专题02 一元一次方程应用（十六大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题02 一元一次方程应用（十六大题型） 【题型1 几何问题】.......................................................................1 【题型2 配套问题】.......................................................................3 【题型3 调配问题】.......................................................................5 【题型4 利润问题】.......................................................................6 【题型5 行程问题】.......................................................................9 【题型6 工程问题】.......................................................................10 【题型7 古代算术问题】...................................................................12 【题型8储蓄、利息问题】..................................................................13 【题型9比赛积分问题】....................................................................14 【题型10数字问题】.......................................................................17 【题型11年龄问题】.......................................................................18 【题型12幻方问题】.......................................................................19 【题型13日历问题】.......................................................................21 【题型14分段计费问题】...................................................................24 【题型15方案选择问题】....................................................................26 【题型16数轴动点问题】...................................................................28 【题型一 几何问题】 1．将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 2．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    3．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 4．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 5．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 6．如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 7．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 【题型二 配套问题】 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 3．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 5．初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 6．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【题型三 调配问题】 1．为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 2．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节，俗称新春，新年，新岁，岁旦，年禧，大年等，口头上又称度岁，庆岁，过年，过大年，春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某市从A，B两地向甲，乙两个蔬菜市场运送蔬菜，A，B两地各有蔬菜14吨，甲，乙两个蔬菜市场分别需要蔬菜15吨和13吨．已知从A，B两地到甲，乙两个蔬菜市场的运输价格如下表：      甲，乙蔬菜市场A，B两地 甲蔬菜市场（元/吨） 乙蔬菜市场（元/吨） A地 50 30 B地 60 45 若从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨． (1)用含x的代数式分别表示从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数和从B地运到乙蔬菜市场的运输费用； (2)求把全部蔬菜从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用（用含x的代数式表示）； (3)当总运输费用为1305元时，蔬菜该如何运输调配． 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，应从乙处调配多少人去甲处支援？ 4．为了响应国家“节能减排，绿色出行”号召，昌平区多个地点安放了共享单车，供行人使用．已知甲站点安放共享单车79辆，乙站点安放共享单车50辆．通过调查发现，甲站点人流量较大，共享单车的需求量较高，因此要对两个站点的共享单车数量进行调整．为了使甲站点的共享单车数量是乙站点的2倍，需要从乙站点调配多少辆共享单车到甲站点? 5．2010年1月1日，全球第三大自贸区（中国-东盟自由贸易区）正式成立，标志着该贸易区开始步入“零关税”时代．广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的、两地，现用甲、乙两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知甲种货车的载重量为15吨/辆，乙种货车的载重量为10吨/辆． （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）已知运往地的运费为：甲种货车630元/辆，乙种货车420元/辆；运往地的运费为：甲种货车750元/辆，乙种货车550元/辆．如果安排10辆货车前往地，其余货车前往地，总运费为11330元，请你设计出这两种货车的调配方案． 【题型四 利润问题】 1．文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 2．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 3.（商品问题）成本为0.25元的练习本1200本按的利润定价出售，结果只卖掉，剩下的练习本打折出售，这样所获得的全部利润是预定利润的．问剩下的练习本出售时是按定价打了几折？ 4．永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 5．某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 6．A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 (1)小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ (2)一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【题型五 行程问题】 1．甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 2．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 3．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，于两地之间的C地相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．则A、B两地相距多少米？ 5．一段公路，甲车行完全程需要小时，乙车行完全程需要小时．两车同时从两地出发，相向而行，途中甲车因故停留了若干小时，两车先后用了8小时相遇．问甲车途中停了多少小时？ 6．随着全球贸易的不断增长，传统的苏伊士运河、巴拿马运河等航道面临着日益严重的拥堵问题，通航效率降低．同时，这些航道途经的一些地区政治局势不稳定，给航运安全带来了巨大威胁．而北极航道作为连接北大西洋和北太平洋的新航线，可避开这些高风险区域，且能缩短航程．“雪龙号”是中国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船，若破冰船在无冰区顺流速度为千米/时，水流速度为千米/时． (1)求破冰船在无冰区的逆流速度． (2)若破冰船在冰区顺流、逆流速度均会降低千米/时，请用含有字母的代数式分别表示破冰船在冰区的顺流速度和逆流速度． (3)若A、B两个极地港口相距千米（其中无冰区千米，冰区千米），当时，求破冰船从A到B（顺流）再返回A（逆流）的总时间． 7．甲、乙两个车站相距千米，一列快车从甲站开出，每小时行驶千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶千米． (1)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距千米？ 【题型六 工程问题】 1．师、徒两人同时加工一种零件，师傅小时加工个，徒弟两小时加工个．如果要加工个零件，师、徒两人共同完成，需要多少小时完成任务？ 2．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 3．渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 4．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 5．现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． (1)甲乙合作几天完成？ (2)列方程解决问题：求甲做一天需要的报酬． 6．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 【题型七 古代算术问题】 1．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 2《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 3．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 5．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 6.古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【题型八 储蓄、利息问题】 1．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 2．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 3．1年定期储蓄年利率为， 所得利息要交纳利息税，老刘有一笔1年期定期储蓄， 到期纳税后得利息396元， 问老刘有多少本金？ 4．一年前，小芳的妈妈为小芳存了一份年利率为的教育储蓄，现在到期了，她取出的利息恰好购买一台学习机，已知学习机每台216元，问：一年前小芳的妈妈存入银行多少钱？ 5．小明爷爷将一笔钱存了两年期定期储蓄，假设年利率为，两年到期后．若需扣除利息税．所得利息正好为小明买一个价值元的复读机，小明爷爷原来存了多少元？ 【题型九 比赛积分问题】 1．爷爷与孙子下棋，爷爷赢盘记分，孙子赢盘记分，下了盘后，两人得分相等（无平局），他们各赢了多少盘？  （请用一元一次方程求解） 2．我县举办“庆元旦”篮球赛，各球队积分榜如下表： 队名 比赛场次 胜 负 积分 前进 10 8 2 18 光明 10 6 4 16 蓝天 10 5 5 15 远大 10 3 7 13 卫星 10 0 10 10 地球 10 4 6 14 (1)从表中信息知，胜一场得_____分，负一场得_____分； (2)用代数式表示一只球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系； (3)若某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍，请求出是哪一队？ 3．某学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 (1)如上表，记录了A，B两个参赛者的得分情况，依据表中信息可得：每答对一题得_____分，每答错一题扣_____分； (2)若参赛者得分为65分，求他答对了几道题． 4．如表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积________分，负一场积________分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共17轮（每个球队各有17场比赛），D队希望最终积分达到30分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 5．在传统文化知识小组积分竞赛中，每场比赛都要分出胜负.每胜1场得2分，负1场得1分.其中有一位选手进行了12场比赛，总积分为21分，那么这位选手胜，负场数分别是多少? 6．学校组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 20 5 70 D 18 7 58 E 15 10 40 (1)每答对1道题得___________分，每答错1道题扣__________分． (2)同学F得76分，他答对几道题？ (3)同学G说他得了81分，你认为可能吗？为什么？ 【题型十 数字问题】 1．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 2．观察下列三列数： 、、、+、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第个数是_________，第②行第个数是___________； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 3．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 4．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 5．有一个两位数，两个数位上的数字和是8，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得到的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数．（用方程解决） 【题型十一 年龄问题】 1．父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 2．兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 3．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁．若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的年龄缩小到原来的，则三人岁数相等．丙的年龄是多少岁？ 4.爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 【题型十二 幻方问题] 1．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 3.（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 4．主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【题型十三 日历问题】 1．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 2．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 3．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 4．阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 5．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． (1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． (2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号） (3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【题型十四 分段计费问题】 1．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 2．为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： ××居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？ (3)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量． 3．某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元，某乘客出租车x千米． (1)如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？ (2)如果该乘客付费26.2元，他坐了多少千米？ 4.某市出租车收费标准如下表所示，根据此收费标准，解决下列问题： 行驶路程 收费标准 不超出的部分 起步价8元 超出的部分 2.5元／ (1)若行驶路程为，则打车费用为多少元？ (2)若行驶路程为，则打车费用为多少元？（用含x的代数式表示）； (3)某同学周末放学回家，已知打车费用为33元，则他家离学校多少千米？ 【题型十五 方案选择问题】 1．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 2．因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 3．企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 4【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 5．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：6人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是80时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 【题型十六 数轴动点问题】 1．在数轴上所对应的数分别为，，1，3.5． (1)C，D两点间的距离___________；B，C两点间的距离___________． (2)数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离为___________； (3)若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问： ①经过多长时间两点重合？ ②经过多长时间两点之间的距离为1？ 2．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)2秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)求运动几秒后，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)在、运动过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，求出运动时间，并求出此时点表示的数． 3．如图，已知数轴上原点为，点A表示的数为，B在A的右边，且与的距离是10．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数是______，点表示的数是______，点与点之间的距离是______； (2)点表示的数是______（用含的代数式表示），点表示的数是______（用含的代数式表示）； (3)点与点在点处相遇，如果数轴可以折叠，以数轴上点为折点，将数轴对折，使得B与A重合，求点到点的距离的值． (4)当点到点的距离等于点到点距离2倍时，直接写出此时的值． 4．如图，点A，B在数轴上表示的数分别为与4，若数轴上A，B两点之间存在点C，使得． (1)点C所表示的数为______． (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当时，求t的值． 5．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点P表示的数是p． (1)直接写出 ， ， （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数； (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程应用（十六大题型） 【题型1 几何问题】.......................................................................1 【题型2 配套问题】.......................................................................6 【题型3 调配问题】.......................................................................9 【题型4 利润问题】.......................................................................12 【题型5 行程问题】.......................................................................17 【题型6 工程问题】.......................................................................20 【题型7 古代算术问题】...................................................................24 【题型8储蓄、利息问题】..................................................................26 【题型9比赛积分问题】....................................................................27 【题型10数字问题】.......................................................................32 【题型11年龄问题】.......................................................................35 【题型12幻方问题】.......................................................................36 【题型13日历问题】.......................................................................42 【题型14分段计费问题】...................................................................48 【题型15方案选择问题】....................................................................51 【题型16数轴动点问题】...................................................................55 【题型一 几何问题】 1．将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：， ， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 2．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 3．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 4．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 5．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、列出方程并正确求解是解题的关键；设正方形的边长为，则可分别表示两次剪下的长条的面积，根据第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，列出方程并求解，再用正方形面积减去再次剪下的长条面积即可求得剪下两次后剩下的图形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，则第一次剪下长条面积为，第二次剪下长条面积为， 由题意得：， 解得：； 剪下两次后剩下的图形的面积为． 答：剪下两次后剩下的图形的面积为． 6．如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 【答案】原正方形的面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原正方形的边长为，根据第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，列一元一次方程，解方程求出边长，进而求出正方形的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为， 则， 解得：， 故原正方形的面积为． 答：原正方形的面积为． 7．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 【答案】(1)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 (2)平方米 (3)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宽为x米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （2）设正方形的边长为m米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （3）设宽为a米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设宽为x米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米； （2）解：设正方形的边长为m米，根据题意得： ， 解得：， ， 答：此正方形窗子的透光面积为平方米； （3）解：设宽为a米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米． 【题型二 配套问题】 1．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人 (2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数女生人数”列出方程并解答； （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【答案】应安排人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆，利用生产螺母的总数量是生产螺杆总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆， 根据题意得：， 解得：． 答：应安排人生产螺母． 3．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 【答案】(1)安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； (2)4000个 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． （1）设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，根据题意，列出方程，解出方程，即可． （2）根据（1）中求出的生产口罩面的工人数，计算出每天生产口罩面的数量，也就是每天生产口罩的数量． 【详解】（1）解：设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，由题意则有： 解得：． 答：安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； （2）解：由（1）知，生产口罩面的工人有10名，每人每天生产400个口罩面，那么每天生产口罩面的数量为个， 因为一个口罩面对应一个口罩， 所以每天共生产4000个口罩． 答：在（1）的条件下每天共生产了4000个口罩． 4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)24 (2)32 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设有人生产A型部件，有 人生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； （2）设安排 个人生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设有人生产A型部件，有 人生产B型部件； 根据题意：得 解得： 所以（套） 答：按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成24套该产品. （2）解：设安排个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件； 根据题意：得 解得： ∴（套） 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品. 5．初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得： ， 解得：， 人 答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套． 6．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【答案】用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：， 解得：． 答：用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 【题型三 调配问题】 1．为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 【答案】298名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设该校七年级共有x名学生，根据若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校七年级共有x名学生，根据题意得， 解得． 答：设该校七年级共有298名学生． 2．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节，俗称新春，新年，新岁，岁旦，年禧，大年等，口头上又称度岁，庆岁，过年，过大年，春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某市从A，B两地向甲，乙两个蔬菜市场运送蔬菜，A，B两地各有蔬菜14吨，甲，乙两个蔬菜市场分别需要蔬菜15吨和13吨．已知从A，B两地到甲，乙两个蔬菜市场的运输价格如下表：      甲，乙蔬菜市场A，B两地 甲蔬菜市场（元/吨） 乙蔬菜市场（元/吨） A地 50 30 B地 60 45 若从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨． (1)用含x的代数式分别表示从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数和从B地运到乙蔬菜市场的运输费用； (2)求把全部蔬菜从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用（用含x的代数式表示）； (3)当总运输费用为1305元时，蔬菜该如何运输调配． 【答案】(1)从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，从B地运到乙蔬菜市场的运输费用为元 (2)元 (3)方案见解析 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用，依据题意，正确列出各代数式是解题关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨，则从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，从B地运到甲蔬菜市场的蔬菜为吨，则从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，分别乘上运输费用相加即可； （3）结合（2）的结果，根据总运输费用为1305元可建立一个关于x的一元一次方程，再解方程即可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数为：（吨）， 从B地运到乙蔬菜市场的运输费用为：（元）； （2）解：由题意，得蔬菜全部从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用为： 所以，蔬菜全部从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用为元． （3）（3）由题意，得， 解得， 所以，当总运输费用为1305元时，蔬菜的运输调配方案如下： 从A地运送蔬菜到甲蔬菜市场：6吨； 从A地运送蔬菜到乙蔬菜市场：（吨）； 从B地运送蔬菜到甲蔬菜市场：（吨）； 从B地运送蔬菜到乙蔬菜市场：（吨）． 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，应从乙处调配多少人去甲处支援？ 【答案】应从乙处调配9人去甲处支援 【分析】根据从乙处调配人去甲处支援，则甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，列出等量关系，解出，即可． 【详解】从乙处调配人去甲处支援， ∴ 解得：． 答：应从乙处调配9人去甲处支援． 【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程． 4．为了响应国家“节能减排，绿色出行”号召，昌平区多个地点安放了共享单车，供行人使用．已知甲站点安放共享单车79辆，乙站点安放共享单车50辆．通过调查发现，甲站点人流量较大，共享单车的需求量较高，因此要对两个站点的共享单车数量进行调整．为了使甲站点的共享单车数量是乙站点的2倍，需要从乙站点调配多少辆共享单车到甲站点? 【答案】7 【分析】设需要从乙站点调配辆共享单车到甲站点,根据“甲站点的共享单车数量是乙站点的2倍”，建立一元一次方程，解方程即可 【详解】解：设要从乙站点调配辆共享单车到甲站点,根据题意得， 解得 答：需要从乙站点调配7辆共享单车到甲站点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 5．2010年1月1日，全球第三大自贸区（中国-东盟自由贸易区）正式成立，标志着该贸易区开始步入“零关税”时代．广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的、两地，现用甲、乙两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知甲种货车的载重量为15吨/辆，乙种货车的载重量为10吨/辆． （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）已知运往地的运费为：甲种货车630元/辆，乙种货车420元/辆；运往地的运费为：甲种货车750元/辆，乙种货车550元/辆．如果安排10辆货车前往地，其余货车前往地，总运费为11330元，请你设计出这两种货车的调配方案． 【答案】（1）甲种货车用8辆，乙种货车用12辆；（2）安排甲种货车3辆和乙种货车7辆前往地，安排甲种货车5辆和乙种货车5辆前往地 【分析】（1）设甲种货车用辆，则乙种货车用辆．根据等量关系甲车所运货物数量+乙车所运货物数量=240吨，列出方程，解方程即可；     （2）设调往地的甲种货车为辆，则乙种货车为辆；调往地的甲种货车为辆，则乙种货车为辆，A地甲乙两种车费用+B地甲乙两种车费用的和=11330，列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设甲种货车用辆，则乙种货车用辆． 根据题意，得，     解这个方程得， 经检验是原方程的根， 所以（辆）， 答：甲种货车用8辆，乙种货车用12辆； （2）设调往地的甲种货车为辆，则乙种货车为辆；调往地的甲种货车为辆，则乙种货车为辆， 根据题意可列方程：， 解得， ∴（辆）， （辆）， （辆）， 答：调配方案是：安排甲种货车3辆和乙种货车7辆前往地；安排甲种货车5辆和乙种货车5辆前往地． 【点睛】本题考查列一元一次解决方案分配问题应用题，掌握列一元一次解决方案分配问题应用题的方法与步骤，抓住两种等量关系一是甲乙两种车运货之和=240，一是AB两地甲乙两类车费用之和=11330列出方程是解题关键． 【题型四 利润问题】 1．文体商店用7200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获得利润2460元，问篮球和足球各有多少个？ 【答案】足球有65个，篮球有80个 【分析】本题考查了销售问题．方法一：先求出篮球的定价，然后求出15个篮球的销售总额，假设篮球的数量和足球的数量相同，求出总共的销售额，用总销售额除以篮球和足球合计单价即可求出足球的个数，足球的个数加上15即为篮球的个数．方法二：列一元一次方程进行求解，先求出篮球的定价，设足球有x个，篮球有个，根据题中数量关系列出一元一次方程并求解即可得到答案． 【详解】解：方法一：∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价：（元）， 15个篮球的销售额：（元）， 若篮球的数量和足球的数量相同，则总共的销售额为： （元） 此时篮球和足球合计单价：（元）， ∴足球个数：（个）， 篮球个数：（个）； 答：足球有65个，篮球有80个． 方法二： 解：设足球有x个，则篮球有个， ∵出售每个足球的定价是60元，每个篮球的定价比足球多， ∴每个篮球的定价为（元）， 由题意得， 解得， ∴篮球个数为（个）， 答：足球有65个，篮球有80个． 2．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 3.（商品问题）成本为0.25元的练习本1200本按的利润定价出售，结果只卖掉，剩下的练习本打折出售，这样所获得的全部利润是预定利润的．问剩下的练习本出售时是按定价打了几折？ 【答案】剩下的练习本出售时是按定价打了8折 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设剩下的练习本出售时是按定价打了折，根据“出售练习本数量为本的利润出售数量为本的利润总利润”列出方程并解答． 【详解】解：设剩下的练习本出售时是按定价打了折， 预定每一本价格为：（元）． 预定每一本利润为：（元）． 预定总利润为：（元）． 根据题意，得． 解得． 答：剩下的练习本出售时是按定价打了8折． 4．永辉超市第一次用4200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 29 40 (1)永辉超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多480元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)1680元 (2)打9折 【分析】（1）首先设甲商品的件数为件，根据“甲商品的总进价 + 乙商品的总进价 ”列出方程，求出甲、乙两种商品的件数．最后根据“利润 =（甲商品的单件利润×甲商品的件数）+（乙商品的单件利润×乙商品的件数）”计算出总利润． （2）先根据第一次的进价和件数关系求出第二次乙商品的件数．设第二次乙种商品按原价打折销售，根据“第二次的总利润 = 第一次的总利润”列出方程，求解得出的值． 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲商品的件数为件，则乙商品的件数为件．由题意得 解得， 则乙商品的件数为（件）， 甲商品单件利润为（元）， 乙商品单件利润为（元）， 总利润为（元） 答：一共可获得元利润； （2）解：设第二次乙种商品按原价打折销售，则乙商品打折后单件利润为元．则 解得， 答：第二次乙种商品是按原价打九折销售． 5．某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【答案】(1)购进商品的数量为100件 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件，根据400件商品的花的费用为10000元，列出方程，解方程即可； （2）根据销售A，B两种商品共获利2125元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件， 依题意得， 解得：， （件）， 答：购进商品的数量为100件，则购进商品的数量为300件； （2）解：商品售出，即（件），剩余（件）， 商品售出，即（件），剩余（件）， 剩余的商品都参加了促销活动，即促销活动卖出商品75件，赠送商品75件，再剩下的125件商品以优惠全部卖出， 依题意得：， 整理得， 即， 解得． 6．A、B两个玩具城都在搞促销活动（如下）． A玩具城所有商品一律八折 B玩具城每满100元减25元 (1)小军要买一辆280元的玩具汽车，在哪个玩具城购买更便宜？ (2)一个一百多的玩具熊，在两个玩具城不仅标价相同，而且促销后的优惠价也相同，这个玩具熊的标价是多少元？ 【答案】(1)A玩具城 (2)125元 【分析】本题主要考查最优化问题，关键是明确两家玩具城的优惠政策； （1）根据两家玩具城的优惠政策，分别计算所需钱数；然后比较两家玩具城所需钱数，即可得出结论． （2）一个一百多的玩具熊，在玩具城只能优惠25元，设这个玩具熊的标价是元，根据促销后的优惠价也相同列方程解答即可． 【详解】（1）解：玩具城： （元） 玩具城： （组） （元） （元） 答：在玩具城买便宜． （2）解：设这个玩具熊的标价是元． 答：这个玩具熊的标价是125元． 【题型五 行程问题】 1．甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 2．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 【答案】、两地的路程是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设、两地的路程是，根据题意列出一元一次方程，求解即可．理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设、两地的路程是， 由题意可得：， 解得：， 答：、两地的路程是． 3．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，于两地之间的C地相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．则A、B两地相距多少米？ 【答案】米． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． 设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，根据时间之间的关系列出方程，解方程得到，根据相遇时间乘以两人的速度之和即可得到A、B两地之间的距离． 【详解】解：设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，由题意可得， ， 解得， A、B两地之间的距离为：（米）， 答：A、B两地相距米． 5．一段公路，甲车行完全程需要小时，乙车行完全程需要小时．两车同时从两地出发，相向而行，途中甲车因故停留了若干小时，两车先后用了8小时相遇．问甲车途中停了多少小时？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题将路程看作单位1，可得甲车的速度为，乙车的速度为，设甲车途中停了小时，列方程，然后即可求解； 【详解】解：由题意可知，甲车的速度为，乙车的速度为，设甲车途中停了小时， ∴根据题意，可列方程：， 解得：， 答：甲车途中停了小时； 6．随着全球贸易的不断增长，传统的苏伊士运河、巴拿马运河等航道面临着日益严重的拥堵问题，通航效率降低．同时，这些航道途经的一些地区政治局势不稳定，给航运安全带来了巨大威胁．而北极航道作为连接北大西洋和北太平洋的新航线，可避开这些高风险区域，且能缩短航程．“雪龙号”是中国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船，若破冰船在无冰区顺流速度为千米/时，水流速度为千米/时． (1)求破冰船在无冰区的逆流速度． (2)若破冰船在冰区顺流、逆流速度均会降低千米/时，请用含有字母的代数式分别表示破冰船在冰区的顺流速度和逆流速度． (3)若A、B两个极地港口相距千米（其中无冰区千米，冰区千米），当时，求破冰船从A到B（顺流）再返回A（逆流）的总时间． 【答案】(1)千米/时 (2)顺流速度：千米/时，逆流速度：千米/时 (3)小时 【分析】本题主要考查了用字母表示数，列代数式以及行程问题，熟练掌握速度之间的关系是解题的关键． （1）先求出静水速度，静水速度=顺流速度-水流速度，在求逆流速度即可，逆流速度=静水速度-水流速度． （2）找出数量关系，列出代数式即可． （3）将数值代入关系式，并用时间=路程速度公式进行求解即可． 【详解】（1）解：破冰船的静水速度：（千米/时）， 无冰区逆流速度：（千米/时）． （2）解：冰区顺流速度：千米/时， 由（1）可知，无冰区逆流速度为千米/时， 冰区逆流速度：千米/时． （3）解：当时， 在无冰区顺流所用时间为：（小时）； 在冰区顺流速度为：（千米/时），顺流所用时间：（小时）； 在无冰区逆流所用时间：（小时）； 在冰区逆流速度为：（千米/时），逆流所用时间：（小时）； 总时间：（小时）． 7．甲、乙两个车站相距千米，一列快车从甲站开出，每小时行驶千米，一列慢车从乙站开出，每小时行驶千米． (1)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)若两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距千米？ 【答案】(1)小时； (2)小时或小时． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系，根据等量关系列方程． 设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，根据两车的路程和是千米，列方程求解即可； 两车相距千米分两种情况，一种情况是两车相遇前相距千米，此时两车的路程和是千米；一种情况是两车相遇后相距千米，此时两车的路程和是千米． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意可得：， 解得：， 答：两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相距千米， 情况一、两列火车相遇前，相距千米， 根据题意，可得：， 解方程得：； 情况二、两列火车相遇后，相距千米， 根据题意，可得：， 解方程得：； 答：两列火车同时开出，相向而行，小时或小时后两车相距千米． 【题型六 工程问题】 1．师、徒两人同时加工一种零件，师傅小时加工个，徒弟两小时加工个．如果要加工个零件，师、徒两人共同完成，需要多少小时完成任务？ 【答案】小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据来求解. 设需要小时完成任务，根据题意列出一元一次方程求解. 【详解】解：设需要小时完成任务, 根据题意得 （小时） 答：需要8小时完成任务. 2．某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 3．渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 【答案】38件 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，列出方程式求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件． 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天铺设桥梁构件38件． 4．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 5．现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． (1)甲乙合作几天完成？ (2)列方程解决问题：求甲做一天需要的报酬． 【答案】(1)甲乙合作6天完成 (2)甲做一天需要的报酬为500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数除法的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键． （1）把工作总量看做单位1，则可求出两人的工作效率，再用1除以两人的工作效率之和即可得到答案； （2）设甲做一天需要的报酬为x元，则乙做一天需要的报酬为元，根据甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬建立方程求解即可． 【详解】（1）解：天， 答：甲乙合作6天完成； （2）解：设甲做一天需要的报酬为x元，则乙做一天需要的报酬为元， 由题意得，， 解得， 答：甲做一天需要的报酬为500元． 6．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材用来制作桌子． (1)设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿，可制作桌面_____个，制作桌腿______个； (2)最多可以制作多少张桌子？ (3)由1人制作这些桌子需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起合作，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】(1)， (2)最多可以制作200张桌子 (3)应先安排2人工作 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿列式即可； （2）设用木材用来制作桌面，根据制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿列方程求解； （3）设先安排y人工作，根据完成的工作量完成的工作量列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵一共木材，设用木材用来制作桌面，剩余的木材用来制作桌腿， ∴用木材用来制作桌腿， ∴可制作桌面个，制作桌腿个． 故答案为：，． （2）解：设用木材用来制作桌面． 根据题意，得． 解这个方程，得． ∴．      答：最多可以制作200张桌子． （3）解：设先安排y人工作． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：应先安排2人工作． 【题型七 古代算术问题】 1．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 2《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 3．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 5．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 6.古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 【题型八 储蓄、利息问题】 1．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【答案】一年前小张存了大约28278元钱 【分析】本题考查利率问题，一元一次方程解决实际问题．设一年前小张存了x元钱，利息的等于随身听的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设一年前小张存了x元钱，由题意得， ， 解得， 答：一年前小张存了大约28278元钱． 2．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意设出未知数，利用本利和本金利息利息税，列出方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设当时一年期定期储蓄的年利率为， ， 解得：， 答：当时一年期定期储蓄的年利率为． 3．1年定期储蓄年利率为， 所得利息要交纳利息税，老刘有一笔1年期定期储蓄， 到期纳税后得利息396元， 问老刘有多少本金？ 【答案】老刘有25000元本金 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设本金是x元，根据利息本金×年利率即可列出方，解方程就可以求出本金． 【详解】解：设本金是x元． 根据题意得：， 解得：． 答：老刘有25000元本金． 4．一年前，小芳的妈妈为小芳存了一份年利率为的教育储蓄，现在到期了，她取出的利息恰好购买一台学习机，已知学习机每台216元，问：一年前小芳的妈妈存入银行多少钱？ 【答案】8000元 【分析】设一年前小芳的妈妈存入银行元钱，根据利息本金存期利率，得出关于的一元一次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设一年前小芳的妈妈存入银行元钱， 依题意，得：， 解得：． 答：一年前小芳的妈妈存入银行8000元钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解本题的关键． 5．小明爷爷将一笔钱存了两年期定期储蓄，假设年利率为，两年到期后．若需扣除利息税．所得利息正好为小明买一个价值元的复读机，小明爷爷原来存了多少元？ 【答案】元 【分析】设小明爷爷原来存了元，根据即可得到答案． 【详解】解：设小明爷爷原来存了元． 由题意得：， 解得． 答：小明爷爷原来存了元． 【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，解题的关键是明确． 【题型九 比赛积分问题】 1．爷爷与孙子下棋，爷爷赢盘记分，孙子赢盘记分，下了盘后，两人得分相等（无平局），他们各赢了多少盘？  （请用一元一次方程求解） 【答案】爷爷赢了盘，孙子赢了盘 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键； 设爷爷赢了盘，则孙子赢了盘，根据两人得分相等列出方程求解即可． 【详解】解：设爷爷赢了盘，则孙子赢了盘， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：爷爷赢了盘，孙子赢了盘． 2．我县举办“庆元旦”篮球赛，各球队积分榜如下表： 队名 比赛场次 胜 负 积分 前进 10 8 2 18 光明 10 6 4 16 蓝天 10 5 5 15 远大 10 3 7 13 卫星 10 0 10 10 地球 10 4 6 14 (1)从表中信息知，胜一场得_____分，负一场得_____分； (2)用代数式表示一只球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系； (3)若某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍，请求出是哪一队？ 【答案】(1)胜一场得2分，负一场得1分 (2) (3)胜场数为6，负场数为4，即为光明队 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用负一场的得分=卫星队的总积分÷卫星队的负场数，可求出负一场的得分；再利用前进队得分情况即可求出胜一场的得分； （2）设胜场数为则负场数为利用总积分=2×胜场数+1×负场数，即可用含的代数式表示出总积分； （3）由（2）中代数式结合胜场总积分等于负场总积分的3倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再对照各球队的胜、负场数，即可得出该队为光明队． 【详解】（1）解：根据卫星队得分可得：负一场得（分）， 根据前进队得分可得：胜一场得（分）． 故答案为：2，1； （2）解：设 a表示胜场数，则负场数为， 则总积分． （3）解：设a表示胜场数，则负场数为， 由题意得，， 解得， 所以   所以胜场数为6，负场数为4，即为光明队． 3．某学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 (1)如上表，记录了A，B两个参赛者的得分情况，依据表中信息可得：每答对一题得_____分，每答错一题扣_____分； (2)若参赛者得分为65分，求他答对了几道题． 【答案】(1)5，2 (2)15 【分析】本题考查了有理数加减乘除的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）设他答对了x道题，则答错了道题，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）∵A答对题数为20，得分100 ∴（分） ∴每答对一题得5分； ∵（分） ∴每答错一题扣2分； （2）设他答对了x道题，则答错了道题 根据题意得， 解得 ∴他答对了15道题． 4．如表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积________分，负一场积________分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共17轮（每个球队各有17场比赛），D队希望最终积分达到30分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)胜2场，负9场 (3)不可能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）由题意得，D队还有6场比赛，假设D队剩下6场全胜，算出最终积分，再与30分比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1． （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场． （3）解：不可能实现，理由如下： 每个球队各有17场比赛，D队已经进行了11场比赛， D队还有场比赛， 假设D队剩下6场全胜，则最终积分， 又， D队不可能实现最终积分达到30分． 5．在传统文化知识小组积分竞赛中，每场比赛都要分出胜负.每胜1场得2分，负1场得1分.其中有一位选手进行了12场比赛，总积分为21分，那么这位选手胜，负场数分别是多少? 【答案】这位选手胜，负场数分别是场，场． 【分析】本题考查一元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．先设这位选手胜场数是场，则这位选手负场数是场，依题意，列式，进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，设这位选手胜场数是场，则这位选手负场数是场， ∴， 解得， ∴（场）， ∴这位选手胜，负场数分别是场，场． 6．学校组织知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 20 5 70 D 18 7 58 E 15 10 40 (1)每答对1道题得___________分，每答错1道题扣__________分． (2)同学F得76分，他答对几道题？ (3)同学G说他得了81分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)4，2 (2)同学F答对了21道题 (3)同学G不可能得81分，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分=总分÷全答对的题数，再由B同学的成绩就可以得出答错一题的得分； （2）设参赛者答对了x道题，答错了道题，根据答对的得分+加上答错的得分分建立方程求出其解即可； （3）假设他得81分可能，设答对了y道题，答错了道题，根据答对的得分+答错的得分分建立方程求出其解即可，注意y要为整数． 【详解】（1）解：由题意，得，答对一题的得分是：（分）， 答错一题的扣分为：（分）． 故答案为：4，2； （2）解：设参赛者答对了x道题，答错了道题，由题意得： ， ∴， ∴． 答：参赛者得76分，他答对了21道题； （3）解：假设他得81分可能，设答对了y道题，答错了道题， 由题意得， ∴， ∴， ∵y为整数， 而不是整数， ∴参赛者说他得81分，是不可能的． 【题型十 数字问题】 1．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 2．观察下列三列数： 、、、+、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第个数是_________，第②行第个数是___________； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，关键是找出数字规律． （1）根据规律进行计算即可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断即可； （3）分为奇数和偶数，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第个数是； 第②行第个数是； 故答案为：；． （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第个数是， 设三个连续整数为，，， 当为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍） 当为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为． （3）解：当为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 3．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 4．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【答案】245 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设百位上的数字为x，则十位上的数字为，个位上的数字为，根据“位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的” 列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为， ∵各数位上的数的和为11， 所以，个位上的数字为， 根据题意得，， 解得：， ∴百位上的数字为2， 十位上的数字为， 个位上的数字为， 所以，这个三位数为245． 5．有一个两位数，两个数位上的数字和是8，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得到的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数．（用方程解决） 【答案】35 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设原来的两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：由题意可设原来的两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为，则有： ， 解得：； ∴十位上的数字为， 答：原来的两位数是35． 【题型十一 年龄问题】 1．父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 【答案】年前 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍，根据年前父亲的年龄是儿子年龄的倍列出方程求解即可． 【详解】设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍， 由题意得， 解得， 答：年前父亲的年龄是儿子年龄的倍． 2．兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 【答案】哥哥现在20岁 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁． 根据题意，得 解得 今年哥哥：（岁） 答：哥哥现在20岁． 3．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁．若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的年龄缩小到原来的，则三人岁数相等．丙的年龄是多少岁？ 【答案】丙的年龄为76岁． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键是根据题干逆向思考，假设出变化后的年龄为x，从而得出三人的实际年龄．再列出方程求解即可． 【详解】解：设当变化后年龄相等时，三人的年龄都为岁， 则实际甲为岁，乙为：岁，丙为岁，根据题意得： ， （岁）， 答：丙的年龄为76岁． 4.爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 【答案】爸爸今年36岁，儿子今年9岁 【分析】本题考查一元一次方程的应用，依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为岁，可得，再解方程即可． 【详解】解：设今年儿子的年龄为岁，则爸爸的年龄是岁， 根据题意，得， 解得， 所以（岁）， 答：爸爸今年36岁，儿子今年9岁． 【题型十二 幻方问题] 1．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的数字应用，仔细阅读题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意把表格中间三个数相加即可； （2）根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出方程运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，图中的“幻和”为， 故答案为：3； （2）解：根据题意得， 解得， 九宫图右下角的数为， ∴， ∴，． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． （1）根据图2先确定，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为，再根据广义的三阶幻方可得和，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 3.（1）【阅读理解】 三阶幻方又名九宫格，是一种将个数字数字不重复使用安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 在金庸先生的著作射雕英雄传中黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九履一，左七右三，五居中央”请你根据这个口诀把，九个数分别填入图的九宫格里得到一个三阶幻方． （2）【探究发现】 将九个数填入图的方格中，使之构成三阶幻方； 思考问题：若将所填的九个数同时加减或乘除同一个不为的数，你有什么发现？ （3）【结论应用】若满足“幻方”的九个数字之和为，请在图的方格中写出一种符合题意的互不相等的九个数． （4）【类比拓展】在如图的三阶幻方中填写了一些数和字母，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方 （3）见解析，答案不唯一 （4）13 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算， 对于（1），根据口诀填写即可； 对于（2），①求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方；②由（1）及（2）①中的幻方，即可得出答案； 对于（3），求出9个数的平均数，结合该数与5之间的关系，即可得出三阶幻方； 对于（4），由第一行及对角线上的三个数字之和相等，可得出关于y的一元一次方程，求出解，再由第三行及第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，求出解，接下来将其代入待求式，可得答案. 【详解】解：（1）如图所示， （2）①∵，， ∴将图1中每个方格中的数字即可， 如图所示. ②构成三阶幻方的九个数，每个数同时加减或乘除同一个不为0的数，所得到的九个数仍然能构成三阶幻方； （3）∵， ∴图1中每个方格的数字即可， 如图所示.（答案不唯一） （4）∵， 解得. ∵， 即， 解得， ∴. 故答案为：13. 4．主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）小河同学的说法不对，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设方框正中心的数是y，根据题意列方程求出，然后根据27在最后一列求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ∴如图所示， 3 2 5 1 0 4 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是， 根据题意得， 解得． 因为27在最后一列， 所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243， 所以小河同学的说法不对． 【题型十三 日历问题】 1．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不可以；理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 2．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【答案】(1)上下相差，左右相差 (2)小强一家是号外出 (3)能，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律． （1）通过观察发现：上下相差；左右相差； （2）由已知直接表示出这个数和等于，即可求出； （3）分别表示出这个数，根据这个数的和是，得出方程，解出的值后判断即可． 【详解】（1）解：由图形可得：上下相差，左右相差； （2）解：设小强一家号外出， 由题意得：， 解得：， 答：小强一家是号外出； （3）解：设最中间的一个数为， 则这九个数可表示为：，，，，，，，，， 由题意得，， 解得：， 这个数的和可能是，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28． 3．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 4．阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 【答案】(1)，， (2) (3)小亮的父亲是号出差走的． 【分析】本题考查代数式表示式，整式加减的运用，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出对应的数量关系． （1）根据题干所给日历规律直接表示出另外三个数，即可解题； （2）根据题意列式计算，即可解题； （3）设小亮的父亲是号出差走的．根据“6天的日期和为57”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可得另外三个数为：， ，； （2）解：根据题意得， 答：最大数与最小数的和减去另外两个数的和为； （3）解：设小亮的父亲是号出差走的． 根据题意得：， 整理得， 解得， 答：小亮的父亲是号出差走的． 5．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． (1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． (2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号） (3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)图形①是倍数图形，理由见解析 (2)②③④⑤⑥ (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减，解题的关键是正确表示出每个位置上的数， （1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可； （2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可； （3）根据（2）中的结果得到，解得，然后根据11在日历上的位置求解即可． 【详解】（1）∵设其圈住的中心数为n， ∴其他的数分别为，，，， ∴ ∴是5的倍数， ∴图形①是倍数图形； （2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为，，，，，，， ∴ ∵是9的整数倍， ∴图形②是倍数图形； 图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为，， ∴ ∵是4的整数倍， ∴图形③是倍数图形； 图形④：设中间数为c，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形④是倍数图形； 图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形⑤是倍数图形； 图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为，，， ∴ ∵是5的整数倍， ∴图形⑥是倍数图形； 图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为，，，， ∴ ∵不是6的整数倍， ∴图形⑦不是倍数图形； 图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为， ∴ ∵不是3的整数倍， ∴图形⑧不是倍数图形； 综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥． （3）由（2）得， 解得 ∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数， ∴不符合题意，应舍去 ∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33． 【题型十四 分段计费问题】 1．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 2．为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： ××居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)若小强家一个月的实际用电量为250度，则实付金额分别为多少元？ (3)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量． 【答案】(1) (2)128.5元 (3)210度 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于180度内的用电付出金额与超出180度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出106.5元的用电量超出180度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：当时， y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第二档， 当时， 则， ∴当时， 则元． 答：小强家这一个月实付金额128.5元． （3）解：∵180度电费为：， 350度电费为：， ， ∴该家庭本月用电量属于第二档， 令， 则， 解得， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． 3．某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元，某乘客出租车x千米． (1)如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？ (2)如果该乘客付费26.2元，他坐了多少千米？ 【答案】(1)19元 (2)12千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用代数式表示， （1）根据乘客行驶了8千米可知已超过了3千米，可得代数式，再代入计算即可； （2）根据（1）中的代数式列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：当时，（元）， 答：乘客坐了8千米，应付费19元； （2）解：设他坐了x千米，由题意得 ， 解得. 答：他乘坐了12千米． 4.某市出租车收费标准如下表所示，根据此收费标准，解决下列问题： 行驶路程 收费标准 不超出的部分 起步价8元 超出的部分 2.5元／ (1)若行驶路程为，则打车费用为多少元？ (2)若行驶路程为，则打车费用为多少元？（用含x的代数式表示）； (3)某同学周末放学回家，已知打车费用为33元，则他家离学校多少千米？ 【答案】(1)行驶路程为，则打车费用为元； (2)行驶路程为，则打车费用为元； (3)他家离学校12千米． 【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用． （1）根据题意，分为不超过的部分和超出的部分，列式计算即可； （2）根据题意，分为不超过的部分和超出的部分，列式即可； （3）由（2）中的代数式列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得元； 若行驶路程为，则打车费用为元； （2）解：由题意，得 若行驶路程为，则打车费用为元； （3）解：设他家离学校千米 由题意得：， 解得：， 答：他家离学校12千米． 【题型十五 方案选择问题】 1．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 2．因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【答案】(1)，； (2)购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用； （）根据选择两种方案所省的钱数一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得：， 答：购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 3．企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 4【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【答案】(1)240人 (2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设这个学校一共有学生x人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可； （2）求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低，则在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设这个学校一共有学生x人， 由题意得，， 解得， 答：这个学校五年级一共有学生240人； （2）解：， 所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低， 所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多， 辆， 当租用6辆45座客车时的租金为元， 人， 当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为元， 因为， 所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 5．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：6人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含x的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是80时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 【答案】(1)方案一的收费为元；方案二的收费为元 (2)采用方案二更省钱，见解析 (3)当参加研学的总人数是94人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式分别表示采用两种优惠方案的收费；（2）代入，求出采用两种优惠方案的收费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用总价=单价×数量，结合研学社给出两种优惠方案，即可用含x的代数式分别表示采用两种优惠方案的收费； （2）代入，求出采用两种优惠方案的收费，比较后即可得出结论； （3）根据采用两种方案的收费是一样的，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：采用方案一的收费为元； 采用方案二的收费为元； （2）解：采用方案二更省钱，理由如下： 当时，； ． ∵， ∴采用方案二更省钱； （3）解：根据题意，得， 解得． 答：当参加研学的总人数是94人时，采用两种方案的收费是一样的． 【题型十六 数轴动点问题】 1．在数轴上所对应的数分别为，，1，3.5． (1)C，D两点间的距离___________；B，C两点间的距离___________． (2)数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离为___________； (3)若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问： ①经过多长时间两点重合？ ②经过多长时间两点之间的距离为1？ 【答案】(1)，3 (2) (3)①t为3秒时P，Q两点重合；②t为2秒或4秒时，P，Q两点之间的距离为1． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的性质、一元一次方程等知识点，掌握数轴上两点之间的距离公式是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离表示方法求解即可； （2）根据数轴上两点间距离表示方法求解即可； （3）①根据题意：由“Q的路程的路程”列方程求解即可； ②分Q在P的右侧和左侧且距离为1两种情况，分别根据“由Q的路程的路程”或“Q的路程的路程”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：M，N两点之间的距离为； （3）解：点P运动的距离为t，点Q运动距离为， ①由题意可得：，解得：． 答：t为3秒时P，Q两点重合； ②当Q在P的右侧且距离为1时，，解得； 当Q在P的左侧且距离为1时，，解得； 答：t为2秒或4秒时，P，Q两点之间的距离为1． 2．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)2秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____； (2)求运动几秒后，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)在、运动过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，求出运动时间，并求出此时点表示的数． 【答案】(1)，8． (2)当时，、两点相遇，相遇点表示的数是4． (3)t的值为，此时点Q表示的数是或t的值为，此时点Q表示的数是． 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练地利用方程思想解决问题是解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）由题意得求出t的值，然后代入计算即可； （3）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：2秒后，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，8． （2）解：设运动t后，、两点相遇， ，解得：， 将代入得：， ∴当时，、两点相遇，相遇点表示的数是4． （3）解：设运动t后，、两点之间的距离为2个单位长度， 当点在点左侧时，，解得：， ∴； 当点在点右侧时，，解得：． ∴； 综上，当、两点之间的距离为2个单位长度时，t的值为，此时点Q表示的数是或t的值为，此时点Q表示的数是． 3．如图，已知数轴上原点为，点A表示的数为，B在A的右边，且与的距离是10．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)当时，点表示的数是______，点表示的数是______，点与点之间的距离是______； (2)点表示的数是______（用含的代数式表示），点表示的数是______（用含的代数式表示）； (3)点与点在点处相遇，如果数轴可以折叠，以数轴上点为折点，将数轴对折，使得B与A重合，求点到点的距离的值． (4)当点到点的距离等于点到点距离2倍时，直接写出此时的值． 【答案】(1)，，5 (2)； (3)1 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解题的关键是：根据路程速度时间，用含t的代数式表示出点P，Q表示的数． （1）根据题意先表示出点A表示的数，然后利用路程速度时间求解； （2）利用路程速度时间来求解； （3）根据题意先求出相遇时所用的时间，再求出点C表示的数，点D表示的数，进而求出d的值； （4）根据题意表示出，，根据点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍列出方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得：点B表示的数是， 点P表示的数是， 点Q表示的数是， ， 故答案为：，，5； （2）解：由题意可得：点P表示的数是， 点Q表示的数是， 故答案为：；； （3）解：P表示的数是，Q表示的数是， 它们在C点相遇时所用的时间相等，则， 解得， ∴C点表示的数是， ∵以数轴上点D为折点，将数轴对折，使得B与A重合， ∴D表示的数是， ∴点C到点D的距离； （4）解：P到点O的距离， 点P到点Q距离， ∵点P到点O的距离等于点P到点Q距离2倍， ∴， ∴或， 解得或． 4．如图，点A，B在数轴上表示的数分别为与4，若数轴上A，B两点之间存在点C，使得． (1)点C所表示的数为______． (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解题是关键． （1）先求解，，，再结合C的位置可得答案； （2）先表示运动中对应的数为，对应的数为，再利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别为与4 ， ∴， ∵，． ∴，， ∴点C所表示的数为2． 故答案为：2． （2）解：当运动t秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 5．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点P表示的数是p． (1)直接写出 ， ， （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数； (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；； (2)①9秒  ②7秒或11秒；或 (3)存在；m；46 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，理清各数量关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为． 根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为． 【详解】（1）解：， ，， ，． 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ， 故答案为：，，； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为． 依题意得：， 解得：， 故点运动秒时追上点． 依题意得：， 即或， 解得：或． 当时，； 当时，． 综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ． 的值为定值， ， ， 存在常数，使得的值为定值，该定值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $