第十八章 分式单元测试卷-2025-2026学年人教版数学八年级上册满分全攻略备课系列

第十八章 分式 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子分母分别乘方即可得出答案． 【详解】解：原式． 故选A． 【点睛】． 本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（本题3分）不论x取何值，下列分式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据“分式有意义，分母不等于零”进行判断即可． 【详解】解：A、当时，该分式无意义，故本选项不符合题意； B、当，即时，该分式无意义，故本选项不符合题意； C、在实数范围内，无论x取何值，，该分式总有意义，故本选项正确； D、当，即时，该分式无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（本题3分）下列分式中为最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，利用最简分式的定义逐一判断即可，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简分式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 4．（本题3分）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 5．（本题3分）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 6．（本题3分）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 7．（本题3分）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 8．（本题3分）下列四种说法中，错误的个数是（    ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义、分式的化简与求值，根据分式的定义（分母中含字母）判断①；通过因式分解验证②；代入求值判断③；通过通分比较判断④． 【详解】解：① ∵ 分式定义是分母中含字母，而 的分母是常数 ，不是字母， ∴ 不是分式，故①错误； ② ∵ ，， ∴ 等式成立，故②正确； ③ 当 时，分子 ，分母 ，分式无意义， ∴ 值不是零，故③错误； ④ 左边通分：，右边为 ， ∵ ， ∴ 等式不成立，故④错误； 综上，错误的有①、③、④，共3个． 故选：B． 9．（本题3分）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键． 10．（本题3分）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】（1）结合给出的新运算T，T（2，1）=2，T（-1，2）=-8建立关于a和b的二元一次方程组，解之可得；（2）把m，n代入新运算即可；（3）若m为整数，则分别必须是分子的约数，一一列出并求解即可；（4）可利用作差法比较式子大小进行比较；（5）根据新运算列出等式，整理可求出． 【详解】由题意可知，T（2，1）=2a+2b-4=2，T（-1，2）=-2a-b-4=-8， 即， 解得，故（1）正确； a＝1，b＝2； T（x，y）=xy+2x-4， ∴T（m，n）=mn+2m-4=0（n≠-2），则；故（2）正确 ∵m、n均取整数，， ∴n+2的取值为-4，-2，-1，1，2，4； 当n+2=-4，即n=-6时，m=-1； 当n+2=-2，即n=-4时，m=-2； 当n+2=-1，即n=-3时，m=-4； 当n+2=1，即n=-1时，m=4； 当n+2=2，即n=0时，m=2； 当n+2=4，即n=2时，m=1； 故（3）不正确， ， 当时c-d＜0， ；故（4）正确； ， ，， ， ， ， 对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 故（5）正确 故选C 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，作差法比较分式大小等内容，理解题意是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）年月日新凯莱自主研发的深紫外线光刻技术通过四重图形曝光工艺实现了等效纳米芯片制造，请用科学记数法表示“纳米”为 米．（纳米米）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：纳米米米， 故答案为：． 12．（本题3分）当 时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 13．（本题3分）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（本题3分）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式乘法法则和积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式乘法和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 15．（本题3分）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 16．（本题3分）若，则 ． 【答案】119 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过将两边同时平方，利用完全平方公式得到的值，再将看作一个整体，再次利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：119． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18．（本题8分）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程 【答案】(1)，检验 (2)见解析 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是，解题过程缺少的步骤是检验； （2）解：方程两边同乘以得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原方程的根． 19．（本题8分）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 20．（本题8分）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】(1)八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10 (2)八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】此题考查了分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出；结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （2）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 21．（本题10分）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1)不是的“雅中式”，理由见解析 (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得； （2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得． 【详解】（1）解：不是的“雅中式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴的所有可能的值为， ∴的所有可能的值为（舍去）， ∴所有符合条件的的值之和为． 22．（本题10分）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 23．（本题10分）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 24．（本题12分）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【详解】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）不论x取何值，下列分式中一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列分式中为最简分式的是（  ） A． B． C． D． 4．（本题3分）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 7．（本题3分）为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．（本题3分）下列四种说法中，错误的个数是（    ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（本题3分）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 10．（本题3分）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则结论正确的个数为（    ） （1）a＝1，b＝2； （2）若，则； （3）若，m、n均取整数，则或或； （4）若，当n取s、t时，m对应的值为c、d，当时，； （5）若对任意有理数x、y都成立（这里T（x、y）和T（y、x）均有意义），则 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）年月日新凯莱自主研发的深紫外线光刻技术通过四重图形曝光工艺实现了等效纳米芯片制造，请用科学记数法表示“纳米”为 米．（纳米米）． 12．（本题3分）当 时，分式无意义． 13．（本题3分）计算： 14．（本题3分）计算： ． 15．（本题3分）若，则 ． 16．（本题3分）若，则 ． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题8分）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程 19．（本题8分）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 20．（本题8分）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 21．（本题10分）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 22．（本题10分）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 23．（本题10分）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 24．（本题12分）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $