期末复习06几何图形初步讲义（二）(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版七年级数学上册

本初中数学几何图形初步复习讲义通过表格对比、动态静态双角度分析构建知识体系，系统梳理点线面体的定义关系、平面图形旋转及截面分析等核心内容，用思维导图呈现直线射线线段的区别联系，明晰重难点内在逻辑，培养空间观念与几何直观。 讲义亮点在于“动态问题探究”等题型设计，如线段动点距离关系分析，结合易错点辨析培养推理意识。典例与跟踪专练分层设置，基础题巩固概念，综合题提升创新意识，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

期末复习06 几何图形初步讲义（二） 1.点.线.面.体的层级关联与转化 2.平面图形旋转形成的立体图形 3.几何体的截面分析 4.直线.射线.线段的规范绘制 5.直线.射线.线段的数量规律探究 6.直线相交的交点个数分析 7.“两点确定一条直线”的原理与应用 8.线段的和差运算 9.线段中点的计算问题 10.线段间的数量关系推导 11.线段相关的动点动态问题 12.“两点之间线段最短”的性质 13.两点间距离的定义与计算 14.几何中的最短路径求解 【知识点01】点.线.面.体的定义 一.核心概念定义 *点：几何中最基本的图形，无大小、无形状，是线的端点。 *线：分为直线（向两端无限延伸）、射线（向一端无限延伸，有 1 个端点）、线段（有 2 个端点，可度量长度）。 *面：分为平面（如桌面）和曲面（如球面），是体的边界。 *体：由面围成的立体图形，有体积和形状（如正方体、圆柱）。 二.点、线、面、体的关系 动态角度：点动成线（如笔尖画线）、线动成面（如刷子刷墙）、面动成体（如长方形旋转成圆柱）。 静态角度：体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点。 【知识点02】点.线.面.体的转化判断(高频基础考点) 一、转化逻辑（核心依据） 记住 3 个动态关系： 1.点动成线：单个点的运动轨迹形成线（直线 / 曲线）。 2.线动成面：一条线（直线 / 曲线）的运动轨迹形成面（平面 / 曲面）。 3.面动成体：一个面（平面 / 曲面）的运动轨迹形成立体图形。 二、典型例题 + 判断思路 实际场景 对应转化 判断思路 笔尖在纸上写字留下痕迹 点动成线 笔尖（点）的运动形成线（笔画） 流星划过夜空的光亮轨迹 点动成线 流星（点）的运动形成线（光带） 用粉笔在黑板上涂出一片区域 线动成面 粉笔（线）的滑动形成面（涂色区域） 电风扇扇叶转动形成的圆形区域 线动成面 扇叶（线）的旋转形成面（圆形） 旋转一枚硬币形成 “球” 的视觉效果 面动成体 硬币（圆形面）旋转形成体（球） 用长方形硬纸快速旋转形成圆柱 面动成体 长方形（面）旋转形成体（圆 易混淆场景辨析 1.易错：“旋转门转动的区域”→ 属于面动成体（旋转门是 “面”，转动后形成圆柱状空间）。 2.易错：“用扫帚扫地的区域”→ 属于线动成面（扫帚的杆是 “线”，扫动后形成面） 【知识点03】平面图形旋转成的立体图形(高频考点) 一、常考组合（平面图形 + 旋转轴→立体图形） 平面图形 旋转轴 形成的立体图形 长方形 / 正方形 绕其一条边（垂直边） 圆柱 直角三角形 绕其一条直角边 圆锥 半圆 绕其直径 球 直角梯形 绕其垂直于底边的腰 圆台 矩形（绕对角线） 绕其一条对角线 双圆锥（两个圆锥底面重合） 二、判断技巧 1.先确定平面图形的形状（是否有直角、曲线等）； 2.再确定旋转轴的位置（绕边 / 轴旋转）； 3.想象 “面的运动轨迹”：直线边旋转成圆柱 / 圆锥的侧面，曲线边旋转成曲面（如半圆转成球面）。 易错题示例 题目：“绕等腰三角形的底边旋转一周”→ 形成两个同底的圆锥拼接体（不是单个圆锥，因为旋转轴是底边，而非直角边）。 题目：“绕平行四边形的一条边旋转”→ 形成斜圆柱（区别于长方形旋转的正圆柱）。 【知识点04】几何体的截面形状(高频考点) 常见几何体的截面情况 1. 正方体（最常考） 截面最多能截出六边形（因为正方体有 6 个面，截面最多与 6 个面相交）； 可能的截面： *三角形（锐角三角形，不能截出直角 / 钝角三角形）； *四边形（正方形、长方形、平行四边形、梯形）； *五边形、六边形。 2. 圆柱 *平行于底面截：圆； *垂直于底面截：长方形（或正方形，当圆柱底面直径 = 高时）； *斜着截：椭圆（或椭圆的一部分）。 3. 圆锥 *平行于底面截：圆； *垂直于底面截（过顶点）：等腰三角形； *斜着截（不过顶点）：椭圆（或抛物线形）。 4. 球 *无论怎么截，截面都是圆（大小可能不同）。 易错点提醒 1.正方体不能截出 “直角三角形”：因为正方体的面都是直角，截面三角形的内角最大为锐角； 2.圆柱斜截≠长方形：只有垂直于底面截才是长方形，斜截是椭圆。 【知识点05】直线.射线.线段核心定义 一、核心定义（基础必备） 1. 直线 定义：把线段向两端无限延伸所形成的图形，无端点，不可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（直线上任意两点）：如直线 AB、直线 BA； 用一个小写字母：如直线 l。 基本性质：两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线）。 2. 射线 定义：把线段向一端无限延伸所形成的图形，有 1 个端点，不可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（端点在前，射线上另一点在后）：如射线 OA（O 为端点，A 为射线上一点），不能写成射线 AO； 用一个小写字母：如射线 l（需明确端点位置）。 关键特征：具有方向性，端点不同或延伸方向不同，就是不同的射线。 3. 线段 定义：直线上两个点和它们之间的部分，有 2 个端点，可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（两个端点）：如线段 AB、线段 BA； 用一个小写字母：如线段 a。 基本性质：两点之间，线段最短（两点之间的所有连线中，线段的长度最短）； 衍生概念：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 【知识点06】射线.直线.线段的区别与联系 1. 区别（核心对比） 图形 端点数量 延伸性 能否度量长度 表示方法注意点 直线 0 个 向两端无限延伸 不能 两点无顺序，小写字母可表示 射线 1 个 向一端无限延伸 不能 端点字母必须在前 线段 2 个 不能延伸 能 两点无顺序，可直接量长度 2. 联系 *射线、线段都是直线的一部分； *线段向一端延伸得到射线，向两端延伸得到直线； *直线上取一点可分成两条射线，取两点可分成一条线段。 【知识点07】高频考点梳理 1. 概念辨析题 易错点： *误认为 “射线 AB 与射线 BA 是同一条射线”（端点不同，方向不同，不是同一条）； *混淆 “直线的性质”（两点确定一条直线）与 “线段的性质”（两点之间线段最短）； *错误表述 “延长直线 AB”（直线本身无限延伸，无需延长，可表述 “延长线段 AB”）。 2. 计数问题（直线、射线、线段的数量） *直线计数：过 n 个点（任意三点不共线），可画2n(n−1)​条直线；若有 m 个点共线，需扣除重复计数。 例：过 3 个任意不共线的点，可画 3 条直线；过 4 个点（其中 3 个共线），可画 4 条直线。 *射线计数：过一点可画无数条射线；过直线上一点 O，直线上另有 A、B 两点，则以 O 为端点的射线有 2 条（射线 OA、射线 OB）。 线段计数：直线上有 n 个点（包括端点），线段总数为2n(n−1)​。 例：直线上有 4 个点 A、B、C、D，线段有 AB、AC、AD、BC、BD、CD，共 6 条（24×3​=6）。 3. 作图题 要求：用直尺规范作图，标注字母，语言描述准确。 常见题型： *(1)画直线 AB、射线 BC、线段 AC； *(2)延长线段 AB 到点 D，使 BD=AB（反向延长线段 BA 同理）； *(3)用尺规作一条线段等于已知线段（无刻度直尺 + 圆规）。 4. 实际应用 直线性质应用：植树时 “两点确定一条直线” 保证树成一排；射击瞄准利用 “两点确定一条直线”。 线段性质应用：修路时 “两点之间线段最短” 节省路程；求两地之间的最短距离。 易错点汇总 1.术语错误：“直线比射线长”“射线比线段长”（均不可度量，无法比较长度）； 2.表示错误：射线写成 “射线 AB”（A 非端点）、直线写成 “直线 aB”（大小写混用）； 3.作图错误：延长直线、射线（只能延长线段，反向延长射线）； 4.计数错误：数线段时遗漏组合（如直线上 4 个点，漏数 AC、BD 等） 题型1.点.线.面.体的层级关联与转化 1．直线.射线.线段的规范绘制 【典例】硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【跟踪专练1】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【跟踪专练2】下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 题型2.平面图形旋转形成的立体图形 【典例】将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【跟踪专练1】已知柱体的体积，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．如图，现将长方形绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积为 ．（结果保留π） 【跟踪专练2】如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 题型3.几何体的截面分析 【典例】一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．球体 C．圆柱 D．以上都有可能 【跟踪专练1】用一个平面去截如图所示的五棱柱，所能截出的边数最多的截面是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【跟踪专练2】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么剩下的几何体可能有 个顶点． 题型4.直线.射线.线段的规范绘制 【典例】下列说法正确的是（    ）． A．延长到点C，使 B．延长线段到点C，使C为的中点 C．延长线段到点C，使 D．反向延长线段到点C，使 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 【跟踪专练2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 题型5.直线,射线.线段的数量规律探究 【典例】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【跟踪专练1】如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【跟踪专练2】素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 题型6.直线相交的交点个数分析 【典例】平面上5条直线最多能把平面分成（   ）部分．. A．15 B．16 C．18 D．不能确定 【跟踪专练1】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【跟踪专练2】两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点 题型7.“两点确定一条直线”的原理与应用 【典例】植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【跟踪专练1】平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ． 【跟踪专练2】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型8.线段的和差运算 【典例】已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【跟踪专练1】定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 【跟踪专练2】如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 题型9.线段中点的计算问题. 【典例】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 【跟踪专练2】中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 题型10.线段间的数量关系推导 【典例】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【跟踪专练1】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 题型11.线段相关的动点动态问题 【典例】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 题型12.“两点之间线段最短”的性质 【典例】如图为短道速滑运动员练习时从点A到点B的两种滑行路径，下列说法正确的是（   ） A．甲路径短 B．乙路径短 C．甲、乙一样长 D．以上都不对 【跟踪专练1】平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【跟踪专练2】如图所示，在直线l上有若干个点、、…、，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段上的一个动点．    （1）当时，当点P在点 （填、或）的位置时，点P分别到点、，的距离之和最小； （2）当时，则点P分别到点、、…、的距离之和的最小值是 题型13.两点间距离的定义与计算 【典例】已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【跟踪专练1】把线段 延长到点 P，使 ，点A为的中点，点B为的中点，则 ． 【跟踪专练1】下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 题型14.几何中的最短路径求解 【典例】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【跟踪专练2】如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．    1．流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 2．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 3．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 5．M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 6．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．（结果保留） .8．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 9．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 10．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 11．如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是______． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，所得截面形状是______． (3)求截面的最大面积． 12．如图，已知平面上四个点，，，，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)延长线段上到点，使；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)结合图形，比较线段和线段的长短，得__________．（填“>”或“<”或“=”） 13．【提出问题】 如图，已知四点，，，表示四个村庄，村民们准备合打一口水井，使水井到各村庄的距离之和最小． 【动手操作】 （1）请你在图中画出射线、线段，并画出水井的位置点； 【解决问题】 （2）经过招标，水井由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要8天，乙工程队单独完成需要12天，且甲工程队比乙工程队每天多修建． ①问水井要修建多少米？ ②甲工程队每天的施工费为5000元，乙工程队每天的施工费用是2500元．若甲工程队先工作了4天后因有其他任务，剩余工程由乙队完成施工任务，求完成全部工程共需施工费多少元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）． 14．如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 15．如图，线段AB＝20厘米，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒． （1）当点C与点B重合时，t＝　 　秒； （2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由． （3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动． ①当点P与点M重合时，求线段CN的长． ②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值． 16．如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06 几何图形初步讲义（二） 1.点.线.面.体的层级关联与转化 2.平面图形旋转形成的立体图形 3.几何体的截面分析 4.直线.射线.线段的规范绘制 5.直线.射线.线段的数量规律探究 6.直线相交的交点个数分析 7.“两点确定一条直线”的原理与应用 8.线段的和差运算 9.线段中点的计算问题 10.线段间的数量关系推导 11.线段相关的动点动态问题 12.“两点之间线段最短”的性质 13.两点间距离的定义与计算 14.几何中的最短路径求解 【知识点01】点.线.面.体的定义 一.核心概念定义 *点：几何中最基本的图形，无大小、无形状，是线的端点。 *线：分为直线（向两端无限延伸）、射线（向一端无限延伸，有 1 个端点）、线段（有 2 个端点，可度量长度）。 *面：分为平面（如桌面）和曲面（如球面），是体的边界。 *体：由面围成的立体图形，有体积和形状（如正方体、圆柱）。 二.点、线、面、体的关系 动态角度：点动成线（如笔尖画线）、线动成面（如刷子刷墙）、面动成体（如长方形旋转成圆柱）。 静态角度：体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点。 【知识点02】点.线.面.体的转化判断(高频基础考点) 一、转化逻辑（核心依据） 记住 3 个动态关系： 1.点动成线：单个点的运动轨迹形成线（直线 / 曲线）。 2.线动成面：一条线（直线 / 曲线）的运动轨迹形成面（平面 / 曲面）。 3.面动成体：一个面（平面 / 曲面）的运动轨迹形成立体图形。 二、典型例题 + 判断思路 实际场景 对应转化 判断思路 笔尖在纸上写字留下痕迹 点动成线 笔尖（点）的运动形成线（笔画） 流星划过夜空的光亮轨迹 点动成线 流星（点）的运动形成线（光带） 用粉笔在黑板上涂出一片区域 线动成面 粉笔（线）的滑动形成面（涂色区域） 电风扇扇叶转动形成的圆形区域 线动成面 扇叶（线）的旋转形成面（圆形） 旋转一枚硬币形成 “球” 的视觉效果 面动成体 硬币（圆形面）旋转形成体（球） 用长方形硬纸快速旋转形成圆柱 面动成体 长方形（面）旋转形成体（圆 易混淆场景辨析 1.易错：“旋转门转动的区域”→ 属于面动成体（旋转门是 “面”，转动后形成圆柱状空间）。 2.易错：“用扫帚扫地的区域”→ 属于线动成面（扫帚的杆是 “线”，扫动后形成面） 【知识点03】平面图形旋转成的立体图形(高频考点) 一、常考组合（平面图形 + 旋转轴→立体图形） 平面图形 旋转轴 形成的立体图形 长方形 / 正方形 绕其一条边（垂直边） 圆柱 直角三角形 绕其一条直角边 圆锥 半圆 绕其直径 球 直角梯形 绕其垂直于底边的腰 圆台 矩形（绕对角线） 绕其一条对角线 双圆锥（两个圆锥底面重合） 二、判断技巧 1.先确定平面图形的形状（是否有直角、曲线等）； 2.再确定旋转轴的位置（绕边 / 轴旋转）； 3.想象 “面的运动轨迹”：直线边旋转成圆柱 / 圆锥的侧面，曲线边旋转成曲面（如半圆转成球面）。 易错题示例 题目：“绕等腰三角形的底边旋转一周”→ 形成两个同底的圆锥拼接体（不是单个圆锥，因为旋转轴是底边，而非直角边）。 题目：“绕平行四边形的一条边旋转”→ 形成斜圆柱（区别于长方形旋转的正圆柱）。 【知识点04】几何体的截面形状(高频考点) 常见几何体的截面情况 1. 正方体（最常考） 截面最多能截出六边形（因为正方体有 6 个面，截面最多与 6 个面相交）； 可能的截面： *三角形（锐角三角形，不能截出直角 / 钝角三角形）； *四边形（正方形、长方形、平行四边形、梯形）； *五边形、六边形。 2. 圆柱 *平行于底面截：圆； *垂直于底面截：长方形（或正方形，当圆柱底面直径 = 高时）； *斜着截：椭圆（或椭圆的一部分）。 3. 圆锥 *平行于底面截：圆； *垂直于底面截（过顶点）：等腰三角形； *斜着截（不过顶点）：椭圆（或抛物线形）。 4. 球 *无论怎么截，截面都是圆（大小可能不同）。 易错点提醒 1.正方体不能截出 “直角三角形”：因为正方体的面都是直角，截面三角形的内角最大为锐角； 2.圆柱斜截≠长方形：只有垂直于底面截才是长方形，斜截是椭圆。 【知识点05】直线.射线.线段核心定义 一、核心定义（基础必备） 1. 直线 定义：把线段向两端无限延伸所形成的图形，无端点，不可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（直线上任意两点）：如直线 AB、直线 BA； 用一个小写字母：如直线 l。 基本性质：两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线）。 2. 射线 定义：把线段向一端无限延伸所形成的图形，有 1 个端点，不可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（端点在前，射线上另一点在后）：如射线 OA（O 为端点，A 为射线上一点），不能写成射线 AO； 用一个小写字母：如射线 l（需明确端点位置）。 关键特征：具有方向性，端点不同或延伸方向不同，就是不同的射线。 3. 线段 定义：直线上两个点和它们之间的部分，有 2 个端点，可度量长度。 表示方法： 用两个大写字母（两个端点）：如线段 AB、线段 BA； 用一个小写字母：如线段 a。 基本性质：两点之间，线段最短（两点之间的所有连线中，线段的长度最短）； 衍生概念：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 【知识点06】射线.直线.线段的区别与联系 1. 区别（核心对比） 图形 端点数量 延伸性 能否度量长度 表示方法注意点 直线 0 个 向两端无限延伸 不能 两点无顺序，小写字母可表示 射线 1 个 向一端无限延伸 不能 端点字母必须在前 线段 2 个 不能延伸 能 两点无顺序，可直接量长度 2. 联系 *射线、线段都是直线的一部分； *线段向一端延伸得到射线，向两端延伸得到直线； *直线上取一点可分成两条射线，取两点可分成一条线段。 【知识点07】高频考点梳理 1. 概念辨析题 易错点： *误认为 “射线 AB 与射线 BA 是同一条射线”（端点不同，方向不同，不是同一条）； *混淆 “直线的性质”（两点确定一条直线）与 “线段的性质”（两点之间线段最短）； *错误表述 “延长直线 AB”（直线本身无限延伸，无需延长，可表述 “延长线段 AB”）。 2. 计数问题（直线、射线、线段的数量） *直线计数：过 n 个点（任意三点不共线），可画2n(n−1)​条直线；若有 m 个点共线，需扣除重复计数。 例：过 3 个任意不共线的点，可画 3 条直线；过 4 个点（其中 3 个共线），可画 4 条直线。 *射线计数：过一点可画无数条射线；过直线上一点 O，直线上另有 A、B 两点，则以 O 为端点的射线有 2 条（射线 OA、射线 OB）。 线段计数：直线上有 n 个点（包括端点），线段总数为2n(n−1)​。 例：直线上有 4 个点 A、B、C、D，线段有 AB、AC、AD、BC、BD、CD，共 6 条（24×3​=6）。 3. 作图题 要求：用直尺规范作图，标注字母，语言描述准确。 常见题型： *(1)画直线 AB、射线 BC、线段 AC； *(2)延长线段 AB 到点 D，使 BD=AB（反向延长线段 BA 同理）； *(3)用尺规作一条线段等于已知线段（无刻度直尺 + 圆规）。 4. 实际应用 直线性质应用：植树时 “两点确定一条直线” 保证树成一排；射击瞄准利用 “两点确定一条直线”。 线段性质应用：修路时 “两点之间线段最短” 节省路程；求两地之间的最短距离。 易错点汇总 1.术语错误：“直线比射线长”“射线比线段长”（均不可度量，无法比较长度）； 2.表示错误：射线写成 “射线 AB”（A 非端点）、直线写成 “直线 aB”（大小写混用）； 3.作图错误：延长直线、射线（只能延长线段，反向延长射线）； 4.计数错误：数线段时遗漏组合（如直线上 4 个点，漏数 AC、BD 等） 题型1.点.线.面.体的层级关联与转化 1．直线.射线.线段的规范绘制 【典例】硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的运动关系，熟练掌握“面动成体”的几何原理是解题的关键． 判断硬币（圆面）转动形成球体对应的几何原理，结合点、线、面、体的运动关系分析． 【详解】解：硬币是圆面（面），快速转动时该面的运动形成球体（体），这种现象反映的数学原理是面动成体， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 【跟踪专练2】下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 【答案】C 【分析】本题考查了点动成线、线动成面的知识．根据上述知识，对各选项进行分析即可． 【详解】选项A，用平口铲子铲去墙面上的大片污渍，说明“线动成面”； 选项B，用一条拉直的细线切一块豆腐，说明“线动成面”； 选项C，流星划过天空留下运动轨迹说明“点动成线”； 选项D，用木板的边缘将沙坑里的沙推平，说明“线动成面”. 故选C． 题型2.平面图形旋转形成的立体图形 【典例】将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了点、线、面、体和圆柱体的体积的求法，熟记圆柱体的体积公式是解题关键，根据圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：． 绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱， 如图， 该圆柱的体积为：． 故答案为：或． 【跟踪专练1】已知柱体的体积，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．如图，现将长方形绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱体体积公式，根据已知得出柱体的底面面积是解题的关键． 利用圆柱体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：形成的几何体是高为h，底面圆的半径为的圆柱， ∴形成的几何体的体积为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体得到圆锥，然后分情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 由， 故选：． 题型3.几何体的截面分析 【典例】一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．球体 C．圆柱 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了用一个平面去截一个几何体，解题关键是掌握用一个平面去截一个几何体的方法． 根据几何体的截面性质，圆锥和球体的截面不能是四边形，而圆柱的截面可能为矩形（四边形）． 【详解】A．圆锥的截面可能是三角形、圆或椭圆，但不可能是四边形； B．球体的截面总是圆，不可能是四边形； C．圆柱的截面当平行于轴线时为矩形（四边形）； D．综上可知D不正确； 故选：C． 【跟踪专练1】用一个平面去截如图所示的五棱柱，所能截出的边数最多的截面是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】本题考查了截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关；一个五棱柱由5个侧面和2个底面构成，根据截面经过几个面，得到的多边形就是几边形. 【详解】解：∵一个五棱柱由5个侧面和2个底面构成，它有7个面， ∴截面最多是七边形. 故选：C. 【跟踪专练2】用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么剩下的几何体可能有 个顶点． 【答案】或或或 【分析】本题考查了截一个几何体，理解截面的形状与原几何体的特征之间的关系是正确判断的前提．根据截去的几何体是一个三棱锥，则截面为三角形，根据截面与正方体顶点和棱的不同位置关系，剩下的几何体的顶点数可能发生变化，据此分不同情况讨论，即可解答． 【详解】解：∵截去的几何体是一个三棱锥， ∴截面为三角形， ∴如图所示， 当截面通过三个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过一条棱上的点和两个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过两条棱上的点和一个顶点时，剩下的几何体顶点数为个； 当截面通过三条棱上的点（非顶点）时，剩下的几何体顶点数为个； 因此，剩下的几何体可能有或或或个顶点， 故答案为：或或或． 题型4.直线.射线.线段的规范绘制 【典例】下列说法正确的是（    ）． A．延长到点C，使 B．延长线段到点C，使C为的中点 C．延长线段到点C，使 D．反向延长线段到点C，使 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段延长的方法，根据线段延长的方式逐项求解判断即可． 【详解】解：、延长到点C，使不成立，没有说明点D的位置，说法错误，不符合题意； 、延长线段到点C，不能使C为的中点，说法错误，不符合题意； 、延长线段到点C，使，说法正确，符合题意； 、反向延长线段到点C，不能使，说法错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 【详解】A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 题型5.直线,射线.线段的数量规律探究 【典例】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【跟踪专练1】如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 【跟踪专练2】素养提升： 如果平面上有个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多画 条直线． 能否通过以上发现，解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么一共要握 次手． 【答案】 990 【分析】本题主要考查规律型图形的变化类，根据每一个点可以与其他个点分别连接生成条直线，去掉重复的即可得到个点（每3个点均不在1条直线上），最多画（条直线．根据每一个人可以与其他44握手一次，每人44次，即可求解． 【详解】∵每一个点可以与其他个点连接生成条直线， ∴个点最多画直线数量为 ∵某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两人握1次手问好，则每一个人可以与其他44握手一次，每人44次， ∴45人一共要握手（次． 故答案为：，990． 题型6.直线相交的交点个数分析 【典例】平面上5条直线最多能把平面分成（   ）部分．. A．15 B．16 C．18 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线分平面区域的规律探究，解题的关键是掌握“第n条直线与前条直线最多交于个点，可使平面新增n个部分”的规律，进而推导最多分平面的部分数． 先从少量直线入手推导规律：1条直线分平面2部分，2条直线最多分4部分（新增2部分），3条直线最多分7部分（新增3部分），4条直线最多分部分（新增4部分），以此类推，n条直线最多分平面部分数为；再代入计算，得到5条直线最多分平面的部分数，匹配选项． 【详解】解：直线分平面最多部分数遵循规律：第n条直线与前条直线最多交个点，新增n个部分，总部分数为． 当时，部分数时，时，时，时，． 5条直线最多能把平面分成部分，对应选项B． 故选：B． 【跟踪专练1】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点依此类推，8条直线最多有 个交点 【答案】28 【分析】读懂题意，找到规律即可． 【详解】解：由题意得，两条直线最多有个交点， 3条直线最多有个交点， 4条直线最多有个交点， …… 条直线最多有个交点， 8条直线最多有个交点， 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 题型7.“两点确定一条直线”的原理与应用 【典例】植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，将两个树坑看作两个点，根据两点确定一条直线可知能使同一行树坑在一条直线上． 【详解】解：将两个树坑看作两个点，则植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是两点确定一条直线． 故选：A． 【跟踪专练1】平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了平面上直线的确定方法，解答问题的关键是运用分类讨论思想，考虑到可能出现的所有情况． 分类画出图形即可求得画的直线的条数． 【详解】解:如下图，分以下四种情况： 当五点在同一直线上，如图： 故可以画条不同的直线； 当有四个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当有两个三点在同一直线上， 故可以画条不同的直线； 当有三个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当五个点都不在同一直线上时， 因此当时，一共可以画条直线， 故可以作条、条、条，条或条直线， 故答案为：、、、或． 【跟踪专练2】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 题型8.线段的和差运算 【典例】已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 【跟踪专练1】定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 【答案】或或或 【分析】本题考查了线段的概念，把握“巧分点”的定义，分类讨论是解题的关键；根据“巧分点”的定义分类讨论即可得到答案. 【详解】解：∵点P在线段上，根据题意   当时；则；   当时；则 ； 当时；则，所以，即；     当时；则，所以； 故答案为：或或或. 【跟踪专练2】如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 【答案】A 【分析】本题考查了线段，先求出以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和，然后根据居已知可得所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数，从而进行计算即可解答， 【详解】解：以、、、这四点中任意两点为端点有：、、、、、等，共六条， ， ∵，线段的长度是-个正整数， ∴所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数， A、是的倍数，故A符合题意； B、不是的倍数，故B不符合题意； C、不是的倍数，故C不符合题意； D、不是的倍数，故D不符合题意； 故选A． 题型9.线段中点的计算问题. 【典例】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差． 根据的周长和四边形的周长相等得到，根据点是的中点，得到，根据得到，最后将，代入求解即可． 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则 ．若，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键． （1）由为的中点，为的中点得到, 则可计算出, 再利用为的中点得到, 求解出结果； （2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解； 【详解】 解：（1）为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， （2）①当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为：或， 故答案为：；或． 题型10.线段间的数量关系推导 【典例】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较常用的方法：度量法、叠合法，（1）度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，在根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的；（2）叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，在看另一端的位置，从而确定两条线段的长度，这是从“形”的方面来比较的，据此解答即可． 【详解】解：A、通过观察不一定能说明线段比线段短，不符合题意； B、用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，说明线段比线段长，不符合题意； C、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上，说明线段比线段短，符合题意； D、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上，说明线段比线段长，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 【跟踪专练2】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 题型11.线段相关的动点动态问题 【典例】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 题型12.“两点之间线段最短”的性质 【典例】如图为短道速滑运动员练习时从点A到点B的两种滑行路径，下列说法正确的是（   ） A．甲路径短 B．乙路径短 C．甲、乙一样长 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键． 根据两点之间线段最短解答即可得． 【详解】解：由两点之间线段最短可知，在两种滑行路径中，甲路径比乙路径短． 故选：A． 【跟踪专练1】平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，在直线l上有若干个点、、…、，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段上的一个动点．    （1）当时，当点P在点 （填、或）的位置时，点P分别到点、，的距离之和最小； （2）当时，则点P分别到点、、…、的距离之和的最小值是 【答案】 12 【分析】本题考查的是两点之间的距离的含义，掌握“奇点偶段”是解本题的关键； （1）根据“奇点偶段”可得当P在处，点P到点、，的距离之和最小； （2）根据“奇点偶段”可得当P点的位置时，点P分别到点、、…、的距离之和最小，再求解最小值即可． 【详解】解：（1）当P在处， ∴， ∴点P到点、，的距离之和最小； （2）如图，当点P在点的位置时，点P分别到点、、…、的距离之和最小，    最小值为 ， 故答案为：、12． 题型13.两点间距离的定义与计算 【典例】已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 【跟踪专练1】把线段 延长到点 P，使 ，点A为的中点，点B为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的性质，线段的和差等知识点，根据题意画出图形，再根据线段中点定义和两点间的距离计算即可得出答案，熟练掌握两点的距离计算及线段的和差计算是解决本题的关键． 【详解】如图所示： ∵点A为的中点，点B为的中点， ， ∵ ， ∴， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法正确的个数为（    ） ①过两点有且只有一条直线；②射线和射线表示同一条射线；③两点之间的线段叫做两点间的距离；④如果，则点B是线段的中点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查直线的性质，射线的定义，两点间的距离，线段的中点，根据相关性质和定义逐一进行判断即可． 【详解】解：过两点有且只有一条直线；故①正确； 射线和射线表示两条射线；故②错误； 两点之间的线段的长度叫做两点间的距离；故③错误； 如果，且点在线段上，则点B是线段的中点；故④错误； 故选：A． 题型14.几何中的最短路径求解 【典例】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【跟踪专练1】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 【跟踪专练2】如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，蚂蚁爬行的最短路线有 条．    【答案】6 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线． 【详解】解：根据两点之间线段最短可知，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线，分6种情况：①前面和下面展开在一起时；②前面和右面展开在一起时；③上面和后面展开在一起时；④上面和右面展开在一起时；⑤左面和后面展开在一起时；⑥左面和下面展开在一起时． 故答案为：6． 【点睛】本题考查正方体的展开图，线段的性质，具备一定的空间想象能力是解题的关键． 1．流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象： ． 【答案】点动成线 【分析】根据点动成线进行回答即可． 【详解】流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 2．如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误； ③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 3．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，尺规作线段，根据作图结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴； 故选C． 4．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，数形结合是解题的关键； 根据题意写出图中所有线段之和，再分组，利用线段的和与差，将所求结果用含和的式子表示，再代入计算即可． 【详解】记图中所有线段之和等于S，则 ， ， ， ， ． ，， ． 图中所有线段长度之和等于2024． 故选：D． 5．M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 6．平面上有五个点，其中只有三点在一条直线上，此外无其他三点共线，经过这些点可以作直线的条数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，作出草图即可得解． 【详解】解：如图，共有8条直线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点确定一条直线的性质，解决问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解更加形象直观． 7．将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据面动成体，分两种情况解答，再比较体积大小即可． 【详解】解：长方形绕其一边旋转一周形成圆柱体， 当绕长度为3的边旋转时，得到底面半径为4、高为3的圆柱体，体积为 ， 当绕长度为4的边旋转时，得到底面半径为3、高为4的圆柱体，体积为 ， 比较得体积最大值为， 故答案为：． .8．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 9．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 10．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ． 【答案】15条或14条或12条或13条 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论． 【详解】 ①（条）； ② （条）； ③ （条）； ④ （条）； 答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条 故答案为：15条或14条或12条或13条 【点睛】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条棱是解题关键． 11．如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是______． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，所得截面形状是______． (3)求截面的最大面积． 【答案】(1)圆柱 (2)长方形 (3) 【分析】本题主要考查的是截一个几何体，点、线、面、体，掌握图形的空间结构是解题关键． （1）长方形绕直线旋转一周得到一个圆柱体； （2）用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， （3）沿线段的方向截所得的几何体的中轴截面最大． 【详解】（1）解：根据题意可知，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：因为把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 所以用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， 故答案为：长方形； （3）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：． 12．如图，已知平面上四个点，，，，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)延长线段上到点，使；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)结合图形，比较线段和线段的长短，得__________．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)< 【分析】本题考查作图图复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可； （2）以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，点即为所求； （3）根据叠合法比较即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，可得， 故答案为：<． 13．【提出问题】 如图，已知四点，，，表示四个村庄，村民们准备合打一口水井，使水井到各村庄的距离之和最小． 【动手操作】 （1）请你在图中画出射线、线段，并画出水井的位置点； 【解决问题】 （2）经过招标，水井由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要8天，乙工程队单独完成需要12天，且甲工程队比乙工程队每天多修建． ①问水井要修建多少米？ ②甲工程队每天的施工费为5000元，乙工程队每天的施工费用是2500元．若甲工程队先工作了4天后因有其他任务，剩余工程由乙队完成施工任务，求完成全部工程共需施工费多少元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）． 【答案】（1）见解析；（2）①水井要修建12米；②完成全部工程共需施工费35000元 【分析】本题考查了射线、线段的特征、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键． （1）根据射线和线段的定义画出射线、线段，连接和，交点即为点M； （2）①设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，然后列一元一次方程求解即可； ②根据计费方式计算即可． 【详解】解：（1）如图所示，射线，线段即为所求； 连接，与交于点，水井点到各村庄的距离之和最小． （2）①设乙工程队每天修建米，则甲工程队每天修建米 可列方程：， 解得． ，所以水井要修建12米． ②由①知甲工程队每天修建1.5米，乙工程队每天修建1米， 甲工程队修建4天共完成米， 剩余工程由乙队完成施工需要天， 则完成全部工程共需施工费：， 所以，完成全部工程共需施工费35000元． 14．如图1，直线上从左到右有两条线段：，且满足． (1)求线段的长； (2)将线段向右移动到线段上，如图2．若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； (3)线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，线段不动，，始终分别为，的中点．若运动6秒后，，直接写出运动前点，之间的距离． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据题意，求出此时，再利用线段中点的定义结合图形即可求解； （3）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的中点， ∴，， 若6秒后，在点左边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 若6秒后，在点右边时， ∵， ∴此时，点重合， ∴运动前点，之间的距离为； 综上，运动前点，之间的距离为或． 15．如图，线段AB＝20厘米，点C以每秒钟2厘米的速度从点A匀速运动到点B，当点C与点B重合时运动停止．点M为线段AC中点，点N为线段BC中点．设运动时间为t（t≠0）秒． （1）当点C与点B重合时，t＝　 　秒； （2）在运动过程中，MN的长度是否与t的取值有关？若有关，请用含有t的代数式表示线段MN的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由． （3）在点C开始运动的同时，点P以每秒钟4厘米的速度从点B出发，在点B和点M之间做往返运动，当点C停止运动时，点P也停止运动． ①当点P与点M重合时，求线段CN的长． ②在运动时间t从第4秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当PM＝3PC时的t值． 【答案】（1）10；（2）与t的取值无关，理由见解析；（3）①6厘米；②秒或8秒 【分析】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，根据时间=路程÷速度，即可求得运动的时间； （2）MN的长度与t的取值无关，根据中点的意义及线段的和差关系即可求得MN的长； （3）①考虑首次重合时，由AM+BP=20，建立方程即可求得t的值，从而可求得CN的长；再考虑有无再次重合的可能，当点P首次回到起点时，点M与点C离点B的距离，即可判断能否再次重合； ②分两种情况：点P位于点C的左侧和点P位于点C的右侧；当点P位于点C左侧时，则有，由此关系式建立方程即可，当点P位于点C右侧时，则有，由此关系式建立方程即可． 【详解】（1）当点C与点B重合时，此时点C运动了20厘米，则运动时间为20÷2=10（秒） 故答案为：10 （2）MN的长度与t的取值无关；理由如下： ∵M、N分别是AC、BC的中点 ∴， ∵AC+BC=20 ∴ 即MN的长度与t的取值无关 （3）①当点P与点M首次重合时，如图 则AM+BP=20 由题意：AC=2t厘米，则AM=t厘米，BP=4t厘米 ∴t+4t=20 解得：t=4 此时AC=2×4=8(厘米)，BC=20−8=12(厘米) ∴ 点P与点M没有第二次重合的可能 点P与点M首次重合时，BP=16厘米，点P要再运动16÷4=4秒才能回到B点，也就是说点P回到起点共花费8秒，此时点M从起点运动了8厘米，则点C运动了16厘米，点C距离终点B只有4厘米，只要2秒即可到达终点，而点P从点B这时只能运动8厘米，点M只能运动2厘米；当点P与点M运动了8秒时，M点与B点相距20−8=12（厘米），但8+2<12，即点P与点M不可能有第二次重合； 故当点P与点M重合时，CN=6厘米； ②由题意，运动4秒后，点M运动了(t−4)厘米，点P运动了4(t−4)厘米 则PM=4(t−4)−(t-4)=(3t−12)厘米 当点P位于点C左侧时，如图所示 ∵PM=3PC 则 ∵ 故得方程： 解得： 当点P位于点C右侧时，如图所示 ∵PM=3PC 则 则 解得：t=8 综上所述，当t为秒或8秒时，PM=3PC 【点睛】本题是线段上动点问题，考查了中点的含义，线段的和差关系，解一元一次方程，分类讨论思想，有一定难度，要善于抓住问题的本质，如（2）问中重合本质是行程问题中的相遇问题；另外注意(2)小题中要考虑是否有第二次重合的可能． 16．如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $