第13讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（北师大版2024）

本讲义聚焦一元一次方程的应用这一核心知识点，系统梳理等积变形、等长变形、“盈不足”问题及行程问题（相遇、追及、航行）等基础模型，通过15类题型（工程、销售盈亏、比赛积分等）构建从基础模型到复杂实际情境的学习支架，衔接方程解法与问题解决的脉络。 资料特色在于情境丰富，融合古代问题（《九章算术》）、电费水费等真实场景，借助行程问题图示、日历T字框等直观呈现数量关系，培养抽象能力与几何直观（数学眼光）。题型分类系统，例题与强化训练结合，提升运算推理能力（数学思维），建立方程模型解决实际问题，发展模型与应用意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

第13讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等积变形问题 2.等长变形问题 3.“盈不足”问题 4.行程问题 题型巩固 一、工程问题(一元一次方程的应用) 二、销售盈亏(一元一次方程的应用) 三、比赛积分(一元一次方程的应用) 四、方案选择(一元一次方程的应用) 五、数字问题(一元一次方程的应用) 六、几何问题(一元一次方程的应用) 七、动点问题（一元一次方程的应用） 八、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 九、行程问题(一元一次方程的应用) 十、比例分配(一元一次方程的应用) 十一、日历问题(一元一次方程的应用) 十二、古代问题(一元一次方程的应用) 十三、其他问题(一元一次方程的应用) 十四、配套问题(一元一次方程的应用) 十五、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.等积变形问题 1. 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变 . 等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积 = 变化后图形的面积或物体的体积 . 2. 易错警示 等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径 . 知识点2.等长变形问题 1. 等长变形是 指图形 或物体的形状发生变化， 但变化前后物体的周长不变 . 2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形， 关 键是根据周长这一不变量列方程求解 . 知识点3.“盈不足”问题 盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题 . 这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数 . 盈不足问题的基本运算公式为 ( 盈 + 亏 )÷ ( 两次分得之差 )=人数 . 每人所得数 × 人数 - 亏 = 物数 . 知识点4.行程问题 1.相遇问题 相遇问题 沿直线运动 沿圆周运动 图示 甲、乙由同一地点相背而行 等量关系 路程 += += 圆周长 时间 若同时出发，则 = 2. 追及问题 追及问题 沿直线运动 沿圆周运动( 同时同地 ) 同地不同时 同时不同地 图示 3. 航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 = + = － 题型巩固 题型一、工程问题(一元一次方程的应用) 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将工作总量视为1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2小时完成的工作量为，乙做小时完成的工作量为，总工作量等于1，由此建立方程. 【详解】解：假设工作总量为1， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲做2小时完成的工作量为 ， 乙做小时完成的工作量为， ∴ 总工作量方程：， 故选B. 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为 ． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲一共做了天，则乙做了天，根据甲完成的工作量加上乙完成的工作量等于总工作量1，列出方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设甲工作天，完成的工作量为；则乙工作 天，完成的工作量为， 根据题意，得， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 题型二、销售盈亏(一元一次方程的应用) 4．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏． 【详解】设盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元。 ∵ 盈利，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， ∵ 亏损，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， 总成本为 元， 总售价为 元， ∵ ， ∴ 亏损元。 故选：B． 5．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先表示两种购买方式得到的利润，再根据获得同样多的利润，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵原订购60套，每套100元，设每套课桌椅的成本为x元， ∴利润； ∵校方购了72套，每套减价3元， ∴利润； 则． 故答案为： 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种商品的进价为800元，标价为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折． 【答案】商店可打折． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店打折，根据商店打折销售，但要保证利润率为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设商店打折， 由题意，得：， 解得：； ∴商店可打折． 题型三、比赛积分(一元一次方程的应用) 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确列出方程求解． 设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据总积分31分列方程求解． 【详解】解：设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据题意得： ， 解得：． 答：负场数为2场． 故选：A． 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，小华选对了 道题． 【答案】16 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小华选对了x道题，则不选或错选道题，根据得分规则列出方程求解，即可作答． 【详解】解：设小华选对了x道题，则不选或错选道题， 由题意得：， 化简得：， 即， 移项得：， 解得， 故答案为． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 【答案】该班共胜4场比赛 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【详解】解：个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余个班比赛， 所以设胜了场，则平了场． 由题意，得， 解得． 答：该班共胜4场比赛． 题型四、方案选择(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 【答案】63人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程．设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 根据题意得：， 解方程得：． 故答案为：人 12．（2025七年级上·全国·专题练习）某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 【答案】参加春游的师生总人数为225人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设单租座客车辆，则参加春游的师生总人数为人，若单租座的客车，则师生人数为人，根据师生人数不变列方程求解即可． 【详解】解：设单租45座客车辆，则参加春游的师生总人数为． 根据题意，得， 解得， 则． 故参加春游的师生总人数为人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 题型五、数字问题(一元一次方程的应用) 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是解决本题的关键． 由给定的乘法竖式，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：由图可得，， 故选A． 14．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”，则最小的“顺利数”是 ；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为 ． 【答案】 105 353 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了整数的性质、列代数式求解等知识，理解“顺利数”的定义，掌握代数式的计算方法是关键． 对于最小的顺利数，百位数字最小为1，个位数字为5，十位数字最小为0，即可求解；对于M，设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据条件得，且由所得两位数之和能被11整除，得是11的倍数，即是11的倍数，结合数字范围得，故． 【详解】解：对于最小顺利数，百位数字取最小1，个位数字为5，十位数字取最小0，故为105；由于百位和个位数字之和为6，且百位数字不能为0，故百位数字最大为6，此时个位数字为0，十位数字最大为9， 因此最大的顺利数为690， 设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴， M去掉个位数字后所得的两位数为，M去掉百位数字后所得的两位数为， ∴它们的和为， ∵这个和能被11整除， ∴是11的倍数， ∵由于是11的倍数， ∴也是11的倍数，即是11的倍数， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：①；②． 15．（2025七年级上·河北·专题练习）观察下列三行数： ，2，，8，，32，…；① ，4，，16，，64，…；② 0，6，，18，，66，…；③ (1)第①行和第②行中的第8个数分别是________和________； (2)设第①行中的第n个数是x，则第②行和第③行中对应的第n个数分别是________和________； (3)取每行中的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行中的第几个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)128，256 (2)， (3)不能，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，列出相应的方程，利用方程的知识解答． （1）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，从而可以写出第①行和第②行的第8个数分别是多少； （2）根据题目中的数据可以发现第一行和第二行中数据的变化规律，第①行中的第n个数是x，从而可以写出第②行和第③行中对应的第n个数分别是多少； （3）根据（2）中的结果可以求得这三个数的和能否等于． 【详解】（1）解：由题目中的数据可得， 第（1）行中的第1个数为， 第（1）行中的第2个数为， 第（1）行中的第3个数为， …… 第（1）行中的第个数为， 同理第（2）行中的第个数为， 同理第（3）行中的第个数为， ∴第（1）行和第（2）行中的第8个数分别是， ， 故答案为：128，256； （2）解：由（1）可知， 第（1）行中的第个数为， 第（2）行中的第个数为， 第（3）行中的第个数为， ∴知第（1）行中的第个数是x，则第（2）行和第（3）行中对应的第个数分别是，， 故答案为：，； （3）解：不能，理由如下： 取每行中的第个数，假设这三个数的和能等于， 令， 解得， ∵， 解得，方程无解． ∴每行第n个数相加的和不能等于． 题型六、几何问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）长方形的周长为，长比宽多，设长方形的宽为，可列方程为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】列方程、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系及长方形周长公式的应用．根据长方形周长公式和长与宽的关系列方程，周长等于长与宽之和的2倍，长比宽多． 【详解】解：设宽为，则长为， ∴，化简得． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论． （1）根据，，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长； ②分情况讨论，即点在点的左侧或右侧，分别讨论即可解答； （2）根据，，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值． 【详解】（1）解：，，， ，， ①如图， 为中点， ， ， ； ②分两种情况：i）当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， ， ， ， ， ； 当点E在点F的左侧，且E在线段上，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得，此时，（不合题意舍去） ⅱ）当点E在点F的右侧，如图， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，解得（不合题意舍去） 综上所述，的长为； （2）解：，，满足关系式， Ⅰ、当点在点右侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． Ⅱ、当点在点左侧时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． 点在点右侧，及点在点右侧， 无解，不符合题意； 当在线段内部时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为：或． 题型七、动点问题（一元一次方程的应用） 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 20．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上且，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以每秒的速度沿运动，再以每秒的速度沿运动，最终到达点设点P运动的时间是t秒，那么当 时，的面积等于 【答案】或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分点P在边上，点P在边上，且在点E左侧，点P在边上，且在点E右侧和点P在边上，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：，， ，， ①如图，当点P在边上时，， ， 解得； ②如图，当点P在边上，且在点E左侧时， ， ， 解得； ③如图，当点P在边上，且在点E右侧时， ， ， 解得， 不符合题意，舍去； ④如图，当点P在边上， ，， ， ， ， 则， 解得， 综上，当或或时，的面积等于7平方厘米． 故答案为：或或 21．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，在正方形中，，动点从点出发，沿、边向点以的速度运动，到达点停止运动；动点从点出发沿边向点以的速度运动，到达点停止运动，、同时开始运动，用（）表示移动时间． (1)请用含的代数式表示下列线段的长度： 当点在上运动时，______， 当点在上运动时，______； (2)当点在上运动时，若，则的值是______； (3)点能否追上点？如果能，求出值；如果不能，请说明理由； (4)点在上时，若点和点的距离为，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或或 【知识点】列代数式、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）当点在上运动时，由路程等于速度乘以时间可得 再利用线段的和差可表示 当点在上运动时，由路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可表示； （2）当点在上运动时，，利用，列方程解方程可得答案； （3）由点追上点，可得：，列方程解方程可得答案； （4）由点在上时，分两种情况：当在的左边时，当在的右边时，利用，列方程解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵动点从点出发，沿、边向点以的速度运动，到达点停止运动；动点从点出发沿边向点以的速度运动，到达点停止运动， ∴， ∴， ∴当点在上运动时，， ∴； 当点在上运动时，如图， ∵， ； （2）当点在上运动时， ， ， ， ； 所以当时，； （3）如图，当点在上运动时，， 当时，追上， 即当，点追上点； （4）当在的左边时， 当在的右边时， 当P到达C，Q到P（C）距离时， ， 综上：当或或时，点和点的距离为． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的几何应用，同时考查了行程问题，列代数式，掌握利用方程解决几何问题是解题的关键． 题型八、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某地为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方式收取水费：若每月用水不超过 则按2元收费：若每月用水超过，则超过部分按2.5元 收费．如果某户居民今年5月份缴纳了24元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为 【答案】11 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是等量关系，列出方程．先判断该户居民5月用水量是否超过，因为，所以该户居民缴纳水费按两部分计算，设该户居民5月份用水量为，则其中有按照2元/收费，按照元/收费，按此计算即可． 【详解】解：当用水量为时，水费为：， ∵， ∴这户居民5月份用水量超过， 设该户居民5月份用水量为， ∴， 解得：， 故答案为：11． 24．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 题型九、行程问题(一元一次方程的应用) 25．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用-相遇问题，由于两车不是在同一顶点出发，所以两车第一次相遇，需要通过的路程之差等于边长的3倍，依此列出方程即可求解． 【详解】解：设经过x分钟两车第一次相遇，依题意有： ， 解得， ， 即乙走了2圈又2.5米， 故两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边上． 故选：C． 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7小时（中途不停)，则甲、乙两码头的距离为 ． 【答案】120 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解． 设甲、乙两码头的距离为千米，根据顺流速度（静水速度加水流速度）和逆流速度（静水速度减水流速度）表示往返时间，利用总时间列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两码头的距离为千米； 则， 解得：， 故答案为：120. 27．（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为，根据运行里程比原来缩短了建立方程解答即可． 【详解】解：设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 题型十、比例分配(一元一次方程的应用) 28．（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 29．（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 【答案】27 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌，然后根据三种奖牌的总和为91枚列方程求解即可． 【详解】解：设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌， 由题意可得：，解得：． 所以中国体育代表团在本届奥运会获得27枚银牌． 故答案为：27． 30．（2025·陕西宝鸡·一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 【答案】此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设此次植树活动中李村植树棵，因为张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，所以张村植树棵，根据张村和李村共同植树500棵，可列方程，解方程求出的值，即可求出两村植树的棵数 ． 【详解】解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵， 根据题意得：， 解得：， （棵）， 答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵． 题型十一、日历问题(一元一次方程的应用) 31．（25-26七年级上·云南昆明·期中）在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（   ） A．17 B．24 C．42 D．66 【答案】A 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了方程与日历问题． 设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为，故和必为3的倍数，且日期范围在1至31之间． 【详解】解：设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为， ∵和必须为3的倍数，且x为整数，． 选项A：17不是3的倍数， ∴不可能； 选项B：24是3的倍数，解得：，可能； 选项C：42是3的倍数，解得：，可能； 选项D：66是3的倍数，解得：，可能； 故选：A． 32．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）日历中连续五天的和是45，则最中间一天的日期是 号． 【答案】9 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期之和可表示为，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期分别为．则它们的和为：， 根据题意，得：， 解得：． 即最中间一天的日期是9号． 故答案为：9 33．（25-26七年级上·重庆·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)小明的说法错误，理由见解析 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）解：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合“T”字形框， 故小明的说法是错的． 题型十二、古代问题(一元一次方程的应用) 34．（25-26七年级上·广东·月考）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 35．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 题型十三、其他问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）某企业的销售部门在2024年销售业绩非常好，为了表彰销售员工，决定给销售部门的员工发奖金：第一个人分得1万元和剩下奖金的十分之一；第二个人分得2万元和剩下奖金的十分之一，第三个人分得3万元和剩下奖金的十分之一…按照这样的方式一直分下去，奖金恰好分完，最后每一个人所得的奖金一样多，这个企业的销售部门共多少个人？（    ） A．8人 B．10人 C．7人 D．9人 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设总人数为 ，由于每个人分得的奖金相同，且最后一个人分得万元，通过倒数第二个人分得的奖金与最后一个人分得的奖金相等，建立方程求解即可 【详解】解：设总人数为，则每个人分得奖金万元， 第个人分奖金前剩余奖金为万元， 第个人分得：， 分完后剩余奖金为万元（即第 个人分前奖金）， ， 令，则，即， 第个人分得：， 每个人分得奖金相同， 解得：， 销售部门共有9人， 故选：D 38．（25-26七年级上·重庆·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 人春游． 【答案】389 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据等量关系建立方程是解题的关键．设汽车数量为未知数，依据总人数不变的等量关系列方程求解． 【详解】解：设共有辆汽车．由题意可得 ， ， ， ， ∴总人数：（人）， 故答案为：． 39．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长的关系．设每个正五边形的边长为1．解答下列问题： (1)由3张纸片粘连成的纸带周长为 ；按照这样粘连下去，由n张纸片连成的纸带周长为 (用含 n的代数式表示)；当时，纸带周长为 ； (2)纸带周长可能等于 2025 吗？请说明理由． 【答案】(1)11；3n + 2；32 (2)纸带周长不可能等于 2025，理由见解析 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、一元一次方程的应用等知识点，观察图形的变化并归纳规律是解题的关键． （1）根据图形的变化情况写出每个图形纸片粘连成的纸带周长即可解答； （2）假设纸带周长能等于 2025，根据题意，列出方程，然后解一元一次方程，即可解答． 【详解】（1）解：1张纸片的周长为， 2张纸片粘连成的纸带周长为， 3张纸片粘连成的纸带周长为， 4张纸片粘连成的纸带周长为， ……， 由n张纸片连成的纸带周长为， 当时，纸带周长为； 故答案为：11；；32 （2）解：纸带周长不可能等于 2025，理由如下： 假设纸带周长能等于 2025， 由（2）得：， 解得：， ∵n为整数， ∴纸带周长不可能等于 2025． 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）一工坊用塑料板制作尺子，每张塑料板可制作直尺20把或制作三角尺30把，1把直尺与2把三角尺配成1组套尺．现有35张塑料板，用来制作直尺和三角尺，刚好可以配成的套尺有（   ） A．15组 B．20组 C．300组 D．600组 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的配套问题，熟练掌握方程解题思路是解题的关键； 先设制作直尺的塑料板数量为未知数，根据直尺和三角尺的配套关系列出方程，求解得出塑料板数量后，计算可配成的套尺数． 【详解】解：设制作直尺的塑料板有张，则制作三角尺的塑料板有张. 根据题意得： 则可配成的套尺组数为：（个） 故选：C ． 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，根据礼盒配套要求，蛋黄肉粽和碱水粽的数量比应为，从而列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，蛋黄肉粽的数量为个，碱水粽的数量为个， 由于每份礼盒由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成， 因此蛋黄肉粽与碱水粽的数量比需满足， 故得方程， 故答案为：． 42．（25-26七年级上·甘肃张掖·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键． 设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意，得， 解得， 则． 答：应安排25人生产桌面，安排60人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 题型十五、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）小明今年x岁，爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，根据题意，爸爸年龄比小明年龄的2倍大12岁，因此列出方程. 【详解】解：∵ 爸爸年龄 小明年龄， ∴ . 故选D 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年岁，列方程为 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设小明今年岁，则父亲今年年龄为岁．6年后，小明年龄为岁，父亲年龄为岁．根据父亲年龄比小明年龄的2倍还大7，列出方程． 【详解】解：设小明今年岁，根据题意，得 ． 故答案为：． 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 【答案】8 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，根据共有28人参加列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人， 由题意可得：， 解得：， 故有人选择乘坐电动巴士． 强化训练 一、单选题 1．小明在日历表的同一列圈出相邻的3个数，这3个数的和可能是（　　） A．21 B．45 C．49 D．75 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含x的代数式表示三个数的和．设中间一个是x，可得这三个数的和是，再分别列方程，解得x的值，检验即可得到答案． 【详解】解：设中间一个是x，则其它两个数是和， ∴这三个数的和是， 若，则，，故A不符合题意； 若，则，故B符合题意； 若，则；故C不符合题意， 若，则，，故D不符合题意； 故选：B． 2．如图所示是一个长方形试管架，在长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答本题时根据条件建立方程是解答的关键．根据条件就可以得出，然后求出该方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故选：B． 3．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可判断该户村民实际用水超过20立方米，设实际用水为x，根据共交水费72元，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设实际用水为x立方米， 由题意得，实际用水量超过20立方米， ， 解得：． 即该户居民九月份实际用水28立方米． 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，涉及了阶级收费分问题，注意分段表示每部分所花费的钱数，利用方程思想解出答案． 4．已知种饮料比种饮料单价少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，由题下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设种饮料单价为元/瓶，则种饮料单价为(-1)元/瓶，根据“小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元”列出方程即可． 【详解】解：设种饮料单价为元/瓶，则种饮料单价为(-1)元/瓶， 由题意得． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找到题中的等量关系． 5．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此项工程共需天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得： ． 故选：C 6．某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%．则这单买卖是（    ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法确定 【答案】C 【分析】设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元，根据售价－进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之可求出x、y的值，再用两件衣服的售价－两件衣服的进价即可求出这单买卖的亏损情况． 【详解】解：设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元， 由题意得：300－x＝0.2x，300－y＝－0.2y， 解得：x=250，y=375 ∵300×2－250－375＝－25(元) ∴这单买卖亏损25元． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得： 解得： 答：需要安排名工人生产桌面． 故选：． 8．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 9．有一个三位数的百位数字是1，如果把1移到最后，其他两位数字顺序不变，所得的三位数比这个三位数的2倍少7，则这个三位数为（    ）． A．111 B．122 C．123 D．124 【答案】D 【分析】设个位十位组成的两位数整体为x，则原数是，然后列出一元一次方程计算即可； 【详解】设个位十位数组成的两位数整体为x，则这个三位数是， 由题意可得：， 解得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析题意是解题的关键． 10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 二、填空题 11．对连续的偶数2，4，6，8，…排成如图的形式．将图中的十字框上下左右移动，使框住的五个数之和等于2020，则这五个数中位置在最中间的数是 ． 【答案】404 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 依据题意，设中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得十字框中的五个数和，据此解答即可． 【详解】解：设中间的数为x，则其余四个数从小到大分别为，，，， ∴这五个数和为， ∴． ∴． ∴若将图中的十字框上下左右移动，框住的五个数之和能等于2020． 故答案为：404． 12．老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 不妨设老师现在的年龄为岁，童年的时光+从小学到大学的时间+当老师的时间=现在的年龄； 根据上述等量关系式先列出方程，进而解方程即可． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁， 由题意可得， 解得 故答案为：． 13．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车无人乘坐，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人． 【答案】39 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键． 设有x辆车，找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题． 【详解】解：设有x辆车， 依题意得：． 解得，． ∴（人）， 答：15辆车，有39人． 故答案为：39． 14．一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是 ． 【答案】70° 【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为x, 根据题意得：90°-x=（180°-x）-2°， 解得：x=70°． 所以这个角的度数为70°． 故答案为：70° 【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键． 15．某市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 0～400（含400） 的部分 2元/ 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100、200． 第二阶梯 400～1200（含1200）的部分 3元/ 第三阶梯 1200以上的部分 4元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为4200元，求该年乙户比甲户多用 立方米的燃气． 【答案】75 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 先求出甲户用气量是1200立方米及乙户用气量是1400立方米时应缴纳的燃气费用，由两值均小于4200元，可得出该年甲户用气量超过1200立方米，乙户用气量超过1400立方米，设该年甲户用气立方米，乙户用气立方米，根据该年甲户，乙户缴纳的燃气费用均为4200元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】元 ∴该年甲户用气量超过1200立方米，乙户用气量超过1400立方米． 设该年甲户用气立方米，乙户用气立方米， 根据题意得：， 解得：， ， ∴该年乙户比甲户多用75立方米的燃气． 故答案为：75． 三、解答题 16．我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 【答案】绳子长为36尺，井深8尺 【分析】设井深为x尺，则根据“将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺”即可列出方程求解. 【详解】设绳子长尺， 依题意得，解得， 所以． 答：绳子长为36尺，井深8尺． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在弄清题意，找到等量关系并列出方程． 17．周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： (1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？ 【答案】(1)小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50米． 【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分，根据距离=速度差×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50米．根据距离=速度差×时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分， 根据题意得：2（2x-x）=400， 解得：x=200， ∴2x=400． 答：小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分； （2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50米． 400y-200y=50， 解得y=； 爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米， 根据题意得：400y-200y=350， 解得y=． 答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解． 18．一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 19．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： 月用水量（吨） 单价（元/吨） 不大于10吨部分 1.5 大于10吨不大于50吨部分 2 大于50吨部分 3 (1)若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； (2)记该用户六月份用水量为x吨，试用含x的代数式表示其所需缴纳水费y（单位：元）． (3)某用户某月交水费125元，该用户用水多少吨？ 【答案】(1)31元 (2) (3)60吨 【分析】本题主要考查列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息理解分档收费的标准是解题的关键； （1）确定吨在第二档范围，然后根据两档的单价，列式计算即可得解； （2）分，，三种情况列式整理即可； （3）先通过计算得出，再列方程解决即可； 【详解】（1）解：∵， ∴应缴纳水费为： 元； （2）吨时，， 时，， 时， ； ∴ （3）因为当时， ， ， 所以 ， 解得：， 则该用户用水60吨． 20．如图1，直角三角尺如图摆放，其中，，直角边与直线重合，另一边在直线上方，过点O在直线上方作射线，，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时的度数是________； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出t的值．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)，或 (3)的值为或或 【分析】（1）先根据补角的定义求出的度数，再根据角平分的定义求出的度数，最后根据余角的定义即可求出的度数； （2）分三种情况讨论，①当平分时；②当平分时；③当平分时，可分别求出的值； （3）设运动时间为，分三种情况讨论，利用角平分线的定义列出方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：存在 ①当平分时， 即 ，解得； ②当平分时， 即 ，解得； ③当平分时， 即 ，解得； 综上所述，，或； （3）解：或或，理由如下： 设运动时间为，则有 ①当时，， ； ②当时，， ； ③当回到起始位置后， 平分， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题主要考查补角、余角以及角平分线的定义，一元一次方程，掌握分类讨论思想是关键． 21．小明在“几何画板”上设计了一个数轴上的动点程序，该动点在数轴上沿正方向运动，他把观察到情况记录如下： 观察时间 数轴上动点所到的数字情况 8：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7． 9：00 十位与个位数字与8：00时所看到的正好颠倒了． 10：00 比8：00时看到的两位数中间多了个0． 如果设小明在8：00时看到的数的个位数字是，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简） (1)8：00时小明看到的数可表示为___________；（用含的代数式表达）； (2)请分别求出求间和间，该动点在数轴上分别运动了多少距离？（用含的代数式表达） (3)若该动点为匀速运动，将时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为，数轴上有点，使得，直接写出点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)间该动点运动的距离为，间该动点运动的距离为； (3)21或101 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）8：00时小明看到的数的十位数字为，把十位数字乘以10，再加上个位数字即可得到答案； （2）仿照（1）求出9：00和10：00小明看到的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）由于是匀速运动，那么间该动点运动的距离与间该动点运动的距离相等，据此可得，解方程求出x的值，进而求出A、B、C三点表示的数，设出点M表示的数，进而可得关于m的绝对值方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，8：00时小明看到的数可表示为； （2）解：由题意得，9：00时小明看到的数可表示为， 10：00时小明看到的数可表示为， ∴间该动点运动的距离为， 间该动点运动的距离为； （3）解：∵该动点为匀速运动， ∴间该动点运动的距离与间该动点运动的距离相等， ∴， 解得， ∴表示的数为，B表示的数为，C表示的数为； 设M表示的数为m， ∵， ∴， 当时，则， 解得（舍去）； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或， ∴点M在数轴上表示的数为21或101． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等积变形问题 2.等长变形问题 3.“盈不足”问题 4.行程问题 题型巩固 一、工程问题(一元一次方程的应用) 二、销售盈亏(一元一次方程的应用) 三、比赛积分(一元一次方程的应用) 四、方案选择(一元一次方程的应用) 五、数字问题(一元一次方程的应用) 六、几何问题(一元一次方程的应用) 七、动点问题（一元一次方程的应用） 八、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 九、行程问题(一元一次方程的应用) 十、比例分配(一元一次方程的应用) 十一、日历问题(一元一次方程的应用) 十二、古代问题(一元一次方程的应用) 十三、其他问题(一元一次方程的应用) 十四、配套问题(一元一次方程的应用) 十五、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.等积变形问题 1. 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变 . 等积变形问题中的等量关系为变化前图形的面积或物体的体积 = 变化后图形的面积或物体的体积 . 2. 易错警示 等积变形问题中涉及求圆柱体积时，会用到圆柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是半径 . 知识点2.等长变形问题 1. 等长变形是 指图形 或物体的形状发生变化， 但变化前后物体的周长不变 . 2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形， 关 键是根据周长这一不变量列方程求解 . 知识点3.“盈不足”问题 盈不足问题，也称为盈亏问题，是古代中国《九章算术》中研究的一种数学问题 . 这类问题涉及将一定数量的物品平均分配给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈(有余)，一次是亏(不足)；或者两次都盈；或者两次都亏时，求参加分配的物品总量及人员总数 . 盈不足问题的基本运算公式为 ( 盈 + 亏 )÷ ( 两次分得之差 )=人数 . 每人所得数 × 人数 - 亏 = 物数 . 知识点4.行程问题 1.相遇问题 相遇问题 沿直线运动 沿圆周运动 图示 甲、乙由同一地点相背而行 等量关系 路程 += += 圆周长 时间 若同时出发，则 = 2. 追及问题 追及问题 沿直线运动 沿圆周运动( 同时同地 ) 同地不同时 同时不同地 图示 3. 航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 = + = － 题型巩固 题型一、工程问题(一元一次方程的应用) 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）一件工作，甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，现由甲先做2小时，余下部分由乙独做，又做了x小时完成，用方程表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为 ． 3．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 题型二、销售盈亏(一元一次方程的应用) 4．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 5．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种商品的进价为800元，标价为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折． 题型三、比赛积分(一元一次方程的应用) 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，小华选对了 道题． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 题型四、方案选择(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨）某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有 12．（2025七年级上·全国·专题练习）某校组织师生外出春游．若单租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求参加春游的师生总人数． 题型五、数字问题(一元一次方程的应用) 13．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”，则最小的“顺利数”是 ；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为 ． 15．（2025七年级上·河北·专题练习）观察下列三行数： ，2，，8，，32，…；① ，4，，16，，64，…；② 0，6，，18，，66，…；③ (1)第①行和第②行中的第8个数分别是________和________； (2)设第①行中的第n个数是x，则第②行和第③行中对应的第n个数分别是________和________； (3)取每行中的第n个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行中的第几个数；如果不能，请说明理由． 题型六、几何问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）长方形的周长为，长比宽多，设长方形的宽为，可列方程为 ． 18．（25-26七年级上·全国·月考）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧 (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 题型七、动点问题（一元一次方程的应用） 19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 20．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上且，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以每秒的速度沿运动，再以每秒的速度沿运动，最终到达点设点P运动的时间是t秒，那么当 时，的面积等于 21．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，在正方形中，，动点从点出发，沿、边向点以的速度运动，到达点停止运动；动点从点出发沿边向点以的速度运动，到达点停止运动，、同时开始运动，用（）表示移动时间． (1)请用含的代数式表示下列线段的长度： 当点在上运动时，______， 当点在上运动时，______； (2)当点在上运动时，若，则的值是______； (3)点能否追上点？如果能，求出值；如果不能，请说明理由； (4)点在上时，若点和点的距离为，请直接写出的值． 题型八、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）某地为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方式收取水费：若每月用水不超过 则按2元收费：若每月用水超过，则超过部分按2.5元 收费．如果某户居民今年5月份缴纳了24元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为 24．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 题型九、行程问题(一元一次方程的应用) 25．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 26．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7小时（中途不停)，则甲、乙两码头的距离为 ． 27．（25-26七年级上·甘肃·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 题型十、比例分配(一元一次方程的应用) 28．（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（24-25七年级上·河南安阳·期末）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 30．（2025·陕西宝鸡·一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 题型十一、日历问题(一元一次方程的应用) 31．（25-26七年级上·云南昆明·期中）在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（   ） A．17 B．24 C．42 D．66 32．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）日历中连续五天的和是45，则最中间一天的日期是 号． 33．（25-26七年级上·重庆·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 题型十二、古代问题(一元一次方程的应用) 34．（25-26七年级上·广东·月考）文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 36．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 题型十三、其他问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）某企业的销售部门在2024年销售业绩非常好，为了表彰销售员工，决定给销售部门的员工发奖金：第一个人分得1万元和剩下奖金的十分之一；第二个人分得2万元和剩下奖金的十分之一，第三个人分得3万元和剩下奖金的十分之一…按照这样的方式一直分下去，奖金恰好分完，最后每一个人所得的奖金一样多，这个企业的销售部门共多少个人？（    ） A．8人 B．10人 C．7人 D．9人 38．（25-26七年级上·重庆·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 人春游． 39．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长的关系．设每个正五边形的边长为1．解答下列问题： (1)由3张纸片粘连成的纸带周长为 ；按照这样粘连下去，由n张纸片连成的纸带周长为 (用含 n的代数式表示)；当时，纸带周长为 ； (2)纸带周长可能等于 2025 吗？请说明理由． 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）一工坊用塑料板制作尺子，每张塑料板可制作直尺20把或制作三角尺30把，1把直尺与2把三角尺配成1组套尺．现有35张塑料板，用来制作直尺和三角尺，刚好可以配成的套尺有（   ） A．15组 B．20组 C．300组 D．600组 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 42．（25-26七年级上·甘肃张掖·月考）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有85名工人，平均每人每天可以加工桌面8个或桌腿10条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，问应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 题型十五、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）小明今年x岁，爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级上·全国·课后作业）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年岁，列方程为 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 强化训练 一、单选题 1．小明在日历表的同一列圈出相邻的3个数，这3个数的和可能是（　　） A．21 B．45 C．49 D．75 2．如图所示是一个长方形试管架，在长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 3．为了节约用水，某市规定，每户居民每月用水不超过，按每立方米2元收费，超过，则超过部分按每立方米4元收费，某户居民5月份交水费72元．该居民5月份实际用水（     ） A． B． C． D． 4．已知种饮料比种饮料单价少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，由题下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%．则这单买卖是（    ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法确定 7．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 8．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 9．有一个三位数的百位数字是1，如果把1移到最后，其他两位数字顺序不变，所得的三位数比这个三位数的2倍少7，则这个三位数为（    ）． A．111 B．122 C．123 D．124 10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 二、填空题 11．对连续的偶数2，4，6，8，…排成如图的形式．将图中的十字框上下左右移动，使框住的五个数之和等于2020，则这五个数中位置在最中间的数是 ． 12．老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是 岁． 13．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车无人乘坐，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人． 14．一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是 ． 15．某市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 0～400（含400） 的部分 2元/ 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100、200． 第二阶梯 400～1200（含1200）的部分 3元/ 第三阶梯 1200以上的部分 4元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为4200元，求该年乙户比甲户多用 立方米的燃气． 三、解答题 16．我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？ 17．周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： (1)请根据它们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度； (2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸跑道上相距50米？ 18．一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 19．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： 月用水量（吨） 单价（元/吨） 不大于10吨部分 1.5 大于10吨不大于50吨部分 2 大于50吨部分 3 (1)若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； (2)记该用户六月份用水量为x吨，试用含x的代数式表示其所需缴纳水费y（单位：元）． (3)某用户某月交水费125元，该用户用水多少吨？ 20．如图1，直角三角尺如图摆放，其中，，直角边与直线重合，另一边在直线上方，过点O在直线上方作射线，，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时的度数是________； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出t的值．（本题中的角均为大于且小于的角） 21．小明在“几何画板”上设计了一个数轴上的动点程序，该动点在数轴上沿正方向运动，他把观察到情况记录如下： 观察时间 数轴上动点所到的数字情况 8：00 是一个两位数字，它的两个数字之和为7． 9：00 十位与个位数字与8：00时所看到的正好颠倒了． 10：00 比8：00时看到的两位数中间多了个0． 如果设小明在8：00时看到的数的个位数字是，那么根据以上信息回答下列问题：（结果均要化简） (1)8：00时小明看到的数可表示为___________；（用含的代数式表达）； (2)请分别求出求间和间，该动点在数轴上分别运动了多少距离？（用含的代数式表达） (3)若该动点为匀速运动，将时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为时该点在数轴上的位置记为，数轴上有点，使得，直接写出点在数轴上表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $