精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2026届高三12月调研数学试卷

临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. i B. C. 1 D. 3. 在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则 A. B. C. D. 6. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 6 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数（且）的图象恒过定点 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若是第三象限角，且，则 D. 若角的终边过点，则 11. 已知为坐标原点，，则（ ） A. 方向的单位向量为 B. 若，则点的坐标为 C. D. 在上的投影的数量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，__________． 13. 函数在上的最小值是________. 14. 平行四边形中，，点满足.则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 16. 的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． （1）求的面积； （2）若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 17. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的最小值为，求的最小值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解集合和集合，再找出它们的公共部分. 【详解】由可得且. 解得；解得. 所以集合. 先对因式分解，得到. 解得. 所以集合. 集合，集合. 那么. 故选：C. 2. 复数（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查复数的运算，考查的数学核心素养是数学运算，属于基础题． 3. 在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将用表示，利用平面向量的数量积求出，计算即可得解. 【详解】由题意，得， 在菱形中，， 所以， 所以． 故选:D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 5. 已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再由， 确定，进而得到，利用函数单调性得到，解方程即得答案. 【详解】因函数， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由， ，可得， 因且函数在上为减函数，故 即函数在区间上的最大值为，即 解得： 故选：A. 6. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值. 【详解】如图： 取中点，则，， ， ∵三点共线，∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号； 故选：B 7. 已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系. 【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造， 当，，故在上单调递减， 且易知为奇函数，故在上单调递减，由， 所以. 故选：B. 8. 在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数（且）的图象恒过定点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项A；利用充分、必要条件的性质和定义判断选项B；利用反比例函数的单调性判断选项C；利用指数函数的性质判断选项D． 【详解】选项A：存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“，”的否定是“，”，故A正确； 选项B：若则一定满足，即能推出，满足充分性； 若不一定满足，如，即不能推出，不满足必要性， 是的充分不必要条件，故B正确； 选项C：在定义域和上分别单调递减， 但不能合并为1个区间，如，不满足在上单调递减， 的单调递减区间为和，故C错误； 选项D：令，即，则， 函数恒过定点，不是，故D错误． 故选：AB． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若是第三象限角，且，则 D. 若角的终边过点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】，A正确； 若，则，即，B正确； 若是第三象限角，且，则， 所以， 所以，C错误； 若角的终边过点，则， ，D正确. 故选： 11. 已知为坐标原点，，则（ ） A. 方向的单位向量为 B. 若，则点的坐标为 C. D. 在上的投影的数量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及向量投影的定义一一求解即可. 【详解】对A，,所以， 所以方向的单位向量为,A错误； 对B，设，因为， 所以， 所以，解得，所以点的坐标为，B正确； 对C，, 所以， 因为，所以，即，C正确； 对D，在上的投影的数量，D错误； 故选:BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 ，__________． 【答案】1 【解析】 【详解】 . 13. 函数在上的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，根据x的范围，可求得的范围，结合三角函数的图像及单调性，即可得答案. 【详解】因为 ， 当时，， 所以当时，有最大值1， 所以函数取得最小值，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数求值域问题，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题. 14. 平行四边形中，，点满足.则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】结合平面向量的加减法运算法则以及平面向量的数量积的运算律化简整理即可求出结果. 【详解】由题意可知： , 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值. 【小问1详解】 由，可知， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，的定义域为， 由，得，或， 当或时，，在上均单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为. 16. 的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． （1）求的面积； （2）若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，由余弦定理求出，利用平方关系求出，再由三角函数的面积公式可得答案；若选②利用平方关系求出、，由正弦定理可得，再由三角函数的面积公式可得答案；若选③，由正弦定理、求出，利用平方关系求出，由正弦定理可得，再由三角函数的面积公式可得答案； （2）由角平分线的性质求出、．由余弦定理知，再由正弦定理、余弦定理可得答案． 【小问1详解】 若选①，则， ，又． 若选②，，则，， ， 由正弦定理可得：． 若选③，由得，且， 则 ， 由得， 则， 由正弦定理可得：； 【小问2详解】 由角平分线的性质知：，∴，， 在中，，∵，∴，由余弦定理知： ， 故， 在中，由正弦定理知：， 即，故． 在中，，， 由余弦定理知： ， 故． 17. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论化成代数不等式求解； （2）用进行转化，求的最小值，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）当时，不等式可化为， ∴，或，或， 解得或 或 求并集得：， 所以原不等式的解集为. （2）因为， 当且仅当时，即时取到最小值， 又因为，所以，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，即时， 的最小值为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明：． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $