第5章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+39题型巩固）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（浙教版2024）

第5章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+39题型巩固） 目录 知识梳理 1.方程的概念 2.方程的解 3.用尝试检验的方法求方程的解 4.等式的基本性质 5.一元一次方程 6.一元一次方程的解与解方程 7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 8.移项解一元一次方程 9.去括号解一元一次方程 10.去分母解一元一次方程 11.解一元一次方程的基本程序 12.运用方程解决实际问题的一般过程 13.实际问题中常用的等量关系 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、绝对值方程 十二、利用平方根解方程 十三、已知一元一次方程的解，求参数 十四、一元一次方程解的关系 十五、配套问题(一元一次方程的应用) 十六、工程问题(一元一次方程的应用) 十七、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十八、比赛积分(一元一次方程的应用) 十九、方案选择(一元一次方程的应用) 二十、数字问题(一元一次方程的应用) 二十一、几何问题(一元一次方程的应用) 二十二、动点问题（一元一次方程的应用） 二十三、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 二十四、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十五、行程问题(一元一次方程的应用) 二十六、比例分配(一元一次方程的应用) 二十七、日历问题(一元一次方程的应用) 二十八、古代问题(一元一次方程的应用) 二十九、其他问题(一元一次方程的应用) 知识梳理 知识点1.方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程必须具备两个条件： （1）是等式；（2）含有未知数。两者缺一不可。 知识点2.方程的解 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.检验方程的解的方法：检验一个值是不是方程的解，要把这个值分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时，这个值是方程的解，当左边≠ 右边时，这个值不是方程的解。 知识点3.用尝试检验的方法求方程的解 对于一些较简单的方程，先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。 知识点4.等式的基本性质 内容 字母表示 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 如果a=b ，那么a±c=b±c 。 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 如果a=b ,那么ac=bc ,或=(c≠0) 。 教材延伸 等式的其他性质 （1）等式的对称性：如果a=b，那么b=a 。 （2）等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c 。 知识点5.一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式， ①未知数不出现在分母上，如等不是整式；②未知数不出现在根号内，如等不是整式 这样的方程叫作一元一次方程。 2.一元一次方程必备的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次；③两边都是整式。三者缺一不可。 知识点6.一元一次方程的解与解方程 1.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根 2.解方程：求方程的解的过程称为解方程。 ：方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数。 求方程的解的过程。 联系 方程的解是通过解方程求得的。 知识点7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x=a（a 为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。 知识点8.移项解一元一次方程 移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 移项与加法交换律的区别 移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号。 注意： 移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的左边，将常数项（不含未知数的项）移到方程的右边，将方程化成ax=b(a≠0) 的形式。 知识点9.去括号解一元一次方程 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 知识点10.去分母解一元一次方程 去分母的步骤： 注意： （1）不要漏乘不含分母的项（每项都乘）；（2）由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母后，要将分子作为一个整体加上括号。 知识点11.解一元一次方程的基本程序 解一元一次方程的基本程序如下表： 变形名称 变形依据 具体做法 易错点 去分母 等式的性质2 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号。 去括号 分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）。 （1）不要漏乘括号里的任何一项； （2）若括号前是负号，则去括号后，括号内各项都要变号。 移项 等式的性质1 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。 移项要改变项的符号。 合并同类项 合并同类项法则 把方程化成 ax=b(a，b 为常数，且a≠0) 的形式。 系数相加，字母及其指数均不变。 两边同除以未知数的系数 等式的性质2 方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解x= （1）切忌分子、分母位置颠倒； （2）不要忘记未知数系数的符号。 知识点12.运用方程解决实际问题的一般过程 （1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 （2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示。 （3）列方程：根据相等关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 （1）设未知数时，如果有单位，要加上单位； （2）列方程时，等号两边量的单位要一致。 知识点13.实际问题中常用的等量关系 涉及公式 等量关系 注意事项 行程 问题 相遇问题 路程= 速度×时间； 甲的行程+乙的行程= 两地间的距离。 注意始发时间和地点。 追及问题 时间=； （1）同地不同时出发，前者行程= 追及者的行程； （2）同时不同地出发，前者行程+初始距离= 追及者的行程。 航行、飞 行问题 速度= 。 （1）顺水（顺风）速度=静水（无风）速度+ 水流速度（风速）； （2）逆水（逆风）速度= 静水（无风）速度-水流速度（风速）。 注意题中是顺水（顺风） 还是逆水（逆风）。 和差倍分问题 增长量= 原有量×增长率； 现有量=原有量+增长量。 弄清“倍、分”关系及“多、少”关系。 等积变形问题 长方体的体积= 长×宽×高； 圆柱的体积= 底面积×高。 （1）面积变了，周长没变； （2）原料体积= 成品体积。 分清是“形”变“积”不变，还是“形”变“积”也变，但质量不变。 调配问题 甲处人（物）数+ 乙处人（物）数= 总人（物）数。 注意调配的方向和数量。 工程问题 工作量= 工作时间 ×工作效率。 合作效率= 各单独做的效率和； 总工作量= 各部分工作量之和。 一般情况下把总 工作量设为“1”。 储蓄问题 本金×利率×存期= 利息。 注意题中利率和存期要 对应。 销售问题 售价=标价× ；售价-进价= 利润； 利润率=（售价-进价）÷ 进价×100% 。 打几折后的价格就是标 价乘十分之几或百分之 几十。 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 题型二、列方程 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 题型三、判断是否是方程的解 5．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 题型四、已知方程的解，求参数 7．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若关于的方程的解为，则 ． 题型五、等式的性质 9．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型六、判断是否是一元一次方程 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 12．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 题型七、判断是否是一元一次方程解 13．写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为整数的集合满足：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若集合是一个黄金集合，则______； (3)若一个黄金集合中最大的一个元素为111，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由． (4)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且，则该黄金集合中共有______个元素． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 17．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）解方程，去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知，求的最大值和最小值．   题型十、解一元一次方程（三）——去分母 19．（24-25七年级·浙江绍兴·期末）将关于x的方程去分母后可得（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，由此可知a的值为 ，原方程的正确解为 ． 题型十一、绝对值方程 21．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 22．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 题型十二、利用平方根解方程 23．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和3，则的值为 ． 24．求下列各式中的值． （1）； （2）． 题型十三、已知一元一次方程的解，求参数 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 题型十四、一元一次方程解的关系 27．（24-25七年级上·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 题型十五、配套问题(一元一次方程的应用) 29．（22-23七年级上·浙江台州·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，假设安排名工人生产螺柱，使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，则可列方程（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 题型十六、工程问题(一元一次方程的应用) 31．（2023七年级上·浙江·专题练习）乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（　　）个月． A．6 B．4 C．5 D．3 32．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）某工程队承包了一项目，现提供两种施工方案：①所有员工同时施工，计划24天完成：②将所有员工平均分成若干组施工队，分阶段投入施工，即第1组先施工，每隔天（为之间的整数，不包括5和10），增加一组员工，且每组员工从加入开始至完工结束全程参与施工．该工程队按照方案②进行施工，完工后发现最后一组员工的施工时间恰好为第一组的．（说明：无论采用何种方案，所有员工的施工速度都相等，且保持不变） (1)求第一组施工队员的工作时间． (2)已知这若干组施工队每组5人，则该工程队共有多少人？ 题型十七、销售盈亏(一元一次方程的应用) 33．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一件衣服的进价为399元，标价为600元，按标价打折销售后，获得的毛利润．这件衣服是打几折销售的？若设这件衣服销售时的折扣率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 题型十八、比赛积分(一元一次方程的应用) 35．（23-24七年级上·浙江台州·期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ． 36．（24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 题型十九、方案选择(一元一次方程的应用) 37．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 题型二十、数字问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我国古代的“河图”是由的方格构成的，每个方格内均有．数目（个数为1～9）不同的点图，用实心点“●”表示正数，空心点“○”表示负数．每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（   ） A． B． C． D． 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 题型二十一、几何问题(一元一次方程的应用) 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 42．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． (1)若有四张白纸按如图所示方法粘合起来，那粘合后的总长度为______； (2)猜想：张白纸粘合后的总长度为______（用含的代数式表示）； (3)当粘合后的总长度为时，此时用了多少张白纸？ 题型二十二、动点问题（一元一次方程的应用） 43．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）七年级数学兴趣小组在学习完数轴后决定自主开展数轴微项目研究． 探索小球在数轴上的变速运动 素材1 如图，已知点A、B、C、D在数轴上所对应的数分别是、、8、16，有小球在数轴上运动．在A和D处各有一个电子档板，当小球速度小于等于1个单位长度时碰到挡板即刻停止运动，大于1个单位长度原速返回．    素材2 小球P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，同时小球Q从点D出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴负方向运动．从点B到点C为一变速带，当小球从点B上变速带往正方向运动时速度变为原来的两倍并一直保持，当小球返回从点C上变速带往负方向运动时速度变为原来的并一直保持．设运动时间为t． 问题解决 任务1 小球P从点A运动至点C的时间为____秒； 任务2 ①当小球P与Q相遇时，求t的值； ②当小球P与Q的距离时，求t的值； 任务3 在整个运动过程中，小球P在某个时刻满足的值最小时，求此时小球P表示的数．（用含t的代数式表示，可以不化简） 题型二十三、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 45．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ 题型二十四、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 47．某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，小敏家在11月份用电90度，共交电费53元，则 度． 48．（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 题型二十五、行程问题(一元一次方程的应用) 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）A，B两地相距，一列慢车从A地出发，每小时行驶，一列快车从B地出发，每小时行驶，快车提前出发，两车相向而行，则慢车行驶多少小时后，两车相遇？设慢车行驶后，两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 题型二十六、比例分配(一元一次方程的应用) 51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 52．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 题型二十七、日历问题(一元一次方程的应用) 53．（22-23七年级上·浙江台州·期末）将偶数由小到大按顺序排列如图所示，任意选取“”型框中的5个数（如阴影部分所示），则这5个数的和不可能是（    ） A．224 B．354 C．574 D．614 54．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 题型二十八、古代问题(一元一次方程的应用) 55．（22-23七年级上·浙江温州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格中 ， ． 56．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 题型二十九、其他问题(一元一次方程的应用) 57．（25-26七年级上·浙江金华·期中）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 58．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）列式解答下列问题． (1)三个书架共存书5100本．已知甲书架的存书相当于乙书架存书的，丙书架的存书相当于甲书架的．三个书架各存书多少本？（用方程解答） (2)一辆列车通过400米长的隧道用16秒，通过240米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米？ (3)一个装满水的圆柱形容器，高15厘米，底面积是200平方厘米，把一个底面积是180平方厘米，高是2厘米的圆锥形石块浸没水中再取出，再浸没一个底面积为20平方厘米、高5厘米的圆柱形铁块，最终容器中的水高多少厘米？ (4)2025年，小智家搬入了新建的“智慧社区”，总共有1000户．他们小区启用了智能垃圾分类箱．小智家5月份产生垃圾共240千克，通过正确分类：可回收物占25%，厨余垃圾占40%，其他垃圾占35%． 智慧社区针对垃圾分类出台了一套智能系统机制： 环保机制：垃圾正确分类可使垃圾总量减少30%； 奖励机制：每正确投放1千克可回收物，奖励0.5元环保金． ①请问，小智家在正确分类后，垃圾总量可以减少多少千克？ ②小智家6月份可回收物增加了40%，环保金会增加多少元？ ③假设智慧社区每户人家每月产生240千克垃圾，若每吨垃圾的减少可以少砍伐2棵树，那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护多少棵树？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程 章节（13知识点回顾+39题型巩固） 目录 知识梳理 1.方程的概念 2.方程的解 3.用尝试检验的方法求方程的解 4.等式的基本性质 5.一元一次方程 6.一元一次方程的解与解方程 7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 8.移项解一元一次方程 9.去括号解一元一次方程 10.去分母解一元一次方程 11.解一元一次方程的基本程序 12.运用方程解决实际问题的一般过程 13.实际问题中常用的等量关系 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、绝对值方程 十二、利用平方根解方程 十三、已知一元一次方程的解，求参数 十四、一元一次方程解的关系 十五、配套问题(一元一次方程的应用) 十六、工程问题(一元一次方程的应用) 十七、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十八、比赛积分(一元一次方程的应用) 十九、方案选择(一元一次方程的应用) 二十、数字问题(一元一次方程的应用) 二十一、几何问题(一元一次方程的应用) 二十二、动点问题（一元一次方程的应用） 二十三、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 二十四、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十五、行程问题(一元一次方程的应用) 二十六、比例分配(一元一次方程的应用) 二十七、日历问题(一元一次方程的应用) 二十八、古代问题(一元一次方程的应用) 二十九、其他问题(一元一次方程的应用) 知识梳理 知识点1.方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程。 2.方程必须具备两个条件： （1）是等式；（2）含有未知数。两者缺一不可。 知识点2.方程的解 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.检验方程的解的方法：检验一个值是不是方程的解，要把这个值分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时，这个值是方程的解，当左边≠ 右边时，这个值不是方程的解。 知识点3.用尝试检验的方法求方程的解 对于一些较简单的方程，先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。 知识点4.等式的基本性质 内容 字母表示 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 如果a=b ，那么a±c=b±c 。 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 如果a=b ,那么ac=bc ,或=(c≠0) 。 教材延伸 等式的其他性质 （1）等式的对称性：如果a=b，那么b=a 。 （2）等式的传递性：如果a=b，b=c，那么a=c 。 知识点5.一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式， ①未知数不出现在分母上，如等不是整式；②未知数不出现在根号内，如等不是整式 这样的方程叫作一元一次方程。 2.一元一次方程必备的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是一次；③两边都是整式。三者缺一不可。 知识点6.一元一次方程的解与解方程 1.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根 2.解方程：求方程的解的过程称为解方程。 ：方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数。 求方程的解的过程。 联系 方程的解是通过解方程求得的。 知识点7.利用等式的性质解简单的一元一次方程 等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x=a（a 为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。 知识点8.移项解一元一次方程 移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。 移项与加法交换律的区别 移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号。 注意： 移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的左边，将常数项（不含未知数的项）移到方程的右边，将方程化成ax=b(a≠0) 的形式。 知识点9.去括号解一元一次方程 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 知识点10.去分母解一元一次方程 去分母的步骤： 注意： （1）不要漏乘不含分母的项（每项都乘）；（2）由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母后，要将分子作为一个整体加上括号。 知识点11.解一元一次方程的基本程序 解一元一次方程的基本程序如下表： 变形名称 变形依据 具体做法 易错点 去分母 等式的性质2 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数。 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号。 去括号 分配律、去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）。 （1）不要漏乘括号里的任何一项； （2）若括号前是负号，则去括号后，括号内各项都要变号。 移项 等式的性质1 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。 移项要改变项的符号。 合并同类项 合并同类项法则 把方程化成 ax=b(a，b 为常数，且a≠0) 的形式。 系数相加，字母及其指数均不变。 两边同除以未知数的系数 等式的性质2 方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解x= （1）切忌分子、分母位置颠倒； （2）不要忘记未知数系数的符号。 知识点12.运用方程解决实际问题的一般过程 （1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 （2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示。 （3）列方程：根据相等关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 （1）设未知数时，如果有单位，要加上单位； （2）列方程时，等号两边量的单位要一致。 知识点13.实际问题中常用的等量关系 涉及公式 等量关系 注意事项 行程 问题 相遇问题 路程= 速度×时间； 甲的行程+乙的行程= 两地间的距离。 注意始发时间和地点。 追及问题 时间=； （1）同地不同时出发，前者行程= 追及者的行程； （2）同时不同地出发，前者行程+初始距离= 追及者的行程。 航行、飞 行问题 速度= 。 （1）顺水（顺风）速度=静水（无风）速度+ 水流速度（风速）； （2）逆水（逆风）速度= 静水（无风）速度-水流速度（风速）。 注意题中是顺水（顺风） 还是逆水（逆风）。 和差倍分问题 增长量= 原有量×增长率； 现有量=原有量+增长量。 弄清“倍、分”关系及“多、少”关系。 等积变形问题 长方体的体积= 长×宽×高； 圆柱的体积= 底面积×高。 （1）面积变了，周长没变； （2）原料体积= 成品体积。 分清是“形”变“积”不变，还是“形”变“积”也变，但质量不变。 调配问题 甲处人（物）数+ 乙处人（物）数= 总人（物）数。 注意调配的方向和数量。 工程问题 工作量= 工作时间 ×工作效率。 合作效率= 各单独做的效率和； 总工作量= 各部分工作量之和。 一般情况下把总 工作量设为“1”。 储蓄问题 本金×利率×存期= 利息。 注意题中利率和存期要 对应。 销售问题 售价=标价× ；售价-进价= 利润； 利润率=（售价-进价）÷ 进价×100% 。 打几折后的价格就是标 价乘十分之几或百分之 几十。 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 2．下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 题型二、列方程 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意得：调往乙处人， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 题型三、判断是否是方程的解 5．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验下列括号中的数是不是方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解 (2)是方程的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义（能满足方程成立的未知数的值，叫做方程的解）． （1）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． （2）把括号中的数分别代入方程左边和右边，根据方程的解的定义即可判断． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边＝12， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 题型四、已知方程的解，求参数 7．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】将代入方程得： ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型五、等式的性质 9．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，即：；等式成立，符合题意； B、，则：，原等式不成立，不符合题意； C、，则：，原等式不成立，不符合题意； D、，则：，即，原等式不成立，不符合题意； 故选A 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1、等式的性质2 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 题型六、判断是否是一元一次方程 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．若关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 4或 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不为零，因此需满足且． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：或， 故答案为：4或． 题型七、判断是否是一元一次方程解 13．写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 当时，， ∴是方程的解； 故答案为：（答案不唯一） 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【答案】(1)不是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论； （2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； （2）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了相反数的定义和代数式求值，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； 根据相反数的定义求出m的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为整数的集合满足：当整数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如，就是一个黄金集合． (1)集合______黄金集合，集合______黄金集合；（填“是”或“不是”） (2)若集合是一个黄金集合，则______； (3)若一个黄金集合中最大的一个元素为111，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由． (4)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且，则该黄金集合中共有______个元素． 【答案】(1)不是，是． (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题在新定义的背景下，考查了有理数以及探究性问题，关键是明确什么是黄金集合，并根据定义解决问题． （1）根据定义验证，即可求解． （2）根据题意可得，进而求得； （3）中的值越大，则的值就越小，进而求得； （4）由黄金集合的定义可知，当黄金集合中存在一个元素为x时，必存在另一个元素为，得出黄金集合中元素的个数一定是成对出现，设，根据得出，则该黄金集合中共有元素为个． 【详解】（1），而不属于集合， 集合不是黄金集合； ，， ∴集合是黄金集合； 故答案为：不是，是． （2）解：∵集合是一个黄金集合， ∵，， ∴不能是， ∴或 ∴； 故答案为：． （3）一个黄金集合中最大的一个元素为时，则该集合存在最小的元素是理由如下： 中的值越大，则的值就越小， 当一个黄金集合中最大的一个元素为时，则该集合存在最小的元素是 （4）由黄金集合的定义可知，当黄金集合中存在一个元素为x时，必存在另一个元素为， ∴黄金集合中元素的个数一定成对出现， ∵， ∴， ∵为整数，且，而，， ∴， ∴该黄金集合中共有元素：(个)． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 17．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）解方程，去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了去括号； 根据“括号前面是正因数，去掉括号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号，括号里的每一项都变号”，可得答案． 【详解】解：解方程，去括号正确的是， 故选：C． 18．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知，求的最大值和最小值．   【答案】的最大值为2，最小值为 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了绝对值的性质，解方程等知识，根据绝对值的性质化简方程，然后解方程即可得出答案． 【详解】解∶当时，，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∴， 即此时x为任意数； 当时，，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴x的取值范围为， ∴的最大值为2，最小值为． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 19．（24-25七年级·浙江绍兴·期末）将关于x的方程去分母后可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解分式方程，注意不要漏乘 ． 将分式方程两边乘以最简公分母，消去分母转化为整式方程．注意处理分母的符号及常数项的运算． 【详解】原方程为， 方程变为， 两边同乘最简公分母，得：， 得到， 故选：D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，由此可知a的值为 ，原方程的正确解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为：，． 题型十一、绝对值方程 21．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（　　） A．3 B． C．1或 D．3或 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解法，掌握解法是解题的关键． 22．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 题型十二、利用平方根解方程 23．（22-23七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和3，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】根据一个正数的两个不相等的平方根之和为零计算即可． 【详解】由题意可知， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 24．求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）两边都除以，再根据平方根的定义求解可得； （2）先根据平方根的定义得出的值，再解方程可得． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查的是利用平方根解方程，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型十三、已知一元一次方程的解，求参数 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程求得，再整体代入方程，据此计算即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴方程为， ∵， ∴， 故选：B． 26．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 题型十四、一元一次方程解的关系 27．（24-25七年级上·浙江·假期作业）多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键； 观察表格看取何值时，多项式和对应的值相等即可． 【详解】解：由题意知，当时，和的值相等，都是， 关于的方程的解是； 故选：A． 28．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，进而得到求解，即可解题． 【详解】解：，解为， ， ， ， 即， 有， 解得， 故答案为：． 题型十五、配套问题(一元一次方程的应用) 29．（22-23七年级上·浙江台州·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，假设安排名工人生产螺柱，使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设安排名工人生产螺柱，使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，根据螺母的个数是螺柱的2倍，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】设安排名工人生产螺柱，则安排名工人生产螺母，根据题意得，， 故选：D． 30．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意列方程并解方程即可解决，设用x块木料生产桌子，根据使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）列方程解决即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子． 由题意得：． ． ． ． 答：用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子． 题型十六、工程问题(一元一次方程的应用) 31．（2023七年级上·浙江·专题练习）乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需（　　）个月． A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设还需要x天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×时间+甲队先做5天的工作量=1，由此可列出方程求解． 【详解】解：∵若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成， ∴甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为， 设完成这项工程共需x个月， 根据题意得：， 解得：， ∴完成这项工程共需4个月． 故选：B． 32．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）某工程队承包了一项目，现提供两种施工方案：①所有员工同时施工，计划24天完成：②将所有员工平均分成若干组施工队，分阶段投入施工，即第1组先施工，每隔天（为之间的整数，不包括5和10），增加一组员工，且每组员工从加入开始至完工结束全程参与施工．该工程队按照方案②进行施工，完工后发现最后一组员工的施工时间恰好为第一组的．（说明：无论采用何种方案，所有员工的施工速度都相等，且保持不变） (1)求第一组施工队员的工作时间． (2)已知这若干组施工队每组5人，则该工程队共有多少人？ 【答案】(1)第一组施工队员的工作时间为44天 (2)该工程队共有30人 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设最后一组施工队的工作时间为天，则第一组的工作时间为天，根据题意，得到所有员工的平均施工时间为天，列出方程进行求解即可； （2）平均分成组施工队，则第一组比最后一组多工作天，求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设最后一组施工队的工作时间为天，则第一组的工作时间为天， ∵中间都是相隔天， ∴所有员工的平均施工时间为， 解得． 答：第一组施工队员的工作时间为44天． （2）设平均分成组施工队，则第一组比最后一组多工作天， 因为为之间的整数，不包括5和为正整数， 所以， （人）； 答：该工程队共有30人． 题型十七、销售盈亏(一元一次方程的应用) 33．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一件衣服的进价为399元，标价为600元，按标价打折销售后，获得的毛利润．这件衣服是打几折销售的？若设这件衣服销售时的折扣率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据利润等于售价减进价，折扣价等于售价乘以折扣，毛利润等于售价乘以利润率，列出方程即可． 【详解】解：设这件衣服销售时的折扣率为x，由题意，得：； 故选D． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是解题题意，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设园园购买商品原总价为x元，圆圆一次性购买500多元的某些商品， 所以时，，解得，， 当时，，解得，， （元）， 故答案为：，． 题型十八、比赛积分(一元一次方程的应用) 35．（23-24七年级上·浙江台州·期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ． 【答案】17 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设答对的题数为，根据小明的总分为82分列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：17． 36．（24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【答案】(1)5 (2)小红答对了15道题 (3)小明得分为60分是不可能的，见解析 【知识点】有理数除法的应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，即可求出结论； （2）利用答错一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答错一题的得分，设小红答对了道题，则答错了道题，根据小红的得分是70分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题，根据小明的得分是60分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即小明的得分不可能是60分． 【详解】（1）解：根据题意得：这次竞赛中答对一题得（分． 故答案为：5； （2）解：这次竞赛中答错一题得（分， 设小红答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：小红答对了15道题； （3）解：不可能，理由如下： 假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得得：， 解得：， 又需为整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立， 即小明的得分不可能是60分． 题型十九、方案选择(一元一次方程的应用) 37．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 题型二十、数字问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我国古代的“河图”是由的方格构成的，每个方格内均有．数目（个数为1～9）不同的点图，用实心点“●”表示正数，空心点“○”表示负数．每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设表示的点数为，左下角的点数为，根据河图的每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设表示的点数为，左下角的点数为， ∴， 解得：， 即：P处所对应的点图是4个“○”； 故选A． 40．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 【答案】这个两位数是45 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程． 首先设十位数字为x，则个位数字为，根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为，这个两位数是，再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，可得方程，解方程可得x的值，进而得到答案． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，由题意得： ， 解得， 故十位数字为4，个位数字为5，这个两位数字是45， 答：这个两位数是45． 题型二十一、几何问题(一元一次方程的应用) 41．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 【答案】3 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小长方形的长为y，宽为x，根据大长方形的宽，，求出，然后根据阴影部分的周长是16，得出关于x的方程，解方程求出x，然后根据阴影部分的周长是22，得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，设小长方形的长为y，宽为x， 根据图形发现： ∴， ∵阴影部分的周长是16， ∴， 解得， ∴， ∴大长方形的长为， ∵阴影部分的周长是22， ∴ 解得， ∴， ∴长方形的面积是， 故答案为：3． 42．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． (1)若有四张白纸按如图所示方法粘合起来，那粘合后的总长度为______； (2)猜想：张白纸粘合后的总长度为______（用含的代数式表示）； (3)当粘合后的总长度为时，此时用了多少张白纸？ 【答案】(1)145 (2) (3)用了58张白纸 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）用总长度减去粘合部分的长度，列式计算即可； （2）用总长度减去粘合部分的长度，列出代数式即可； （3）根据（2）中的结果，列出方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：145； （2）； 故答案为：； （3）当时，解得； 答：用了58张白纸． 题型二十二、动点问题（一元一次方程的应用） 43．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；先求解，，再分两种情况：当时，，，当时，结合对应的数为，，，再结合建立方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是和6， ∴，，， 设运动时间为t，则对应的数为，对应的数为， 当，则， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当时， ∴对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案是：或． 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）七年级数学兴趣小组在学习完数轴后决定自主开展数轴微项目研究． 探索小球在数轴上的变速运动 素材1 如图，已知点A、B、C、D在数轴上所对应的数分别是、、8、16，有小球在数轴上运动．在A和D处各有一个电子档板，当小球速度小于等于1个单位长度时碰到挡板即刻停止运动，大于1个单位长度原速返回．    素材2 小球P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，同时小球Q从点D出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴负方向运动．从点B到点C为一变速带，当小球从点B上变速带往正方向运动时速度变为原来的两倍并一直保持，当小球返回从点C上变速带往负方向运动时速度变为原来的并一直保持．设运动时间为t． 问题解决 任务1 小球P从点A运动至点C的时间为____秒； 任务2 ①当小球P与Q相遇时，求t的值； ②当小球P与Q的距离时，求t的值； 任务3 在整个运动过程中，小球P在某个时刻满足的值最小时，求此时小球P表示的数．（用含t的代数式表示，可以不化简） 【答案】任务1：；任务2：①②或；任务3：或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和一元一次方程，是解题的关键： 任务1：用点运动到点的时间加上从点运动到点的时间，即可得出结果； 任务2：①由题意，易得相遇时，P与Q在上，求出此时点表示的数，列出方程进行求解即可；②分在点的右侧2个单位长度和在点的左侧2个单位长度时，两种情况进行讨论求解即可； 任务3：根据题意，得到当点在上运动时，的值最小，分4种情况，表示出点表示的数即可． 【详解】解：任务1：由题意，， ∴点经过秒到达点，此时点的速度变为，再经过秒，到达点， ∴小球P从点A运动至点C的时间为秒； 故答案为：5； 任务2：①由题意，点到达点所需时间为秒，此时点的速度变为， 故当点相遇时，点都在上， 此时点表示的数为，点表示的数为， ∴当点相遇时，， ∴； ②当在点的右侧2个单位长度时：，解得； 当在点的左侧2个单位长度时：，解得； 任务3：当点在上时，的值最小； 当任务1可知，当时，点第一次在上，此时点表示的数为； 当点从点到达点再返回点时，所用时间为秒，即第9秒时，点返回到点，此时速度变为， 从点到达点所用时间为秒， ∴当时，点第二次在上运动，此时点表示的数为； ∴当点从点达到点再返回点时，所用时间为秒，此时点的速度变为，从点到达点所用时间为秒， ∴当，即时，点第三次在上运动，此时点表示的数为； 当点从点到达点再返回点时，所用时间为秒，此时点速度变为， 从点到达点所用时间为秒， ∴当，即时，点第四次在上运动，此时点表示的数为； 综上：点表示的数为：或或或． 题型二十三、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 45．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页，再根据“小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页”，列方程求解即可． 【详解】解：设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页， 由题意可知，， 故选：A． 46．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ 【答案】竹竿有3米长，水深为米 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．没竹竿有x米，根据竹竿入泥部分+淤泥以上的入水部分+露出水面部分列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米，则淤泥以上的入水部分为米， 由题意可得：， 解得， 则， 答：竹竿有3米，则水深为米． 题型二十四、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 47．某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，小敏家在11月份用电90度，共交电费53元，则 度． 【答案】40 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查考查一元一次方程的实际应用，根据11月份用电90度，共交电费53元，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】试题解析：由，可知小敏家在11月份用电90度，超过基本用电量， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：40． 48．（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）充分运用分类讨论思想． 题型二十五、行程问题(一元一次方程的应用) 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）A，B两地相距，一列慢车从A地出发，每小时行驶，一列快车从B地出发，每小时行驶，快车提前出发，两车相向而行，则慢车行驶多少小时后，两车相遇？设慢车行驶后，两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，根据路程、速度和时间之间的关系，准确找出等量关系是解题的关键； 由快车提前出发可知两车相遇时，快车比慢车多走了小时，若设相遇时慢车行驶了x小时，则快车行驶了小时；根据相遇时，慢车行驶的路程快车行驶的路程可列出方程. 【详解】解：∵一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米， ∴慢车行驶x小时行驶的路程为千米， ∵一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前20分钟出发， ∴慢车行驶x小时则快车行驶的路程为千米， ∵慢车行驶x小时后两车相遇， ∴， 故选：D． 50．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 【答案】(1)两车行驶了小时相遇 (2)小时快车追上慢车 (3)或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设小时快车追上慢车，快车比慢车多行驶建立方程求解； （3）设慢车行驶小时两车相遇，分两种情况讨论：两车相遇前；两车相遇后；建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶了小时相遇，根据题意，得 ， 解得：， 答：两车行驶了小时相遇； （2）解：设两车行驶了小时快车追上慢车，根据题意，得 ， 解得：， 答：小时快车追上慢车； （3）解：设经过后两车相距，分两种情况讨论： 两车相遇前，由题意， 得， 解得：， 两车相遇后，由题意， 得， 解得， 答：或后两车相距． 题型二十六、比例分配(一元一次方程的应用) 51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 52．甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 题型二十七、日历问题(一元一次方程的应用) 53．（22-23七年级上·浙江台州·期末）将偶数由小到大按顺序排列如图所示，任意选取“”型框中的5个数（如阴影部分所示），则这5个数的和不可能是（    ） A．224 B．354 C．574 D．614 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设第一个数为，则其他数字为：，，，，根据题意列出方程，解方程分别讨论．根据108在表中的第6列，即可求解． 【详解】解：设第一个数为，则其他数字为：，，，， ，解得：，在第1列，则这5个数的和可以为224； ，解得：，在第2列，则这5个数的和可以为354； ，解得：，在第4列，则这5个数的和可以为614； ，解得：． 又108在表中的第列， 这5个数的和不可能是． 故选：C． 54．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，，理由见解析 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列代数式及找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和； （2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，， “”型框中的5个数的和为； （2）解：能，理由如下 根据题意得：， 解得：， ，， 在第6列，符合题意， “”型框中的5个数的和能等于758，的值为140． 题型二十八、古代问题(一元一次方程的应用) 55．（22-23七年级上·浙江温州·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格中 ， ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：如图． 由题意可得，， 解得， 又， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，设出参数找到等量关系列出方程是解题的关键． 56．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 题型二十九、其他问题(一元一次方程的应用) 57．（25-26七年级上·浙江金华·期中）李老师有一包糖果，若分给n个学生，则每个学生分x颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，则x的值可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了含参一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据若分给个学生，则每个学生分颗；若分给个学生，则每个学生分4颗，还剩2颗，列出方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 的值为1，2，17，34， 当时，, 当时，； 当时，； 当时，； 选项中只有选项A中的符合条件， 故选：A． 58．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）列式解答下列问题． (1)三个书架共存书5100本．已知甲书架的存书相当于乙书架存书的，丙书架的存书相当于甲书架的．三个书架各存书多少本？（用方程解答） (2)一辆列车通过400米长的隧道用16秒，通过240米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米？ (3)一个装满水的圆柱形容器，高15厘米，底面积是200平方厘米，把一个底面积是180平方厘米，高是2厘米的圆锥形石块浸没水中再取出，再浸没一个底面积为20平方厘米、高5厘米的圆柱形铁块，最终容器中的水高多少厘米？ (4)2025年，小智家搬入了新建的“智慧社区”，总共有1000户．他们小区启用了智能垃圾分类箱．小智家5月份产生垃圾共240千克，通过正确分类：可回收物占25%，厨余垃圾占40%，其他垃圾占35%． 智慧社区针对垃圾分类出台了一套智能系统机制： 环保机制：垃圾正确分类可使垃圾总量减少30%； 奖励机制：每正确投放1千克可回收物，奖励0.5元环保金． ①请问，小智家在正确分类后，垃圾总量可以减少多少千克？ ②小智家6月份可回收物增加了40%，环保金会增加多少元？ ③假设智慧社区每户人家每月产生240千克垃圾，若每吨垃圾的减少可以少砍伐2棵树，那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护多少棵树？ 【答案】(1)甲：2000本，乙：1500本，丙：1600本 (2)240米 (3)14.9厘米 (4)①72千克；②12元；③1728棵 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，实际问题的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设乙书架存书x本，利用甲，乙，丙的关系表示出甲，丙的存书量，即可列方程解答； （2）设这辆列车的车身长是y米，根据列车两次行驶的速度相同，即可列方程解答； （3）先计算圆锥石块排开的水体积（即圆锥体积），得出取出后水位下降高度；再计算圆柱铁块排开的水体积（即圆柱体积），得出浸没后水位上升高度，最终水高为原高减去下降高度加上升高度． （4）①直接计算垃圾总量的；②先求6月可回收物量（原可回收物的），再乘以每千克奖励金额；③先求每户每月减少的垃圾量（转换为吨），再计算每户每年保护树木量，最后乘以总户数和年数． 【详解】（1）解：设乙书架存书x本，依题意，得 解得， ∴（本），（本）． 答：甲书架存书2000本，乙书架存书1500本，丙书架存书1600本． （2）设这辆列车的车身长是y米，依题意，得 ， 解得． 答：这辆列车的车身长是240米． （3）圆锥形石块体积为（立方厘米）， 取出后水位下降高度为（厘米）， 此时水高为（厘米）， 圆柱形铁块体积为（立方厘米）， 浸没后水位上升高度为（厘米）， ∴最终水位为（厘米）． （4）①（千克）， 答：垃圾总量可以减少72千克． ②（千克）， （元）． 答：环保金会增加12元． ③（千克）， 72千克吨，（棵）， （棵）． 答：那么一年下来，智慧社区通过垃圾分类可以保护1728棵树. 学科网（北京）股份有限公司 $