精品解析：山东省东营市实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

东营市实验中学2022级数学期中考试 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（共10题，30分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A，B两点，在AC的延长线上取一点D，使，在BC的延长线上取一点E，使，测得DE的长为5米，则A，B两点间的距离为（） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 4. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图用圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A. 5 B. C. 6 D. 8. 如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. （的实数） 9. 如图，内接于，为的直径，D为上一点（位于下方），交于点E，若， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共8题，28分，其中11-14每题3分，15-18每题4分） 11. 已知，相似比为，的周长为4，则的周长为________． 12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__． 13. 如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为________． 14. 如图，在中，，是边上的高，，，则CD等于________． 15. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为_______ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接与轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为________． 17. 如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为________． 18. 将2026个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点，，，，和点，，，，是正方形的顶点，连接，，，，分别交正方形的边，，，，于点，，，，，四边形的面积是，四边形的面积是，，则为________． 三、解答题（共7题，62分） 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出外接圆圆心的坐标________； （2）将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； （3）求（2）中线段扫过的面积（保留）． 20. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，b为常数）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D． （l）求证：直线DE是⊙O的切线． （2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长． 23. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 24. 已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A． （1）如图1，当点G在上，F在上，求的值； （2）将正方形绕A点逆时针方向旋转，如图2，求：的值； （3），，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，请直接写出的长度． 25. 二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； （3）连接，当时，求直线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东营市实验中学2022级数学期中考试 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（共10题，30分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A，B两点，在AC的延长线上取一点D，使，在BC的延长线上取一点E，使，测得DE的长为5米，则A，B两点间的距离为（） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似形的判定定理判断出△ABC和△DEC相似，再根据三角形相似的性质解答即可 【详解】∵在△ABC和△DEC中，，且∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴.又∵DE=5米，∴AB=10米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，掌握运算法则是解题关键 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4. 已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 6. 如图用圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的周长等于圆锥的底面周长，得到圆锥的底面半径，然后用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得：， 解得：， ∴圆锥的高 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及求圆锥底面半径和高，熟练掌握扇形的周长等于圆锥的底面周长是解决问题的关键． 7. 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，，则等于（　　） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似． 方法一：根据等边三角形性质先计算，再由两角相等证明，所以，即解出，进而求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， 即， 而， ， ， ， ，即， 解得， ． 故选：B． 8. 如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. （的实数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象与系数的关系，涉及知识点：抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点对应的系数符号，函数的增减性．解题方法是根据抛物线开口方向、对称轴位置、特殊点函数值分析各选项；解题关键是结合图象特征翻译为系数关系，易错点是混淆函数的最值与增减性．解题思路：先由图象得的符号，再分析各选项对应的系数或函数值关系． 【详解】由图象可知：抛物线开口向下（），对称轴在y轴右侧（，故），与y轴交于正半轴（）． A：，乘积为负，A正确，不符合题意； B：当时，（图象中对应点在轴上方），B正确，不符合题意； C：当时，，结合对称轴，推导得，C正确，不符合题意； D：时函数取最大值，故，即，D结论错误，符合题意． 9. 如图，内接于，为的直径，D为上一点（位于下方），交于点E，若， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，因为，构造，求出，则可求得；由相似得，则可求得，由勾股定理求得． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出是解题关键 10. 如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，AM=AN，即可证出． ②当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值． ③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面积为：，即可得到答案． ④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可得，根据等量代换，最后得到答案． 【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC， ∵， ∴，与为等边三角形， 又， ， ∴， 在与中 ∴， ∴AM=AN， 即为等边三角形， 故①正确； ∵， 当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小， ∵， ∴ 即， 故②正确； 当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 而菱形ABCD的面积为：， ∴， 故③正确， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题（共8题，28分，其中11-14每题3分，15-18每题4分） 11. 已知，相似比为，的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：设的周长为x， ∵，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：． 故答案为：6． 12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__． 【答案】3 【解析】 【详解】连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM= =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3， 故答案为3． 13. 如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 14. 如图，在中，，是边上的高，，，则CD等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 15. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为_______ 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案： 如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4. 设球半径为r，则OH=8﹣r， 在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5. 考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接与轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．熟练掌握k的几何意义，等高三角形面积与底边的关系，相似三角形面积关系是解题的关键． 过点A作轴于点D，设的边上的高为h，   根据，得到，得到，，根据，得到，得到，即得． 【详解】过点A作轴于点D，设的边上的高为h，    ∵， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 17. 如图，点E是内一动点，且，，，连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、中位线平行且等于第三边的一半、勾股定理。解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围。解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值。 【详解】解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 18. 将2026个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点，，，，和点，，，，是正方形的顶点，连接，，，，分别交正方形的边，，，，于点，，，，，四边形的面积是，四边形的面积是，，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形和找规律，用含n的代数式表示出一般规律是解题关键． 正方形对边平行，故构成“8”字模型相似，利用相似比求出，从而得到的面积，进而求得．用同样的方法计算出和，归纳总结后写出含n的一般性的表达式，代入，求出． 【详解】由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 同理，四边形的面积， 四边形的面积， 观察规律得，四边形的面积， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7题，62分） 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）写出外接圆圆心的坐标________； （2）将绕点A按逆时针方向旋转90度后得到，画出并写出此时点的坐标； （3）求（2）中线段扫过的面积（保留）． 【答案】（1） （2） 如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了求圆心，作旋转图形，扇形的面积公式，勾股定理． （1）作、的垂直平分线，交点即为外接圆圆心； （2）根据要求作图，进而写出此时点的坐标即可； （3）根据割补法计算即可； 【小问1详解】 解：如图： 可知外接圆圆心的坐标． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 可知扫过的面积， ∵，， ∴扫过的面积 ． 20. DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方图； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50，， 补全频数分布直方图如下： （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （2）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （3）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（，，b为常数）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图象解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，满足式， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为． 如图，过作轴于点，过作轴于点，设， 由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D． （l）求证：直线DE是⊙O的切线． （2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长． 【答案】（1）连接OC ∵OA=OC，AD⊥DE ∴∠OAC=∠OCA，∠D=90° ∵AC平分∠DAE ∴∠DAC=∠OAC ∴∠OCA=∠DAC ∴OC∥AD ∴∠OCE=∠D=90° ∴OC⊥DE ∴直线DE是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等边对等角和垂直定义可得∠OAC=∠OCA，∠D=90°，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠OAC，从而得出∠OCA=∠DAC，根据平行线的判定可得OC∥AD，从而得出∠OCE=∠D=90°，然后根据切线的判定定理即可证出结论； （2）连接BC，根据相似三角形的判定定理可证△BCE∽△CAE，列出比例式即可求出AE，从而求出OC、OB和OE，然后根据平行线证出△EOC∽△EAD，列出比例式即可求出AD． 【详解】解：（1）略 （2）连接BC ∵AB为直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO＋∠OCB=90° ∵OC⊥DE ∴∠BCE＋∠OCB=90° ∴∠BCE=∠ACO ∵∠OAC=∠OCA ∴∠BCE=∠CAE ∵∠E=∠E ∴△BCE∽△CAE ∴ 即 解得：AE=8 ∴AB=AE－BE=6 ∴OC=OB==3 ∴OE=OB＋BE=5 ∵OC∥AD ∴△EOC∽△EAD ∴ 即 解得：AD=． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的推论和相似三角形的判定及性质，掌握等边对等角、平行线的判定及性质、切线的判定及性质、圆周角定理的推论和相似三角形的判定及性质是解题关键． 23. 2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 【答案】（1）甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元； （2）商家最少需购进甲款玩具战机60件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元，列出方程组然后求解即可； （2）设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，列出不等式然后求解即可． 【小问1详解】 解：设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元。 根据题意，得：， 解得； 答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元． 【小问2详解】 解：设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件， 根据题意，得：， 解得； 答：商家最少需购进甲款玩具战机60件． 24. 已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A． （1）如图1，当点G在上，F在上，求的值； （2）将正方形绕A点逆时针方向旋转，如图2，求：的值； （3），，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【小问1详解】 解：∵正方形与正方形有公共点，点在上，在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：①如图， ∵，， ∴，，， ∵三点共线， ∴在中，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． ②如图： 由（2）知， ∴， ∴DG=CE， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当C，G，E三点共线时，的长度为或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 25. 二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； （3）连接，当时，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）有最大值为，点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入中，列出关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点，由两点坐标可得所在直线表达式，求得点坐标，则，由，可得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． （3）设与轴交于点，根据轴可知，，，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； 【小问1详解】 由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 如图所示： 设与交于点．过作轴的平行线与相交于点． 由两点坐标分别为， 可得表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． 【小问3详解】 如图所示： 设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $