在，判断在直线l的上方还是下方？请说明理由． 【答案】(1)m=-1;(2);(3)见解析. 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】(1)根据直线l与x轴交于点(2，0)，可以求出m的值； (2)根据函数图象和题意，可以得到关于m的不等式组，从而可以得到m的取值范围； (3)将x=3代入函数解析式，可以得到相应的函数值，从而可以判断点P是否在直线l上，再根据m的取值范围可以判断点P在直线l的上方还是下方． 【详解】解：直线l：为常数，且，直线l与x轴交于点， ， 解得，； 由题意可得， m-1<0， 解得，； 当时，， 点P不在直线l上， ， 又， ， ， 点P在直线l的下方． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 题型七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 18．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据题意令，即可求得直线与轴的交点坐标 【详解】解：令， 则， 直线与轴的交点坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，理解坐标轴上的点的特征是解题的关键． 19．若一次函数（）的图象经过和两点，则方程的解为 . 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系即可得出答案. 【详解】∵一次函数（）的图象经过 ∴当 时， ∴方程的解为 故答案为 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键. 20．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和b的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或11 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形面积问题，分类讨论是解题的关键． （1）将点代入，得，然后将点代入，即可求得b的值； （2）根据题意得出点，点，继而得出，根据三角形面积得出，分E在A点的左侧与右侧建立方程即可求解． 【详解】（1）将点代入，得， ∴点， 将点代入， ∴ 解得：， ∴， （2）∵函数的图象与x轴交于点A， 令，得， ∴点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵的面积为12，， ∴， ∴， 根据题意或， ∴或， 解得：或11． 题型八、利用图象法解一元一次方程 21．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是． 故选：B． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】在坐标系中画出，的图像，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】解：设，， 当时，，当时，， 直线经过点， 如图，画出，的图像，      由图像知，当时，与只有一个交点， 故若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特点，明确函数的性质并数形结合是解题的关键． 23．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 题型九、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 24．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 25．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于两点，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键； 由一次函数的图象分别与x轴、y轴交于两点，且y随x的增大而增大，从而得出不等式组的解集； 【详解】解：由一次函数的图象可知，此函数是增函数，即y随x的增大而增大， ∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于两点， ∴不等式组的解集是． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查求一次函数解析式和一次函数的性质. （1）设把点代入解析式即可求得； （2）求出当时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 一次函数的表达式为； （2）一次函数，当时，；当时，， 当时， 题型十、根据两条直线的交点求不等式的解集 27．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方， ∴不等式的解为， 故答案为：A． 28．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与不等式，把代入，求出的值，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 由图可知：的解集为：； 故答案为：． 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 的图象经过点和， 解得：， 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：． 题型十一、两直线的交点与二元一次方程组的解 30．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据交点坐标判断即可． 【详解】解：当：和：相交于一点时， 即：，则， 解得：， ∴直线和的交点在y轴的右侧， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 32．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)48 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令可得点A的坐标，再由可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：令， 解得，此时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的面积为48． 题型十二、图象法解二元一次方程组 33．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 34．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 35．利用函数图象解方程组． 【答案】． 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】直接利用两函数图象的交点横纵坐标即为x，y的值进而得出答案． 【详解】解：方程组对应的两个一次函数为：与， 画出这两条直线，如图所示： 由图像知两直线交点坐标为（-1，1）． 所以原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确利用数形结合分析是解题关键． 题型十三、求直线围成的图形面积 36．直线和直线与x轴所围成的三角形的面积是(　　) A．14 B．15 C．16 D．8 【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】考查了一次函数与坐标轴交点问题，先求出两直线与坐标轴交点的坐标，然后再根据三角形的面积公式求出所围三角形的面积． 【详解】直线中，令，则；令，则； 因此直线与坐标轴的交点为，； 同理可求得直线与坐标轴的交点为，． 因此． 故选：C． 37．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【详解】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 38．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点、点，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式． (2)设点为x轴上一点，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及三角形面积的计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可知点D在线段的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：，把点、点代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为或． 分层强化 一、单选题 1．如图，直线的图象经过点，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察函数图象得到答案即可． 【详解】解：由图象可得：当x＞﹣1时，kx+b＞2， 所以不等式kx+b＞2的解集为x＞﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 2．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故选：． 3．在平面直角坐标系中，点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动点的轨迹问题，一次函数的应用，根据坐标可得，再消去未知数即可； 【详解】解：由题意可得：， ∴； 故选C 4．某登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据大本营气温为，海拔每升高，气温下降，可得登高后气温下降，从而建立函数关系式． 【分析】解：∵初始气温为，海拔每升高，气温下降， ∴登高时，气温下降量为， ∴气温y与x的关系式为：． 故选B． 5．在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点设k为整数，当直线与的交点为整点时，k的值可以取　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可． 【详解】解：当时，，即为x轴，则直线和x轴的交点为满足题意， ， 当时， ， ， ， ，x都是整数，，， 是整数， 或， 或或； 综上，或或或． 故k共有四种取值． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解． 6．某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（   ） A．A点处 B．线段的中点处 C．线段上，距A点米处 D．线段上，距A点400米处 【答案】A 【分析】设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米，然后表示出两处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和即可． 【详解】解：设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米， 所有同学走的路程总和： L=30x+20（1000﹣x）=10x+20000 此时0≤x≤1000，要使L最小，必须x=0， 此时L最小值为20000； 所以选A点处． 故选A． 【点睛】此题主要考查一次函数在实际生活中的意义，设A处的同学走x米，能根据题意列出总路程L关于x的一次函数是解题的难点． 7．已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … … 1 3 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：由表格可知，一次函数和一次函数的图象都经过点， ∴一次函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 故选：C． 8．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（　　） A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，15400 【答案】C 【详解】由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、（18-2x）辆，派往E市的运输车的辆数为10-x，10-x，2x-10， 则总运费W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200． 依题意有 0≤x≤10,0≤18-2x≤8, 解得：5≤x≤9， 当x=5时，W 最大 =13200元， 当x=9时，W 最小 =10000元． 故选C． 点睛：选择方案问题的方法 （1）从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用函数的图像表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题． （2）在解决问题中，能适时调整思路，解决问题后，能对解决问题步骤、程序和方法进行总结提炼. 9．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式． 【详解】解：对于直线，令，得到，即，， 令，得到，即，， 过作轴，可得， ， 为等腰直角三角形，即，， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ， 设直线的解析式为， ， ，解得． 过、两点的直线对应的函数表达式是． 故选：B．    【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 10．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题 11．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，再结合图象得出不等式的解集． 【详解】解：∵函数y=2x经过点A（m,3）， ∴2m=3， 解得：m=， 不等式（2-a）x＜-b可化为：2x＜ax-b, 由图象得：关于x的不等式2x＜ax-b的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集 12．如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解． 【详解】解：直线和直线交于点， 方程组的解就是点的坐标． 故答案为：． 13．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 ． 【答案】（－2，0） 【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y=mx+n的y值为0，则mx+n=0；已知此方程的解为x=-2．因此可得答案． 【详解】∵方程的解为x=-2， ∴当x=-2时mx+n=0； 又∵直线y=mx+n与x轴的交点的纵坐标是0， ∴当y=0时，则有mx+n=0， ∴x=-2时，y=0． ∴直线y=mx+n与x轴的交点坐标是（-2，0）． 14．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，-2)，点B的坐标为(3，2)，点A与点C(-3，2)之间的距离为 ，点D在y轴上运动，当AD+BD的值最小时，点D的坐标为 ，此时AD+BD的最小值为 ． 【答案】 (0，-1) 【分析】根据两点的距离公式即可求出AC的长；根据轴对称的性质结合两点之间线段最短，即可得出D点的位置，且最小值为AC的长，由一次函数的图象和性质可求出D点坐标． 【详解】解：； 由点B(3，2)，点C(-3，2)可知B、C两点关于y轴对称， 如图，连接AC，与y轴的交点即为点D，即此时AD+BD的值最小． 设直线AC的解析式为， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为， 当时，， ∴D(0，-1)； 由轴对称的性质可知AD+BD=AD+CD=AC， ∴AD+BD的最小值为． 故答案为：，(0，-1)，． 【点睛】本题考查两点的距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短以及一次函数的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 16．、两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离地的距离与时间的关系，结合图象信息，下列结论错误的是 ． ①是表示甲离地的距离与时间关系的图象； ②乙的速度是； ③两人相遇时间在； ④当甲到达终点时乙距离终点还有． 【答案】①③． 【分析】根据题意和图象可以分别求得甲乙对应的函数解析式，根据“路程、时间与速度的关系”列式计算即可判断． 【详解】∵甲先出发， ∴表示甲离A地的距离与时间关系的图象是l1， 故①错误，符合题意； 乙的速度是：90÷（3.5﹣0.5）＝90÷3＝30（km/h）， 故②正确，不符合题意； 设甲对应的函数解析式为s＝at+b， ，解得， ∴甲对应的函数解析式为s＝﹣45t+90， 设乙对应的函数解析式为s＝ct+d， ，解得， 即乙对应的函数解析式为s＝30t﹣15， ，解得， 即甲出发1.4小时后两人相遇． 故③错误，符合题意； 90﹣30×（2﹣0.5）＝45（km）， 即当甲到达终点时乙距离终点还有45km． 故④正确，不符合题意． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 17．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 【答案】（1）W＝200x+140000；（2）最多可获得利润156000元． 【分析】（1）根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得W与x之间的关系即可； （2）首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定x的取值范围，然后即可确定W的最值． 【详解】解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000． （2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8， 解得 ：x≤80． ∴0＜x≤80． 又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000． ∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及解一元一次不等式，属于基础题目，易于理解掌握． 18．A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 19．小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午7：00，小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路（图1）去飞瀑，车速为．小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为．    (1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？ (2)当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？ 【答案】(1)他们还没到草甸 (2)当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有5千米． 【分析】（1）观察图象得，当小聪追上小慧时，离古刹，小于，说明他们还没到草甸； （2）由图象得当小聪到达飞瀑时，s1=45km，此时s2=40km.利用（1）的函数关系式解答即可 【详解】（1）解：设经过t时，小聪与小慧离古刹的路程分别为， 由题意，得． 观察图象得，两条直线的交点坐标为， 所以当小聪追上小慧时，，即离古刹，小于， 也就是说，他们还没到草甸； （2）解：观察图象得，当小聪到达飞瀑时，即，此时．所以小慧离飞瀑还有． 答：当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有5千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、，直线交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线与直线交于点，点为坐标轴上的点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）求出点的坐标是，进而分在轴上和在轴上两种情况讨论，根据题意可得，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解；在中，令时，，解得 ∴ 设直线：， 把代入得， ， 解得， ∴直线的解折式为：； （2）解：联立，解得 ∴点的坐标是， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 21．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求b，m的值； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由点在直线：上，可得；由点在直线：上，可得，进而可得的值； （2）由题意知，当时，；当时，．由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴； ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴；． （2）解：由题意知，当时，； 当时，． ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 23．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可； （2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可； （3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵A（-8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴， 由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°， ∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4， 设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m， ∵， ∴， 解得， ∴AC=5； （3）如图3-1所示，当AP=AB=10时， ∵A点坐标为（-8，0）， ∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）； 如图3-2所示，当AB=PB时， ∵BO⊥AP， ∴AO=PO=8， ∴点P的坐标为（8，0）； 如图3-3所示，当AP=BP时， 设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为（，0）； ∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解． 24．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 一次函数的简单应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 利用图象建立一次函数模型 2 一次函数与二元一次方程（组）的关系 题型巩固 一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三、行程问题(一次函数的实际应用) 四、其他问题(一次函数的实际应用) 五、一次函数与几何综合 六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 八、利用图象法解一元一次方程 九、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 十、根据两条直线的交点求不等式的解集 十一、两直线的交点与二元一次方程组的解 十二、图象法解二元一次方程组 十三、求直线围成的图形面积 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1. 利用图象建立一次函数模型 1.一次函数的应用:在运用一次函数解决实际问题时,首先判定问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时,可求出函数表达式,并运用一次函数的图象与性质解决实际问题. 2.判断两个变量之间是不是一次函数关系的基本步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值; （2）建立合适的直角坐标系,在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象. （3）观察图象特征，判定函数的类型. 如果图象是一条不与坐标轴平行的直线、射线或线段,那么可以根据图象建立一次函数模型 知识点2 .一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系： 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 3.两条直线交点的个数与对应的二元一次方程组解的个数的关系： （1）两条直线有一个交点 ⇔方程组只有一个解； （2）两条直线平行（无交点）⇔方程组无解； （3）两条直线重合（有无数个交点）⇔方程组有无数个解. 题型巩固 题型一、分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为元和元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，设买A种笔记本x本，买两种笔记本的总费用为W元． (1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价a元，B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 题型二、最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 6．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件（允许甲、乙两种原料有剩余），生产单件A，B产品的原料用量和获利如表所示： 甲（） 乙（） 获利（元） A 9 3 700 B 4 10 1200 (1)按要求安排A，B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来； (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数表达式，并利用这个表达式说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 题型三、行程问题(一次函数的实际应用) 7．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，与之间的关系如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地（先到达B地者在终点等待），甲骑摩托车，乙骑自行车．图中分别表示甲、乙离开A地的路程s（）与时间t（h）的函数关系的图象（如图），则当两人之间的路程超过时，时间t的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 题型四、其他问题(一次函数的实际应用) 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系．若点燃分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃分钟后，剩余蜡烛的长度为（      ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）某品牌驱蚊液如图1，1瓶可驱蚊45晚（每晚按8小时计算），将一瓶新驱蚊液水平放置如图2，，记液面高度为，驱蚊时间为（晚）当液面在以下时，液面高度随驱蚊时间匀速下降．如图3，小明发现当新驱蚊液用了15晚后，液面高度为当液面在以下时，h关于t的函数表达式为 ．满瓶时以上部分的驱蚊液能够驱蚊 时． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示，那么当按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数关系式． (2)当时，求关于的函数关系式． (3)如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时治疗疾病最有效，求这个有效时间的范围． 题型五、一次函数与几何综合 13．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若直线与函数的图象有二个交点，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 题型六、已知直线与坐标轴交点求方程的解 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 17．如图，直线l：为常数，且经过第四象限． （1）若直线l与x轴交于点，求m的值； （2）求m的取值范围： （3）判断点是否在直线l上，若不在，判断在直线l的上方还是下方？请说明理由． 题型七、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 18．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 19．若一次函数（）的图象经过和两点，则方程的解为 . 20．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． (1)求m和b的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值． 题型八、利用图象法解一元一次方程 21．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 ． 23．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 题型九、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 24．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于两点，则不等式组的解集是 ． 26．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 题型十、根据两条直线的交点求不等式的解集 27．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 28．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 题型十一、两直线的交点与二元一次方程组的解 30．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 32．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． 题型十二、图象法解二元一次方程组 33．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 34．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 35．利用函数图象解方程组． 题型十三、求直线围成的图形面积 36．直线和直线与x轴所围成的三角形的面积是(　　) A．14 B．15 C．16 D．8 37．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 38．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点、点，点C的坐标是． (1)求直线的函数表达式． (2)设点为x轴上一点，且，求点D的坐标． 分层强化 一、单选题 1．如图，直线的图象经过点，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 4．某登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点设k为整数，当直线与的交点为整点时，k的值可以取　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（   ） A．A点处 B．线段的中点处 C．线段上，距A点米处 D．线段上，距A点400米处 7．已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … … 1 3 … A． B． C． D． 8．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（　　） A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，15400 9．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（　　）    A． B． C． D． 10．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 12．如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是 13．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 ． 14．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，-2)，点B的坐标为(3，2)，点A与点C(-3，2)之间的距离为 ，点D在y轴上运动，当AD+BD的值最小时，点D的坐标为 ，此时AD+BD的最小值为 ． 16．、两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离地的距离与时间的关系，结合图象信息，下列结论错误的是 ． ①是表示甲离地的距离与时间关系的图象； ②乙的速度是； ③两人相遇时间在； ④当甲到达终点时乙距离终点还有． 三、解答题 17．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 18．A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 19．小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午7：00，小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路（图1）去飞瀑，车速为．小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为．    (1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？ (2)当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？ 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、，直线交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线与直线交于点，点为坐标轴上的点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长． 21．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求b，m的值； (2)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值． 22．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 23．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 24．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $