期末复习07几何图形初步讲义（三）(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学几何图形初步期末复习讲义以“概念-度量-关系-应用”为主线构建知识体系，通过表格对比角的四种表示方法、分类标准及度量单位换算规则，用核心公式汇总表整合余角补角性质、角平分线定理等关键内容，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“情境化题型+分层训练”设计，如钟面角度计算、三角板组合角度等题型，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养几何直观与运算能力。每种题型配备典例解析和跟踪训练，易错点模块针对性标注方向角基准错误等常见问题，助力基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深化理解，为教师实施精准复习提供系统支持。

期末复习07 几何图形初步讲义（三） 1.角的概念与本质理解 2.角的规范表示方法 3.钟面角度的分析与计算 4.方向角的定义与表示规则 5.方向角的实际计算问题 6.角的单位与角度制 7.三角板组合的角度计算 8.几何图形中角度求解 9.角度的四则运算方法 10.角平分线的性质与计算 11.余角的定义与求解方法 12.补角的定义与求解方法 13.余角.补角的综合计算 14.等角的余(补)角相等的应用 【知识点01】角的核心定义与表示 1. 角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为边。 动态定义：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转的起始边为始边，终止边为终边。 2.角的表示方法 表示方法 格式要求 适用场景 示例 三个大写字母 顶点字母在中间 所有角 ∠AOB（O 为顶点） 一个大写字母 顶点处只有一个角 顶点处角唯一 ∠O（O 为顶点） 数字 靠近顶点画弧线标数字 任意角 ∠1、∠2 希腊字母 靠近顶点画弧线标希腊字母 任意角 ∠α、∠β 【知识点02】角的度量与换算 一、度量单位与进制 1. 基本单位 角的度量单位为度（°）、分（′）、秒（″），三者遵循60 进制（非 10 进制，易错点）。 2. 核心换算关系 1° = 60′（1 度 = 60 分） 1′ = 60″（1 分 = 60 秒） 1° = 3600″（1 度 = 3600 秒） 特殊角的度数：1 周角 = 360°，1 平角 = 180°，1 直角 = 90° 二、换算方法 1. 高级单位→低级单位（度→分→秒） 规则：大单位化小单位，乘以进率 60，逐级换算。 2. 低级单位→高级单位（秒→分→度） 规则：小单位化大单位，除以进率 60，逐级换算，余数保留原单位。 三、度分秒的运算规则 1. 加法运算 规则：度、分、秒分别相加，满 60 进 1（分满 60 进为度，秒满 60 进为分） 2. 减法运算 规则：度、分、秒分别相减，不够减时向上一级借 1 当 60（借 1°=60′，借 1′=60″）。 3. 乘法运算 规则：度、分、秒分别乘以倍数，满 60 进 1。 4. 除法运算 规则：度、分、秒依次除以除数，余数转化为下一级单位继续除。 四、量角器的使用（实操要点） 1. 步骤 (1)点点重合：量角器中心与角的顶点重合； (2)线线重合：量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； (3)读数：读取角的另一条边对应的刻度（注意区分内圈 / 外圈刻度：0° 刻度线在内圈读内圈，在外圈读外圈）。 2. 常见错误 *顶点未与量角器中心对齐； *0° 刻度线未与角的边对齐； *混淆内圈 / 外圈刻度导致读数错误。 易错点总结 1.误将度分秒按 10 进制换算（如认为 1°=100′）； 2.减法运算中不会借位（如直接用 12′-36′）； 3.乘法 / 加法运算后未及时进位； 4.量角时混淆内圈与外圈刻度。 【知识点03】角的分类(按度数) 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0°<α<90° 无 直角 α=90° 常用符号 “Rt∠” 表示 钝角 90°<α<180° 无 平角 α=180° 两边成一条直线 周角 α=360° 终边与始边重合 零角 α=0° 始边与终边重合，未旋转 【知识点04】角的比较与运算 1. 角的比较方法 度量法：用量角器量出度数，比较大小。 叠合法：将两个角的顶点与一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。 2. 角的运算 和差运算：∠AOB=∠AOC+∠COB；∠AOC=∠AOB−∠COB（OC 在∠AOB 内部）。 倍分运算：若 OC 是∠AOB 的 n 等分线，则∠AOB=n∠BOC，∠BOC=∠AOB/n。 度分秒运算规则：度、分、秒分别相加减，满 60 进 1；乘除时分别运算，结果满 60 进位。 3. 角平分线 定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线。 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何表示：若 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 【知识点05】角的特殊关系 1. 余角与补角 关系 定义 性质 余角 和为 90° 的两个角 同角（等角）的余角相等 补角 和为 180° 的两个角 同角（等角）的补角相等 2. 对顶角与邻补角 *对顶角：两条直线相交形成的，两边互为反向延长线的两个角，性质为对顶角相等。 *邻补角：两条直线相交形成的，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，性质为邻补角之和为 180°。 【知识点06】实际应用(方位角) 一、定义 以正北、正南为基准方向，描述物体位置或运动方向的角（用于定位、导航等实际场景）。 二、规范表示方法（必记） 1.核心格式：北偏东/西××° 或 南偏东/西××°（基准只能是正北或正南，不能是正东、正西） 2.特殊情况（45°）：北偏东45°可简称为“东北方向”，同理：北偏西45°=西北方向、南偏东45°=东南方向、南偏西45°=西南方向 三、示例（清晰理解） *北偏东30°：从正北方向向东偏转30° *南偏西60°：从正南方向向西偏转60° *西南方向：即南偏西45° 四、关键要点 1.偏转角度范围：0°<角度<90°（超过90°需调整表述，如“北偏东100°”错误，应改为“南偏东80°”） 2.相对性：A在B的北偏东30°，则B在A的南偏西30°（方向相反，角度相等） 易错点（避坑） 1.基准错误：误写“东偏北30°”“西偏南60°”，正确基准是正北、正南 2.角度超范围：如“北偏东90°”（实际是正东方向，应直接表述为正东） 3.相对性混淆：方向颠倒后角度不相等（如误将“北偏东30°”的相对方向写成“北偏西30°”） 【知识点07】核心公式与性质汇总 1.余角公式：∠α 的余角 = 90°−∠α（0°<∠α<90°）。 2.补角公式：∠α 的补角 = 180°−∠α（0°<∠α<180°）。 3.角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 4.对顶角性质：对顶角相等。 5.余角、补角性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 题型1.角的概念与本质理解 【典例】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【跟踪训练1】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【跟踪训练2】下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 题型2.角的规范表示方法 【典例】如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    【跟踪训练1】如图，总共有 个角． 【跟踪训练2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3.钟面角度的分析与计算 【典例】时钟的时针分针的旋转夹角 ． 【跟踪训练1】小明去看电影，他在影片刚放映时看了一下手表，影片结束时又看了一下手表，他发现两次看手表的时刻，时针和分针刚好交换了一次，已知这部电影的时间在小时之间，则影片片长为 分钟． 【跟踪训练2】把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 题型4.方向角的定义与表示规则 【典例】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【跟踪训练1】小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 【跟踪训练2】如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 题型5.方向角的实际计算问题 【典例】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一只甲虫从甲地出发，先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，这时甲虫离甲地 ． 题型6.角的单位与角度制 【典例】可化为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若，，则 ．（填“”“”或“”） 题型7.三角板组合的角度计算 【典例】如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【跟踪训练2】一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8.几何图形中角度求解 【典例】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练1】已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【跟踪训练2】如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 题型9.角度的四则运算方法 【典例】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】计算： ． 【跟踪训练2】从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 题型10.角平分线的性质与计算 【典例】如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】直线与相交于E点，，平分，且，则 ， ． 【跟踪训练2】如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 题型11.余角的定义与求解方法 【典例】如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【跟踪训练1】一个锐角是，它的余角是 度． 【跟踪训练2】如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 题型12.补角的定义与求解方法 【典例】若，则的补角为 ． 【跟踪训练1】若，则补角的大小是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 题型13.余角.补角的综合计算. 【典例】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 【跟踪训练2】如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 题型14.等角的余(补)角相等的应用 【典例】若与互余，与互余，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【跟踪训练2】已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 1．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 2．如图，学校在小刚家北偏 的方向上；电信局在小刚家 偏 的方向上；地铁站在小刚家 的方向上；公园在小刚家 偏 的方向上． 3．钟表上2时30分时，时针与分针所成的角是（　　） A． B． C． D．以上答案都不是 4．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 5．如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 ． 7．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列说法：①单项式的系数是；②圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例关系；③如果，那么是线段的中点；④一个角的余角一定比这个角大；⑤连接两点间的线段，叫做这两点的距离；其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 10．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 11．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 12．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 13．如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 14.．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 15．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07 几何图形初步讲义（三） 1.角的概念与本质理解 2.角的规范表示方法 3.钟面角度的分析与计算 4.方向角的定义与表示规则 5.方向角的实际计算问题 6.角的单位与角度制 7.三角板组合的角度计算 8.几何图形中角度求解 9.角度的四则运算方法 10.角平分线的性质与计算 11.余角的定义与求解方法 12.补角的定义与求解方法 13.余角.补角的综合计算 14.等角的余(补)角相等的应用 【知识点01】角的核心定义与表示 1. 角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为边。 动态定义：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转的起始边为始边，终止边为终边。 2.角的表示方法 表示方法 格式要求 适用场景 示例 三个大写字母 顶点字母在中间 所有角 ∠AOB（O 为顶点） 一个大写字母 顶点处只有一个角 顶点处角唯一 ∠O（O 为顶点） 数字 靠近顶点画弧线标数字 任意角 ∠1、∠2 希腊字母 靠近顶点画弧线标希腊字母 任意角 ∠α、∠β 【知识点02】角的度量与换算 一、度量单位与进制 1. 基本单位 角的度量单位为度（°）、分（′）、秒（″），三者遵循60 进制（非 10 进制，易错点）。 2. 核心换算关系 1° = 60′（1 度 = 60 分） 1′ = 60″（1 分 = 60 秒） 1° = 3600″（1 度 = 3600 秒） 特殊角的度数：1 周角 = 360°，1 平角 = 180°，1 直角 = 90° 二、换算方法 1. 高级单位→低级单位（度→分→秒） 规则：大单位化小单位，乘以进率 60，逐级换算。 2. 低级单位→高级单位（秒→分→度） 规则：小单位化大单位，除以进率 60，逐级换算，余数保留原单位。 三、度分秒的运算规则 1. 加法运算 规则：度、分、秒分别相加，满 60 进 1（分满 60 进为度，秒满 60 进为分） 2. 减法运算 规则：度、分、秒分别相减，不够减时向上一级借 1 当 60（借 1°=60′，借 1′=60″）。 3. 乘法运算 规则：度、分、秒分别乘以倍数，满 60 进 1。 4. 除法运算 规则：度、分、秒依次除以除数，余数转化为下一级单位继续除。 四、量角器的使用（实操要点） 1. 步骤 (1)点点重合：量角器中心与角的顶点重合； (2)线线重合：量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合； (3)读数：读取角的另一条边对应的刻度（注意区分内圈 / 外圈刻度：0° 刻度线在内圈读内圈，在外圈读外圈）。 2. 常见错误 *顶点未与量角器中心对齐； *0° 刻度线未与角的边对齐； *混淆内圈 / 外圈刻度导致读数错误。 易错点总结 1.误将度分秒按 10 进制换算（如认为 1°=100′）； 2.减法运算中不会借位（如直接用 12′-36′）； 3.乘法 / 加法运算后未及时进位； 4.量角时混淆内圈与外圈刻度。 【知识点03】角的分类(按度数) 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0°<α<90° 无 直角 α=90° 常用符号 “Rt∠” 表示 钝角 90°<α<180° 无 平角 α=180° 两边成一条直线 周角 α=360° 终边与始边重合 零角 α=0° 始边与终边重合，未旋转 【知识点04】角的比较与运算 1. 角的比较方法 度量法：用量角器量出度数，比较大小。 叠合法：将两个角的顶点与一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。 2. 角的运算 和差运算：∠AOB=∠AOC+∠COB；∠AOC=∠AOB−∠COB（OC 在∠AOB 内部）。 倍分运算：若 OC 是∠AOB 的 n 等分线，则∠AOB=n∠BOC，∠BOC=∠AOB/n。 度分秒运算规则：度、分、秒分别相加减，满 60 进 1；乘除时分别运算，结果满 60 进位。 3. 角平分线 定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线。 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何表示：若 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 【知识点05】角的特殊关系 1. 余角与补角 关系 定义 性质 余角 和为 90° 的两个角 同角（等角）的余角相等 补角 和为 180° 的两个角 同角（等角）的补角相等 2. 对顶角与邻补角 *对顶角：两条直线相交形成的，两边互为反向延长线的两个角，性质为对顶角相等。 *邻补角：两条直线相交形成的，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，性质为邻补角之和为 180°。 【知识点06】实际应用(方位角) 一、定义 以正北、正南为基准方向，描述物体位置或运动方向的角（用于定位、导航等实际场景）。 二、规范表示方法（必记） 1.核心格式：北偏东/西××° 或 南偏东/西××°（基准只能是正北或正南，不能是正东、正西） 2.特殊情况（45°）：北偏东45°可简称为“东北方向”，同理：北偏西45°=西北方向、南偏东45°=东南方向、南偏西45°=西南方向 三、示例（清晰理解） *北偏东30°：从正北方向向东偏转30° *南偏西60°：从正南方向向西偏转60° *西南方向：即南偏西45° 四、关键要点 1.偏转角度范围：0°<角度<90°（超过90°需调整表述，如“北偏东100°”错误，应改为“南偏东80°”） 2.相对性：A在B的北偏东30°，则B在A的南偏西30°（方向相反，角度相等） 易错点（避坑） 1.基准错误：误写“东偏北30°”“西偏南60°”，正确基准是正北、正南 2.角度超范围：如“北偏东90°”（实际是正东方向，应直接表述为正东） 3.相对性混淆：方向颠倒后角度不相等（如误将“北偏东30°”的相对方向写成“北偏西30°”） 【知识点07】核心公式与性质汇总 1.余角公式：∠α 的余角 = 90°−∠α（0°<∠α<90°）。 2.补角公式：∠α 的补角 = 180°−∠α（0°<∠α<180°）。 3.角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 4.对顶角性质：对顶角相等。 5.余角、补角性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 题型1.角的概念与本质理解 【典例】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 【跟踪训练1】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 【跟踪训练2】下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 题型2.角的规范表示方法 【典例】如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 【跟踪训练1】如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 【跟踪训练2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型3.钟面角度的分析与计算 【典例】时钟的时针分针的旋转夹角 ． 【答案】100 【分析】本题考查钟面角，解答本题的关键是熟知钟面角的特点． 根据题意和钟面角的特点，可知每两个整点之间的夹角为，然后即可计算出，时钟的时针与分针的夹角． 【详解】解：7点20分时，时钟的时针与分针的夹角是：， 故答案为：． 【跟踪训练1】小明去看电影，他在影片刚放映时看了一下手表，影片结束时又看了一下手表，他发现两次看手表的时刻，时针和分针刚好交换了一次，已知这部电影的时间在小时之间，则影片片长为 分钟． 【答案】 【分析】本题考查钟面角． 当钟表的时针和分针位置互换时，两针在该时间段内转过的角度之和是的整数倍． 【详解】解：设影片时长为分钟．分针每分钟走，时针每分钟走． 两针转过的角度之和为为． 根据题意，两针位置互换，则其转过的角度之和应为的整数倍，即（为正整数）． 可得． 因为， 所以， 解得． 因为正整数，故． 所以（分钟）． 因此影片片长为分钟． 故答案为：． 【跟踪训练2】把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，根据钟表上每一个大格之间的夹角是，当分针指向12，时针与分针构成的角，得出此时时针距分针是4个大格，应考虑两种情况，但从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求． 【详解】解：钟表上每一个大格之间的夹角是， 当分针指向12，时针与分针构成的角时，此时时针距分针是4个大格， 从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求， 故选：B． 题型4.方向角的定义与表示规则 【典例】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 根据，，可得射线在北偏西的方向上 ． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示北偏西的射线是． 故答案为：B． 【跟踪训练1】小明去学校，从家出发向东行200米，右转，直行200米，接着右转，直行200米到学校，学校在小明家的（    ）方，距小明家（    ）米． A．东200 B．南200 C．西400 【答案】B 【分析】本题考查了图形与位置的关系，结合方位和角度画出路线图是解题关键．先根据题意画出图形，再根据方向和距离进行解答即可． 【详解】解：根据题意画出小明的行走路线图如下： 由图可知，学校在小明家的南方，距小明家200米． 故选：B． 【跟踪训练2】如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了方位角和角的和差运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据方位角和角的和差运算的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：如图： ∵射线的方向为南偏西， ∴， ∵， ∴， 即射线表示的方向南偏东． 故答案为：南偏东； 题型5.方向角的实际计算问题 【典例】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的概念及角度的计算，解题的关键是正确理解北偏西、南偏东等方向角的含义，通过分析各方向角与基准方向（正北、正南）的夹角，计算出的度数． 轮船A在北偏西，即与正北方向夹角为（向西偏）；轮船B在南偏东，即与正南方向夹角为（向东偏）．与正西方向的夹角为；与正东方向的夹角为．利用正西与正东方向夹角为，得． 【详解】解：根据方向角的定义及角度关系分析如下： ∵轮船A位于北偏西方向， ∴与正北方向的夹角为（向西偏转），则与正西方向的夹角为． ∵轮船B位于南偏东方向， ∴与正南方向的夹角为（向东偏转），则与正东方向的夹角为． ∵正西方向与正东方向在同一直线上，夹角为， ∴与正西方向的夹角正西到正东的夹角与正东方向的夹角， 即． 故选：B． 【跟踪训练1】有公共顶点的两条射线分别表示南偏东与北偏东，则这两条射线组成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的运算是解题关键．根据题意画出图形，再根据方向角的运算求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 则这两条射线组成的角的度数为， 故选：A． 【跟踪训练2】一只甲虫从甲地出发，先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，这时甲虫离甲地 ． 【答案】 【分析】本题考查运用位置与方向解决行程问题，能够根据题意画出正确的路线图是解题的关键．由甲虫先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地，根据方向的相对性及所行距离即可求解． 【详解】解：如图： 由甲虫先向西偏南方向爬了到达乙地；接着由乙地出发向东偏北方向爬了到达丙地； 根据方向的相对性及所行距离可知，甲虫现在距离甲地（厘米） 答：这时甲虫离甲地， 故答案为：． 题型6.角的单位与角度制 【典例】可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度分秒的换算进制； 根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D 【跟踪训练1】如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角．用乘以两针相距的份数的占比是解题关键． 根据钟面的特点，钟面平均分成12份，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪训练2】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型7.三角板组合的角度计算 【典例】如图，一个直角三角板绕其直角顶点C旋转到三角形的位置，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，依据题意可知，然后依据图形间角的和差关系求解即可，掌握图形间角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，原选项符合题意； 、由，原选项不符合题意； 故选：． 【跟踪训练1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 【跟踪训练2】一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 题型8.几何图形中角度求解 【典例】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线OC在外时， ； 综上，的度数为或， 故选C． 【跟踪训练1】已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在外，射线在内，两种情况分别求解即可. 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 当射线在外时，如图2， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 综上所述：或 故答案为：或． 【跟踪训练2】如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可分为当在的左边时，当在的右边时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 题型9.角度的四则运算方法 【典例】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是掌握． 根据进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练2】从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 题型10.角平分线的性质与计算 【典例】如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 【跟踪训练1】直线与相交于E点，，平分，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 由平分可得出，因而易求，的度数． 【详解】解：，平分，且， ， ， ． 故答案为：，． 【跟踪训练2】如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的意义，利用代数的方法解决几何的问题也是常用的方法，有时则会更简捷. 根据角平分线的意义，设，根据，，分别表示出图中的各个角，然后再计算的值即可. 【详解】如图：∵平分， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ 则的值 故答案为：． 题型11.余角的定义与求解方法 【典例】如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查了互余的定义，掌握余角的定义“如果∠A+∠B=90°，那么∠A和∠B互余”成为解题的关键． 求出，，再根据互余的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴图中互为余角的角有和，和，和，和，共4对． 故选：C． 【跟踪训练1】一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 题型12.补角的定义与求解方法 【典例】若，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的计算，熟记互为补角的两个角的和等于是解题的关键． 根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故答案为：． 【跟踪训练1】若，则补角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义以及角的度分秒换算，正确理解补角的定义是解题的关键．根据补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：D． 【跟踪训练2】已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 【答案】150 【分析】该题主要考查了补角的计算，解一元一次方程等知识点，解题的关键是列出方程． 根据是的补角，是的补角，得出，，结合，，列出方程即可求解． 【详解】解：∵是的补角，是的补角， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：150． 题型13.余角.补角的综合计算. 【典例】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 【跟踪训练1】一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角，找准等量利用方程计算是解题的关键． 利用余角和补角的关系列方程解题即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意，得， 解得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键． 由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 题型14.等角的余(补)角相等的应用 【典例】若与互余，与互余，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角的性质，掌握余角的性质是解答本题的关键． 根据等角的余角相等即可求解． 【详解】解：与互余，与互余，，， ． 故选：B． 【跟踪训练1】如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【详解】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 1．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 2．如图，学校在小刚家北偏 的方向上；电信局在小刚家 偏 的方向上；地铁站在小刚家 的方向上；公园在小刚家 偏 的方向上． 【答案】 西 北 东 南偏东 南 西 【分析】本题考查的是方向角的含义，根据方向角的含义即可得到答案． 【详解】解：根据题意：学校在小刚家北偏西的方向上；电信局在小刚家北偏东的方向上；地铁站在小刚家南偏东的方向上；公园在小刚家南偏西的方向上． 故答案为：西，北，东，南偏东，南，西． 3．钟表上2时30分时，时针与分针所成的角是（　　） A． B． C． D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一大格是30度，分针一分钟走，时针一分钟走，进行计算即可． 【详解】解：∵2点30分，时针指向2和3的中间，分针指向6，中间相差3大格半， 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴2点30分分针与时针的夹角是． 故选：B． 4．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 5．如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和度分秒的换算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三等分线的定义可得，进而求得的度数，再根据即可求解． 【详解】 、是的三等分线， ， ， ， ； 故答案为：D 6．一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，根据题意分当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，四种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 当靠近时，则或 ∴或，此时均不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 7．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 8．下列说法：①单项式的系数是；②圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例关系；③如果，那么是线段的中点；④一个角的余角一定比这个角大；⑤连接两点间的线段，叫做这两点的距离；其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查单项式系数，圆柱体积公式，线段中点定义，余角概念以及两点间距离定义等多个数学知识点，解题的关键是准确掌握并能正确运用这些概念进行判断． 【详解】对于①：单项式的系数是，①错误； 对于②：圆柱的体积公式为（是体积，是底面积，是高），当体积一定时，底面积增大，高就减小；底面积减小，高就增大，所以它的底面积和高成反比例关系，②正确； 对于③：如果点在线段上，且，那么点是线段的中点；但如果点不在线段上，即使也不是线段的中点，③错误； 对于④：当这个角为时，它的余角为，此时余角比这个角小，所以一个角的余角不一定比这个角大，④错误； 对于⑤：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，而不是连接两点间的线段就是两点的距离，⑤错误． 综上，只有②正确，正确的个数为 1 个． 故选 D 项． 9．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 11．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 12．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 13．如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 14.．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 15．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $