第十八章 分式 章节（18知识点回顾+43题型巩固）讲义-2025-2026学年新教材人教版数学八年级上册满分全攻略备课系列

第十八章 分式 章节（18知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有意义和无意义的条件 3.分式的值为0的条件 4.分式的基本性质 5.分式的约分 6.分式的通分 7.分式的乘法 8.分式的除法 9.分式的乘除混合运算 10.分式的乘方 11.同分母分式的加减法 12.异分母分式的加减法 13.分式的混合运算 14.整数指数幂 15.科学记数法 16.分式方程的概念 17.分式方程的解法 18.分式方程的应用 题型巩固 一、分式的判断 二、分式无意义的条件 三、分式有意义的条件 四、分式值为零的条件 五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 六、判断分式变形是否正确 七、求使分式变形成立的条件 八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 十二、约分 十三、最简分式 十四、最简公分母 十五、通分 十六、分式乘法 十七、分式除法 十八、分式乘除混合运算 十九、分式乘方 二十、含乘方的分式乘除混合运算 二十一、同分母分式加减法 二十二、异分母分式加减法 二十三、整式与分式相加减 二十四、已知分式恒等式，确定分子或分母 二十五、分式加减混合运算 二十六、分式加减的实际应用 二十七、分式加减乘除混合运算 二十八、分式化简求值 二十九、分式最值 三十、负整数指数幂 三十一、整数指数幂的运算 三十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 三十三、还原用科学记数法表示的小数 三十四、分式方程的定义 三十五、解分式方程（化为一元一次） 三十六、根据分式方程解的情况求值 三十七、分式方程无解问题 三十八、列分式方程 三十九、分式方程的行程问题 四十、分式方程的工程问题 四十一、分式方程的经济问题 四十二、分式方程和差倍分问题 四十三、分式方程的其它实际问题 知识梳理 知识点1.分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点2.分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 知识点3.分式的值为0的条件 1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点4.分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 知识点5.分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点6.分式的通分 1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.通分的关键是确定几个分式的最简公分母 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 知识点7.分式的乘法 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 知识点8.分式的除法 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 知识点9.分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 知识点10.分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为()＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 知识点11.同分母分式的加减法 同分母分式的加减法法则 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示 知识点12.异分母分式的加减法 法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 知识点13.分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式.a－n＝ 知识点14.整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， (a ≠ 0). 这就是说，(a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)(m，n是整数)； (2)()＝(m，n是整数)； (3)(ab)＝(n是整数)；可化为同底数幂的乘法am·a－n=am－n，故可归入(1) (4)(m，n是整数)；可化为积的乘方(a·b－1)n= an·b－n=，故可归入(3) (5)()= (n 是整数). 知识点15.科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几.一定不要忘记指数n前面的“-”号. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 知识点16.分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程应满足的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 知识点17.分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 (1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.方法比较简单，计算量小，因此被广泛运用 (2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 4. 增根(拓展) 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根. 知识点18.分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度×时间＝路程. (2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. (3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. (4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 题型二、分式无意义的条件 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型三、分式有意义的条件 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）要使分式有意义，则的取值应满足 ． 题型四、分式值为零的条件 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 题型六、判断分式变形是否正确 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七、求使分式变形成立的条件 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”： (1)； (2) (3) (4) 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 10．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 题型十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 题型十二、约分 12．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 题型十三、最简分式 13．（25-26八年级上·云南昆明·期中）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 题型十四、最简公分母 14．（25-26八年级上·山东泰安·期中）分式与的最简公分母为 ． 题型十五、通分 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 题型十六、分式乘法 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型十七、分式除法 17．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 题型十八、分式乘除混合运算 18．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型十九、分式乘方 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十、含乘方的分式乘除混合运算 20．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型二十一、同分母分式加减法 21．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 题型二十二、异分母分式加减法 23．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 题型二十三、整式与分式相加减 25．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 26．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 题型二十四、已知分式恒等式，确定分子或分母 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 题型二十五、分式加减混合运算 28．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 题型二十六、分式加减的实际应用 29．（25-26八年级上·山东泰安·期中）某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 30．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 题型二十七、分式加减乘除混合运算 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型二十八、分式化简求值 32．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简：，再从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值，并说明理由． 题型二十九、分式最值 33．（24-25八年级·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 题型三十、负整数指数幂 34．（25-26八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 题型三十一、整数指数幂的运算 35．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 题型三十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1） ；     （2） ． 题型三十三、还原用科学记数法表示的小数 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 题型三十四、分式方程的定义 38．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 题型三十五、解分式方程（化为一元一次） 39．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）解分式方程： (1) (2) 题型三十六、根据分式方程解的情况求值 40．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 题型三十七、分式方程无解问题 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 42．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 题型三十八、列分式方程 43．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 44．（2025·云南玉溪·三模）顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 题型三十九、分式方程的行程问题 45．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 题型四十、分式方程的工程问题 46．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 题型四十一、分式方程的经济问题 47．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 题型四十二、分式方程和差倍分问题 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 题型四十三、分式方程的其它实际问题 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 章节（18知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.分式的定义 2.分式有意义和无意义的条件 3.分式的值为0的条件 4.分式的基本性质 5.分式的约分 6.分式的通分 7.分式的乘法 8.分式的除法 9.分式的乘除混合运算 10.分式的乘方 11.同分母分式的加减法 12.异分母分式的加减法 13.分式的混合运算 14.整数指数幂 15.科学记数法 16.分式方程的概念 17.分式方程的解法 18.分式方程的应用 题型巩固 一、分式的判断 二、分式无意义的条件 三、分式有意义的条件 四、分式值为零的条件 五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 六、判断分式变形是否正确 七、求使分式变形成立的条件 八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 十二、约分 十三、最简分式 十四、最简公分母 十五、通分 十六、分式乘法 十七、分式除法 十八、分式乘除混合运算 十九、分式乘方 二十、含乘方的分式乘除混合运算 二十一、同分母分式加减法 二十二、异分母分式加减法 二十三、整式与分式相加减 二十四、已知分式恒等式，确定分子或分母 二十五、分式加减混合运算 二十六、分式加减的实际应用 二十七、分式加减乘除混合运算 二十八、分式化简求值 二十九、分式最值 三十、负整数指数幂 三十一、整数指数幂的运算 三十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 三十三、还原用科学记数法表示的小数 三十四、分式方程的定义 三十五、解分式方程（化为一元一次） 三十六、根据分式方程解的情况求值 三十七、分式方程无解问题 三十八、列分式方程 三十九、分式方程的行程问题 四十、分式方程的工程问题 四十一、分式方程的经济问题 四十二、分式方程和差倍分问题 四十三、分式方程的其它实际问题 知识梳理 知识点1.分式的定义 1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母. 分式的“三要素”： (1)形如的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 知识点2.分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 知识点3.分式的值为0的条件 1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A、B同号. (2)若的值为负数，则A、B异号. (3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0. 知识点4.分式的基本性质 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： 知识点5.分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点6.分式的通分 1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.通分的关键是确定几个分式的最简公分母 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 特别提醒 通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化. 知识点7.分式的乘法 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 知识点8.分式的除法 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 知识点9.分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 知识点10.分式的乘方 1. 分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用字母表示为()＝ (n为正整数). 2. 分式的乘除、乘方混合运算：分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 知识点11.同分母分式的加减法 同分母分式的加减法法则 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示 知识点12.异分母分式的加减法 法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 知识点13.分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序：分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 进行分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式.a－n＝ 知识点14.整数指数幂 1. 负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， (a ≠ 0). 这就是说，(a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)(m，n是整数)； (2)()＝(m，n是整数)； (3)(ab)＝(n是整数)；可化为同底数幂的乘法am·a－n=am－n，故可归入(1) (4)(m，n是整数)；可化为积的乘方(a·b－1)n= an·b－n=，故可归入(3) (5)()= (n 是整数). 知识点15.科学记数法 1. 用科学记数法表示小于1的正数：一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 2. 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 (1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几.一定不要忘记指数n前面的“-”号. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). 知识点16.分式方程的概念 1. 分式方程分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程应满足的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 知识点17.分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 (1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.方法比较简单，计算量小，因此被广泛运用 (2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 4. 增根(拓展) 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根. 知识点18.分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度×时间＝路程. (2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. (3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. (4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式是指分母中含有字母的代数式，据此判断各选项． 【详解】解：∵分式定义要求分母中含有字母， ∴选项A分母为1（常数），选项B分母为2（常数），选项D分母为3（常数），均不含字母，故选项A、选项B、选项D不是分式；选项C分母为x，含字母，故选项C是分式， 故选：C． 题型二、分式无意义的条件 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】分式无意义的条件 【分析】此题考查的是分式的值不存在的条件，分式不存在的条件中特别需要注意的是分母是0，这是经常考查的知识点． 分式的值不存在的条件是：分母为0，即，从而解决问题． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：A． 题型三、分式有意义的条件 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）要使分式有意义，则的取值应满足 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、分式值为零的条件 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)没有使分式的值为0的值 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件； （1）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （2）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （3）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （2）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （3）解：∵的值为， ∴且， ∴没有使分式的值为0的值． 题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 题型六、判断分式变形是否正确 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 题型七、求使分式变形成立的条件 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 题型八、利用分式的基本性质判断分式值的变化 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，通过代入扩大后的值并化简，比较是否与原式一致即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，与原分式相同，即分式的值保持不变，符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 题型九、将分式的分子分母的最高次项化为正数 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“”： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 10．（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 题型十一、求使分式值为整数时未知数的整数值 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 题型十二、约分 12．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的乘除运算与因式分解的应用，通过因式分解实现分式约分是解题关键． 简化表达式，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到结果，再根据x为正整数判断其类型． 【详解】∵ ==， ∵ 为正整数， ∴ ≥ 0，且为非负整数， 故选：D． 题型十三、最简分式 13．（25-26八年级上·云南昆明·期中）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式的判断，解题的关键是确定分式的分子与分母是否有公因式． 通过分析各选项分式的分子与分母是否存在公因式，判断是否为最简分式． 【详解】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式 A、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式； B、分子与分母无公因式，是最简分式； C、分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式； D、，分子分母有公因式，可化简，不是最简分式． 故选：B． 题型十四、最简公分母 14．（25-26八年级上·山东泰安·期中）分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的定义．求两个分式的最简公分母，需先确定分母系数的最小公倍数，再取各字母因子的最高次幂． 【详解】解：分式与的分母分别是，，故最简公分母是． 故答案为：． 题型十五、通分 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 题型十六、分式乘法 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． （1）先把乘号后面的分式的分母分解因式，再约分即可得到答案； （2）先把乘号后面的分式的分子分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十七、分式除法 17．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 题型十八、分式乘除混合运算 18．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十九、分式乘方 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二十、含乘方的分式乘除混合运算 20．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 题型二十一、同分母分式加减法 21．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，先依据同分母分式加法法则，将分子相加，分母保持不变，再得出结果即可． 【详解】解： 故选：C． 22．（25-26八年级上·北京延庆·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 题型二十二、异分母分式加减法 23．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，注意到分母 ，将第二个分式变形后合并，利用因式分解简化表达式即可； 【详解】解： ， 故选：D 24．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的减法法则是解答本题的关键．根据异分母分式的减法法则计算化简即可解答． 【详解】解： ． 题型二十三、整式与分式相加减 25．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 26．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 题型二十四、已知分式恒等式，确定分子或分母 27．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 题型二十五、分式加减混合运算 28．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式加减混合运算 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 题型二十六、分式加减的实际应用 29．（25-26八年级上·山东泰安·期中）某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【知识点】列代数式、分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 题型二十七、分式加减乘除混合运算 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算； （1）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解； （2）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型二十八、分式化简求值 32．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简：，再从范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值，并说明理由． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】此题考查分式的化简求值，先计算分式的混合运算，再选取适合的x的值代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 理由：为的整数， ，1，2， 为使原分式有意义，，， ，1， 故x取2． 题型二十九、分式最值 33．（24-25八年级·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【知识点】分式的判断、分式化简求值、分式最值 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 题型三十、负整数指数幂 34．（25-26八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 题型三十一、整数指数幂的运算 35．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及单项式乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答； （3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 题型三十二、用科学记数法表示绝对值小于1的数 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1） ；     （2） ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法是解题的关键． （1）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案； （2）同（1）求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 题型三十三、还原用科学记数法表示的小数 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型三十四、分式方程的定义 38．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 题型三十五、解分式方程（化为一元一次） 39．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． （2）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是； 题型三十六、根据分式方程解的情况求值 40．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 题型三十七、分式方程无解问题 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 42．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了解分式方程无解的情况，准确的计算是解决本题的关键． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，进而即可求解． 【详解】解： 解得， 由题意得，当方程无解时，解为增根， 即，代入得， 解得． 故答案为：． 题型三十八、列分式方程 43．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 44．（2025·云南玉溪·三模）顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 【答案】传统分拣员每小时应分拣300个包裹 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，涉及工作总量、工作效率与工作时间的关系．解题的关键是根据“机器人完成个包裹分拣耗时与人工处理个包裹时长相等”这一等量关系，设出未知数并列出分式方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义．​ 先设传统分拣员每小时分拣​x个包裹，由此得出机器人每小时分拣​个包裹；再根据“工作时间工作总量工作效率”，分别表示出机器人分拣个包裹和人工分拣个包裹的时间；最后根据两者时间相等列出分式方程，求解并检验解的合理性，得到传统分拣员每小时的分拣量． 【详解】解：设人工分拣员每小时分拣量为 x个包裹，则机器人每小时分拣量为个，根据题意得：     解得：                     经检验是原方程的解，且符合题意． 答：传统分拣员每小时应分拣个包裹． 题型三十九、分式方程的行程问题 45．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶千米 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设原计划大巴车平均每小时行驶x千米，则实际大巴车平均每小时行驶千米，列分式方程，然后即可求解； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶x千米，则实际大巴车平均每小时行驶千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划大巴车平均每小时行驶千米． 题型四十、分式方程的工程问题 46．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的工程问题 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 题型四十一、分式方程的经济问题 47．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】(1)甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元 (2)最少需购买4盒甲种茶叶礼盒 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，理解题意列出方程与不等式是解题关键； （1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，根据等量关系：用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列出方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，根据不等关系式：总金额不超过1100元，列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元； （2）解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 题型四十二、分式方程和差倍分问题 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 【答案】A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B款套装的单价是元，根据“用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元． 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元． 题型四十三、分式方程的其它实际问题 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度． 【答案】上边衬的宽度为0.1m． 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得，． 装裱后与的比是， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．故上边衬的宽度为． 故答案为：上边衬的宽度为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $