第01章 有理数 章节（20知识点回顾+43题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第01章 有理数 章节（20知识点回顾+43题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 有理数的分类 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 相反数的定义 题型八 绝对值的几何意义 题型九 求一个数的绝对值 题型十 数轴上整点覆盖问题 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 化简多重符号 题型十三 有理数大小比较 题型十四 有理数大小比较的实际应用 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 题型十六 有理数加法运算 题型十七 有理数加法运算律 题型十八 有理数加法在生活中的应用 题型十九 有理数的减法运算 题型二十 有理数减法的实际应用 题型二十一 有理数的加减混合运算 题型二十二 有理数加减中的简便运算 题型二十三 有理数加减混合运算的应用 题型二十四 两个有理数的乘法运算 题型二十五 多个有理数的乘法运算 题型二十六 有理数乘法的实际应用 题型二十七 倒数 题型二十八 有理数乘法运算律 题型二十九 有理数的除法运算 题型三十 有理数除法的应用 题型三十一 有理数乘除混合运算 题型三十二 有理数四则混合运算 题型三十三 有理数四则混合运算的实际应用 题型三十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型三十五 有理数幂的概念理解 题型三十六 有理数的乘方运算 题型三十七 乘方运算的符号规律 题型三十八 乘方的应用 题型三十九 含乘方的有理数混合运算 题型四十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十一 程序流程图与有理数计算 题型四十二 求一个数的近似数 题型四十三 求近似数的精确度 知识清单 知识点1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 知识点2．有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如﹣，﹣，﹣，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2＝；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3＝﹣；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1＝，﹣0.5＝﹣，0.＝，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 知识点3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点4．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点5．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点6．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点7．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 知识点8．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点9．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点10．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点11．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点12．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点13．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点14．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点15．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点16．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点17．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点18．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点19．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点20．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（   ） A． B． C． D． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中不正确的是（   ） A．既是负数，也是分数，还是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 题型五 有理数的分类 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 题型六 用数轴上的点表示有理数 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上标出下列各数：，0，，，，，并把它们用“”连接起来． 题型七 相反数的定义 7．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 题型八 绝对值的几何意义 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型九 求一个数的绝对值 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，2，，，，． 正数集合：｛            …｝． 负数集合：｛            …｝． 分数集合：｛            …｝． 非正整数集合：｛            …｝． 题型十 数轴上整点覆盖问题 10．（七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有 个 题型十二 化简多重符号 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知有五个有理数，分别是：，，，，． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)用“”把这五个有理数连接起来． 题型十三 有理数大小比较 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在，，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 题型十四 有理数大小比较的实际应用 14．（七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）该县某几个村子的小龙虾养殖基地2021年第二季度比第一季度的产值增长率统计情况，其中产值增长率最小的养殖基地是（　　） 养殖基地 李洼 王洼 贾庄 吴庄 增长率 3.25% 4.6% A．李洼 B．王洼 C．贾庄 D．吴庄 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 题型十六 有理数加法运算 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的两个数的和为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型十七 有理数加法运算律 17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两点在数轴上表示的数分别为和5，若在数轴上找到点，使得点和点之间的距离是3，点和点之间的距离是6，则之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．10 D．16 题型十八 有理数加法在生活中的应用 18．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中不合格的是（    ） A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克 题型十九 有理数的减法运算 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 题型二十 有理数减法的实际应用 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图是安徽黄山风景区光明顶某日天气预报截图，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 题型二十一 有理数的加减混合运算 21．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 题型二十二 有理数加减中的简便运算 22．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 题型二十三 有理数加减混合运算的应用 23．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 题型二十四 两个有理数的乘法运算 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，以下运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 题型二十五 多个有理数的乘法运算 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为 ． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ． 题型二十六 有理数乘法的实际应用 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 题型二十七 倒数 27．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的绝对值一定比大 B．一定表示一个负数 C．正整数和负整数统称整数 D．倒数等于其本身的数有 题型二十八 有理数乘法运算律 28．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 题型二十九 有理数的除法运算 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 题型三十 有理数除法的应用 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 题型三十一 有理数乘除混合运算 31．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 题型三十二 有理数四则混合运算 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）规定运算，求： (1)； (2)． 题型三十三 有理数四则混合运算的实际应用 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 题型三十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 34．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤．其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型三十五 有理数幂的概念理解 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．计算结果为 题型三十六 有理数的乘方运算 36．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三十七 乘方运算的符号规律 37．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 题型三十八 乘方的应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 题型三十九 含乘方的有理数混合运算 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 题型四十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 40．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型四十一 程序流程图与有理数计算 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 题型四十二 求一个数的近似数 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）我国古代数学家祖冲之算出的圆周率的近似值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的约率为，密率为．下列对圆周率取近似数错误的是（   ） A．3.1（精确到十分位） B．3.14（精确到0.01） C．3.141（精确到千分位） D．3.1416（精确到0.0001） 题型四十三 求近似数的精确度 43．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字余个．则（   ） A．用科学记数法表示为 B．精确到千位 C．精确到十分位 D．与精确度相同 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 有理数 章节（20知识点回顾+43题型练习） 题型汇聚 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 有理数的分类 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 相反数的定义 题型八 绝对值的几何意义 题型九 求一个数的绝对值 题型十 数轴上整点覆盖问题 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 化简多重符号 题型十三 有理数大小比较 题型十四 有理数大小比较的实际应用 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 题型十六 有理数加法运算 题型十七 有理数加法运算律 题型十八 有理数加法在生活中的应用 题型十九 有理数的减法运算 题型二十 有理数减法的实际应用 题型二十一 有理数的加减混合运算 题型二十二 有理数加减中的简便运算 题型二十三 有理数加减混合运算的应用 题型二十四 两个有理数的乘法运算 题型二十五 多个有理数的乘法运算 题型二十六 有理数乘法的实际应用 题型二十七 倒数 题型二十八 有理数乘法运算律 题型二十九 有理数的除法运算 题型三十 有理数除法的应用 题型三十一 有理数乘除混合运算 题型三十二 有理数四则混合运算 题型三十三 有理数四则混合运算的实际应用 题型三十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型三十五 有理数幂的概念理解 题型三十六 有理数的乘方运算 题型三十七 乘方运算的符号规律 题型三十八 乘方的应用 题型三十九 含乘方的有理数混合运算 题型四十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型四十一 程序流程图与有理数计算 题型四十二 求一个数的近似数 题型四十三 求近似数的精确度 知识清单 知识点1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 知识点2．有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如﹣，﹣，﹣，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2＝；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3＝﹣；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1＝，﹣0.5＝﹣，0.＝，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 知识点3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点4．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点5．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点6．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点7．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 知识点8．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点9．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点10．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 知识点11．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点12．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点13．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点14．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点15．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点16．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点17．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点18．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点19．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点20．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 【答案】C 【知识点】正负数的定义、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的意义，用正负数表示意义相反的两种量：超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，达标的成绩有，共5人， 故选：C． 题型二 相反意义的量 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】此题考查正数与负数的意义．先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：∵水库水位上升记作， ∴水库水位下降记作． 故选：C． 题型三 正负数的实际应用 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 现根据图片信息得出零件直径的合格范围，在对比四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：，， ∴零件直径的合格范围是：零件直径， ∵， ∴不合格， 故选：A． 题型四 有理数的定义 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中不正确的是（   ） A．既是负数，也是分数，还是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．有理数包括整数和分数，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、既是负数、分数，也是有理数，说法正确，本选项不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，但是整数，说法正确，本选项不符合题意； C、是负整数，也是有理数，原说法错误，本选项符合题意； D、0是正数和负数的分界，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 题型五 有理数的分类 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 【答案】答案见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义．分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可； 【详解】解：如图， ． 题型六 用数轴上的点表示有理数 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上标出下列各数：，0，，，，，并把它们用“”连接起来． 【答案】见解析； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：，，，把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 题型七 相反数的定义 7．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 【答案】 3 / 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； 【详解】解：由题意可知：， ∴以B为原点时，点A表示的数是，点表示的数是3， 若A，表示的两个数互为相反数，则的中点（如图，设为D）为原点， ∴，且D在B的右边， ∴点B表示的数是； 故答案为：；3；． 题型八 绝对值的几何意义 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，错误，例如，但； ②若，则，错误，例如，但； ③若，则，错误，例如，但； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤正确， 一定正确的有④⑤，共2个， 故选：B． 题型九 求一个数的绝对值 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，2，，，，． 正数集合：｛            …｝． 负数集合：｛            …｝． 分数集合：｛            …｝． 非正整数集合：｛            …｝． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的分类．先利用绝对值和相反数的性质化简，再根据有理数的分类方法填空即可． 【详解】解：，，； 正数集合：{2，，，，…}； 负数集合：｛，，，，…｝． 分数集合：｛，，，，…｝． 非正整数集合：｛，0，，…｝． 题型十 数轴上整点覆盖问题 10．（七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上整点覆盖问题 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【详解】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【点睛】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义. 题型十一 数轴上两点之间的距离 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． （2）数轴上点A用数a表示，当时，这样的整数a有 个 【答案】 2 6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离； （1）利用两点之间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，再由是整数，求出符合条件的的值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：2； （2）因为的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，其中整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 题型十二 化简多重符号 12．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知有五个有理数，分别是：，，，，． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)用“”把这五个有理数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先化简多重符号和绝对值，再将各数表示在数轴上即可； （2）利用（1）数轴上各数的位置即可求解． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示为： （2）解：由（1）中数轴知： ． 题型十三 有理数大小比较 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在，，，，四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：，，， ． 即在，，，，四个数中，最小的数是． 故选∶ C． 题型十四 有理数大小比较的实际应用 14．（七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）该县某几个村子的小龙虾养殖基地2021年第二季度比第一季度的产值增长率统计情况，其中产值增长率最小的养殖基地是（　　） 养殖基地 李洼 王洼 贾庄 吴庄 增长率 3.25% 4.6% A．李洼 B．王洼 C．贾庄 D．吴庄 【答案】B 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】比较各个增长率的大小即可作答． 【详解】∵， ∴王洼的产值增长率最小， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，正大于0，0大于负数；负数中，绝对值越大的数其本身越小． 题型十五 利用数轴比较有理数的大小 15．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 【答案】数轴表示见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键． 先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数如图： 由数轴得：． 题型十六 有理数加法运算 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的两个数的和为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的加法运算．先根据数轴得出A，B两点所表示的数，再根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解：点A表示的数为，点B表示的数为2， A，B两点所表示的两个数的和为：， 故选B． 题型十七 有理数加法运算律 17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两点在数轴上表示的数分别为和5，若在数轴上找到点，使得点和点之间的距离是3，点和点之间的距离是6，则之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算律、有理数的减法运算 【分析】本题考查数轴上两点的距离、数轴上的点表示有理数、有理数的加减，分类讨论是解答的关键．分四种情况，分别求得点C、D表示的有理数，然后求得之间的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意， ①当点C在点A的左侧，点D在点B的左侧时， ∵两点在数轴上表示的数分别为和5，点和点之间的距离是3，点和点之间的距离是6， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， ∴之间的距离为，故选项B不符合题意； ②当点C在点A的左侧，点D在点B的右侧时， 则点C表示的数为，点D表示的数为， ∴之间的距离为，故选项D不符合题意； ③当点C在点A的右侧，点D在点B的左侧时， 则点C表示的数为，点D表示的数为， ∴之间的距离为； ④当点C在点A的右侧，点D在点B的右侧时， 则点C表示的数为，点D表示的数为， ∴之间的距离为，故选项D不符合题意； 综上，之间的距离不可能为3，故选项A符合题意． 故选：A． 题型十八 有理数加法在生活中的应用 18．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中不合格的是（    ） A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义求出合格产品的范围，再求解即可，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：（千克）， （千克）， 所以，面粉质量合格的范围是千克到千克， 所以下列面粉中不合格的是25.51千克． 故选：D． 题型十九 有理数的减法运算 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为 ； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为 ． 【答案】 5 55 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：； 故答案为：5； （2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值； 的最小值； 的最小值； 的最小值是， ∴的最小值为． 故答案为：55． 题型二十 有理数减法的实际应用 20．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图是安徽黄山风景区光明顶某日天气预报截图，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：依题意，，即当日温差为， 故选：B． 题型二十一 有理数的加减混合运算 21．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 题型二十二 有理数加减中的简便运算 22．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十三 有理数加减混合运算的应用 23．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 【答案】(1)优等品共有4袋； (2)抽样检测的10袋食品的总质量是． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． （1）利用正数和负数的意义，有理数的加法运算法则解答； （2）利用正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则解答． 【详解】（1）解：（袋）， 答：优等品共有4袋； （2）解： ， 答：抽样检测的10袋食品的总质量是． 题型二十四 两个有理数的乘法运算 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，以下运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的运算，数形结合是解题的关键． 根据数轴得到，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ，选项A不符合题意； ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ，选项D符合题意； 故选：D ． 题型二十五 多个有理数的乘法运算 25．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为 ． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ． 【答案】 0 【知识点】有理数加法中的符号问题、多个有理数的乘法运算、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移； ①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解； ②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可． 【详解】解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等， ∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0； 故答案为：0； ②将点向左移动2个单位得到点，则， 点向左移动4个单位得到点，则， ∵、、三个数的乘积为负数， ∴、、三个数中有一个负数或者3个负数， ∵必有俩数和为0， ∴只能一个负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 题型二十六 有理数乘法的实际应用 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 【答案】(1)销售量最多的比最少的多30千克 (2)李明本周销售额7832元 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用： （1）用表中最大的数减去最小的数即可； （2）与表中数据相加，可得这一周销量，乘以每千克售价与网络平台费用之差，即可得销售额． 【详解】（1）解： （千克）， 答：销售量最多的比最少的多30千克； （2）解： （元） 答：李明本周销售额7832元． 题型二十七 倒数 27．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的绝对值一定比大 B．一定表示一个负数 C．正整数和负整数统称整数 D．倒数等于其本身的数有 【答案】D 【知识点】有理数的分类、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了负数，绝对值，整数，倒数即有理数的知识，掌握相关定义是解答本题的关键． 根据负数，绝对值，整数，倒数的意义对每个选项判断，即可得出正确选项． 【详解】解： A、一个数的绝对值一定大于等于，故此选项错误； B、当时，表示一个正数或者，故此选项错误； C、正整数，和负整数统称整数，故此选项正确； D、倒数等于本身的数有，故此选项错误； 故选：D． 题型二十八 有理数乘法运算律 28．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 题型二十九 有理数的除法运算 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 题型三十 有理数除法的应用 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 题型三十一 有理数乘除混合运算 31．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【答案】(1)千克 (2) (3)多2千克 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、有理数乘除混合运算 【分析】（1）根据表格数据用最重的一箱的重量减去最轻的一箱的重量，即可求解． （2）求出与标准质量差的绝对值与0.2比较即可； （3）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加即可． 本题考查正数与负数，绝对值，有理数的减法运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： （千克）， ∴最重的一箱和最轻的一箱相差千克； （2）解：由题意得： ∴合格的有（箱）， 故合格率为：； （3）解： （千克）， 答：这批样品总质量比标准质量多2千克． 题型三十二 有理数四则混合运算 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）规定运算，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算． （1）根据规定运算计算即可； （2）根据规定运算计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴ 题型三十三 有理数四则混合运算的实际应用 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 【答案】(1)王师傅这天上午中途不需要加油 (2)王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算的应用，掌握绝对值的计算方法是解决问题的关键． （1）先求出总里程，然后求得所耗油量，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （2）求出载客超过3公里后的收费然后在加上起步的价格，求和即可． 【详解】（1）解：公里， ， ∴王师傅这天上午中途不需要加油； （2）解： 元， 即王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元． 题型三十四 根据点在数轴的位置判断式子的正负 34．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、利用数轴比较有理数的大小、有理数的减法运算 【分析】本题考查了利用数轴比较大小、绝对值以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是判断式子正负的关键．根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴正确的是①②③⑤，④错误， 故选：B． 题型三十五 有理数幂的概念理解 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．计算结果为 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案． 【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意； B、表示4个2相乘的相反数，故此选项说法错误，不符合题意； C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意； D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 题型三十六 有理数的乘方运算 36．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值、相反数，先计算各选项中的各数，再比较可得结论． 【详解】解：A、，，与不相等，该选项不符合题意； B、，，与不相等，该选项不符合题意； C、，，与相等，该选项符合题意； D、，，与不相等，该选项不符合题意． 故选：C． 题型三十七 乘方运算的符号规律 37．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型三十八 乘方的应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 【答案】米 【知识点】乘方的应用 【分析】表示出第一次，第二次剪去后剩下的长度，…，归纳总结得到第8次后剩下的长度即可． 【详解】解：∵第1次剪去后剩下的绳子的长度为米， ∴第2次剪去后剩下的绳子的长度为米； ∴第3次剪去后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第8次剪去后剩下的绳子的长度为（米）． 故答案为：米． 【点睛】此题是规律类探索问题，主要考查了乘方的意义．由特殊出发探索得到规律是解题的关键． 题型三十九 含乘方的有理数混合运算 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)60 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 40．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）年元月，合肥市财政收入为亿元，请将亿用科学记数法表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数，将数表示成，其中，为整数，即可得到答案． 【详解】解：亿用科学记数法表示为， 故选A． 题型四十一 程序流程图与有理数计算 41．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：， ，输出， ∴； 故答案为：4． 题型四十二 求一个数的近似数 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）我国古代数学家祖冲之算出的圆周率的近似值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的约率为，密率为．下列对圆周率取近似数错误的是（   ） A．3.1（精确到十分位） B．3.14（精确到0.01） C．3.141（精确到千分位） D．3.1416（精确到0.0001） 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键，根据四舍五入法确定近似数，进行判断即可． 【详解】解：A、3.1（精确到十分位），故原说法正确，不符合题意； B、3.14（精确到0.01），故原说法正确，不符合题意； C、3.142（精确到千分位），故原说法错，符合题意； D、3.1416（精确到0.0001），故原说法正确，不符合题意； 故选C． 题型四十三 求近似数的精确度 43．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字余个．则（   ） A．用科学记数法表示为 B．精确到千位 C．精确到十分位 D．与精确度相同 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了科学记数法和精确度．熟练掌握科学记数法和近似数的精确度是解题的关键． 根据科学记数法和精确度对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，用科学记数法表示为，A正确，故符合要求； 精确到个位，B错误，故不符合要求； 精确到千位，C错误，故不符合要求； 与精确度不同，D错误，故不符合要求； 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$