5.5 一次函数的简单应用 课时作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版 · 八年级数学上册 · 课时作业 5.5 一次函数的简单应用 课时作业 浙教版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数　　建议用时：60分钟　　满分：100分 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．能从实际问题中抽象出一次函数模型，并利用一次函数解决简单的实际问题。 2．能从一次函数的图象中获取信息，理解图象上特殊点（起点、交点、转折点）的实际意义。 3．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的联系。 4．会利用一次函数的增减性解决方案选择、最省（最大）等问题。 二、知识点梳理 知识点1　利用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审题设元：弄清题意，找出问题中的两个变量； （2）建立模型：根据等量关系（或图象、表格）写出一次函数表达式； （3）确定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （4）解决问题：利用一次函数的表达式、图象和性质求解； （5）检验作答：检验结果是否符合实际意义，写出答案。 知识点2　从函数图象中获取信息 （1）弄清横轴、纵轴分别表示什么量及单位； （2）关注特殊点：起点（初始状态）、终点、转折点（状态改变）、两图象的交点（两个量相等）、与坐标轴的交点； （3）关注线段的倾斜程度：在路程—时间图象中，线段越陡，速度越快；水平线段表示路程不变（停留）。 知识点3　一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 数的角度 形的角度（直线 y=kx+b） 方程 kx+b=0 的解 直线与 x 轴交点的横坐标 不等式 kx+b>0 的解集 直线在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值范围 不等式 kx+b<0 的解集 直线在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围 知识点4　一次函数与二元一次方程组 方程组 　的解，就是两条直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点坐标。 比较 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 的大小：交点左右两侧，哪条直线在上方，对应的函数值就较大。 知识点5　利用一次函数的增减性求最值 在自变量的取值范围内，若 y=kx+b 中 k>0，则 x 取最小值时 y 最小，x 取最大值时 y 最大；若 k<0，则相反。这是解决“方案选择”“费用最少”“利润最大”问题的常用方法。 三、典型例题 例1　一辆汽车油箱中剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）之间的函数关系如图所示。 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当油箱中剩余油量为5 L 时，汽车会自动报警，汽车行驶多少千米时会报警？ 解：（1）设 y=kx+b。由图象可知，直线经过点 (0，50) 和 (400，10)， 所以 b=50，400k+50=10，k=-0.1。所以 y=-0.1x+50。 （2）令 -0.1x+50=5，得 x=450。 答：汽车行驶450 km 时会报警。 例2　如图，直线 y=kx+b 经过点 (2，0) 和 (0，-4)。 （1）方程 kx+b=0 的解是________；（2）不等式 kx+b>0 的解集是________；（3）不等式 kx+b<-4 的解集是________。 解：（1）直线与 x 轴交点的横坐标为2，所以方程 kx+b=0 的解是 x=2； （2）直线在 x 轴上方的部分对应 x>2，所以解集是 x>2； （3）直线经过 (0，-4)，y 随 x 的增大而增大，在点 (0，-4) 下方的部分对应 x<0，所以解集是 x<0。 例3　学校计划购买篮球和足球共40个，篮球每个100元，足球每个80元。要求篮球的数量不少于足球数量的 。怎样购买总费用最少？最少费用是多少？ 解：设购买篮球 x 个，则足球 (40-x) 个，总费用为 w 元。 w=100x+80(40-x)=20x+3200。 由题意，x≥(40-x)，解得 x≥10；又 x≤40，所以 10≤x≤40（x 为整数）。 因为 k=20>0，w 随 x 的增大而增大，所以当 x=10 时，w 最小，w=20×10+3200=3400。 答：购买篮球10个、足球30个时总费用最少，最少费用为3400元。 例4　如图，直线 y=x+2 与直线 y=-2x+5 交于点 P，求点 P 的坐标，并写出方程组 　的解。 解：由 x+2=-2x+5，得 3x=3，x=1，y=3，所以 P(1，3)。 方程组的解为 四、基础巩固 （一）选择题（每小题3分，共24分） 1．由例2的图象可知，方程 kx+b=0 的解是（　　） A．x=-4　　B．x=2　　C．x=0　　D．x=-2 2．由例2的图象可知，关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是（　　） A．x>2　　B．x<2　　C．x>-4　　D．x<-4 3．由例4的图象可知，方程组 　的解是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．如图，直线 y1=x+1 与直线 y2=-x+4 交于点 (2，3)，则当 y1>y2 时，x 的取值范围是（　　） A．x<2　　B．x>2　　C．x>3　　D．x<3 5．已知一次函数 y=kx+b（k<0）的图象与 x 轴交于点 (-3，0)，则关于 x 的不等式 kx+b<0 的解集是（　　） A．x>-3　　B．x<-3　　C．x>3　　D．x<3 6．对于一次函数 y=-2x+4，当 0≤x≤3 时，y 的最大值是（　　） A．-2　　B．0　　C．4　　D．10 7．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，离家的路程 s（米）与时间 t（分）之间的关系如图所示。若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（　　） A．12分　　B．13分　　C．14分　　D．15分 8．某电信公司推出两种手机收费方式：方式一，月租费30元，通话费每分钟0.1元；方式二，无月租费，通话费每分钟0.25元。两种方式的月话费 y（元）与通话时间 x（分钟）的关系如图所示。当月通话时间超过200分钟时，选择哪种方式更省钱？（　　） A．方式一　　B．方式二　　C．一样　　D．无法确定 （二）填空题（每小题3分，共18分） 9．直线 y=3x+6 与 x 轴交点的横坐标是________，所以方程 3x+6=0 的解是________。 10．已知方程组 　的解是 　则直线 y=2x-1 与 y=-x+5 的交点坐标是________。 11．某公司销售员的月工资 y（元）与月销售额 x（万元）之间的关系如图所示，则 y 与 x 之间的函数表达式是________；当月销售额为6万元时，月工资是________元。 12．已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 (2，0) 和 (0，3)，则关于 x 的不等式 kx+b≥0 的解集是________。 13．某市居民用水实行阶梯收费，每户每月应交水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的关系如图所示。若某户某月交水费45元，则该户这个月用水________吨。 14．汽车油箱中有油60 L，每行驶1 km 耗油0.12 L，则行驶________km 后油箱中剩余油量为12 L。 （三）解答题（共28分） 15．（8分）甲、乙两人从 A 地出发前往相距20 km 的 B 地，甲先出发。两人离 A 地的路程 s（km）与甲出发的时间 t（h）之间的关系如图所示。 （1）甲、乙的速度分别是多少？ （2）分别写出甲、乙的路程 s 与时间 t 之间的函数表达式； （3）乙出发后多长时间追上甲？此时离 A 地多远？ （4）在乙出发后到达 B 地前，何时两人相距2 km？ 16．（7分）学校组织330名师生外出研学，计划租用甲、乙两种客车共8辆。已知甲种客车每辆载客45人，租金400元；乙种客车每辆载客30人，租金280元。要求总租金不超过3100元。 （1）设租用甲种客车 x 辆，总租金为 y 元，写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）有几种租车方案？ （3）哪种方案总租金最少？最少租金是多少元？ 17．（7分）在下面的平面直角坐标系中画出一次函数 y=-2x+4 的图象，并利用图象解决问题： （1）求方程 -2x+4=0 的解； （2）求不等式 -2x+4>0 的解集； （3）当 -2≤y≤4 时，求 x 的取值范围。 18．（6分）某商品的进价为每件40元，调查发现：日销售量 y（件）与售价 x（元/件）是一次函数关系，当 x=50 时，y=100；当 x=60 时，y=80。 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当售价为70元/件时，求每天的销售利润； （3）为使日销售量不低于70件，售价最高定为多少元？ 五、能力提升（共20分） 19．（10分）A 仓库有物资30吨，B 仓库有物资20吨，现要运往甲地24吨、乙地26吨。每吨的运费如下表（单位：元）： 运往甲地 运往乙地 A 仓库 50 60 B 仓库 40 45 设从 A 仓库运往甲地 x 吨，总运费为 W 元。 （1）用含 x 的代数式填空：A 仓库运往乙地________吨，B 仓库运往甲地________吨，B 仓库运往乙地________吨； （2）求 W 与 x 之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围； （3）怎样调运，总运费最少？最少运费是多少元？ 20．（10分）如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=3，动点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C 的路线运动到点 C 停止。设点 P 经过的路程为 x，△APD 的面积为 y。 （1）当点 P 在 AB 上运动时，写出 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围； （2）当点 P 在 BC 上运动时，y 的值是多少？ （3）画出 y 关于 x 的函数图象的草图，并求 △APD 的面积为3时 x 的值。 六、拓展探究（选做，10分） 21．某家庭准备购买照明灯。节能灯售价30元/只，功率为10瓦；白炽灯售价2元/只，功率为60瓦。两种灯的照明效果一样，使用寿命都超过2000小时，电价为0.5元/千瓦时（1千瓦=1000瓦）。设照明时间为 x 小时。 （1）分别写出使用一只节能灯、一只白炽灯的总费用 y1、y2（元）与 x 之间的函数表达式（总费用=灯的售价+电费）； （2）照明时间在什么范围内时，选用白炽灯费用较低？在什么范围内时，选用节能灯费用较低？ 七、参考答案与解析 （一）选择题 1．B　【解析】直线与 x 轴交点的横坐标为2。 2．A　【解析】直线在 x 轴上方部分对应 x>2。 3．B　【解析】两直线交点为 (1，3)。 4．B　【解析】在交点 (2，3) 右侧，直线 y1 在直线 y2 上方，所以 x>2。 5．A　【解析】k<0，y 随 x 的增大而减小，直线过 (-3，0)，所以当 x>-3 时 y<0。 6．C　【解析】k=-2<0，y 随 x 的增大而减小，所以 x=0 时 y 最大，为4。 7．B　【解析】上坡速度 1200÷6=200（米/分），下坡速度 (3000-1200)÷(12-6)=300（米/分）。返回时原来的下坡1800米变成上坡，用时 1800÷200=9（分）；原来的上坡1200米变成下坡，用时 1200÷300=4（分），共13分。 8．A　【解析】两种方式的话费分别为 y=0.1x+30 和 y=0.25x，交点为 (200，50)。当 x>200 时，方式一的图象在下方，费用较低。 （二）填空题 9．-2；x=-2 10．(2，3) 11．y=300x+1500；3300　【解析】直线过 (0，1500)，(4，2700)，k=(2700-1500)÷4=300；x=6 时，y=300×6+1500=3300。 12．x≤2　【解析】直线经过 (2，0)，(0，3)，从左到右下降，在 x 轴上方（含交点）的部分对应 x≤2。 13．15　【解析】用水10吨时交25元，超过10吨的部分每吨 (65-25)÷(20-10)=4（元）。45>25，所以 25+4(x-10)=45，x=15。 14．400　【解析】60-0.12x=12，x=400。 （三）解答题 15．解：（1）甲的速度为 20÷2=10（km/h）；乙用时 1.5-0.5=1（h），速度为20 km/h。 （2）甲：s=10t（0≤t≤2）； 乙：设 s=kt+b，过 (0.5，0)，(1.5，20)，解得 k=20，b=-10，所以 s=20t-10（0.5≤t≤1.5）。 （3）令 10t=20t-10，得 t=1，s=10。1-0.5=0.5（h）。 答：乙出发0.5 h 后追上甲，此时离 A 地10 km。 （4）当 0.5≤t≤1.5 时，两人相距 |10t-(20t-10)|=|10-10t|=2， 所以 10-10t=2 或 10-10t=-2，解得 t=0.8 或 t=1.2。 答：甲出发0.8 h 或1.2 h 时（即乙出发0.3 h 或0.7 h 时），两人相距2 km。 16．解：（1）y=400x+280(8-x)=120x+2240。 （2）由题意，　解得 6≤x≤7。 因为 x 为整数，所以 x=6 或 x=7，共有2种方案：甲种6辆、乙种2辆；甲种7辆、乙种1辆。 （3）因为 k=120>0，y 随 x 的增大而增大，所以当 x=6 时，y 最小，y=120×6+2240=2960。 答：租甲种客车6辆、乙种客车2辆时总租金最少，最少为2960元。 17．解：图象经过 (0，4) 和 (2，0)，作图如下： （1）直线与 x 轴交于 (2，0)，所以方程的解是 x=2； （2）直线在 x 轴上方的部分对应 x<2，所以不等式的解集是 x<2； （3）当 y=4 时，x=0；当 y=-2 时，x=3。由于 y 随 x 的增大而减小，所以 0≤x≤3。 18．解：（1）设 y=kx+b，由题意，得 　解得 k=-2，b=200，所以 y=-2x+200。 （2）当 x=70 时，y=-2×70+200=60（件），利润为 (70-40)×60=1800（元）。 （3）由 -2x+200≥70，得 x≤65。 答：售价最高定为65元。 （四）能力提升 19．解：（1）30-x；24-x；x-4。【解析】B 仓库运往乙地 26-(30-x)=x-4（吨）。 （2）W=50x+60(30-x)+40(24-x)+45(x-4)=-5x+2580。 由 　得 4≤x≤24。 （3）因为 k=-5<0，W 随 x 的增大而减小，所以当 x=24 时，W 最小，W=-5×24+2580=2460。 此时 A 仓库运往甲地24吨、运往乙地6吨，B 仓库运往甲地0吨、运往乙地20吨。 答：按上述方案调运总运费最少，最少运费为2460元。 20．解：（1）当点 P 在 AB 上时，AP=x，y=×AD×AP=×3×x=x（0<x≤4）。 （2）当点 P 在 BC 上时，点 P 到 AD 的距离始终等于 AB=4，所以 y=×3×4=6（4≤x≤7）。 （3）函数图象如下： △APD 的面积为3时，只能在 AB 段上，x=3，x=2。 （五）拓展探究 21．解：（1）节能灯：y1=30+0.5×x=0.005x+30； 白炽灯：y2=2+0.5×x=0.03x+2。 （2）令 y1=y2，得 0.005x+30=0.03x+2，0.025x=28，x=1120。 由 y2<y1，得 0.03x+2<0.005x+30，x<1120。 答：当照明时间少于1120小时时，选用白炽灯费用较低；当照明时间超过1120小时时，选用节能灯费用较低；照明时间等于1120小时时，两种灯费用相同。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $