第二十四章圆单元测试题2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第二十四章 圆 单元测试题 一、单选题 1．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆周角，弦，则圆O的直径是（   ） A．3 B． C．6 D． 5．下列说法正确的是（    ） A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 6．如图，将半径为6的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（   ） A． B． C． D． 7．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 8．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为．若，，则值是（   ）． A．27 B．31 C．32 D．37 9．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点 个． 12．如图，四边形内接于，垂直平分半径，则 ． 13．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ． 14．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 15．如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 三、解答题 16．如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． (1)当，时，求的度数． (2)求证：． (3)当时，求证：． 17．如图，是的直径，的一边交于点N． (1)尺规作图：请在上找一点C，过点C作的切线，使，垂足为D；（要求：保留作图痕迹，不写作图过程．） (2)在（1）中所作图中，若，求的半径． 18．如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 19．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 20．如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点. (1)若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） (2)在（1）的条件下： ①若，，求的长； ②设，，当时，求y关于x的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十四章 圆 单元测试题2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C A A D D D 1．D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 3．B 【分析】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所对圆周角的性质． 由同弧圆周角相等得，由直径所对圆周角为直角得，利用直角三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴． ∵是直径， ∴， 在，中 ． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，则有是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴圆O的直径是； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项． 【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误； B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误； C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确； D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误； 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 8．D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、圆心角、弧、弦的关系、三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 如图：设圆的圆心为O，连接，由圆周角定理可得，即，进而得到，则，由旋转的性质得，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：如图：设圆的圆心为O，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 9．D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．D 【分析】①连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，①正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，②正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键． 11．2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键． 由，得到，故直线l与相交，则有两个公共点． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离， ∴，故直线l与相交，有两个公共点， 故答案为：2． 12．60 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，理解题意是解决本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质和等边三角形的判定和性质可得和，则，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接，如下图： ∵垂直平分半径， ∴， 又∵为的半径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：60． 13．/ 【分析】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为， 点经过的路径长为， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 15．/ 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 16．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查作垂线，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质， （1）过点O作，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点G，F，再以点G、F为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点T，连接，交于点D，则； （2）过点O作于点E，得四边形是矩形，从而，，设的半径为r，则，根据勾股定理列得，代入求出r的值即可． 【详解】（1）解：如图，点C及即为所求； （2）过点O作于点E， ∵是的切线，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为r，则， ∵， ∴, 解得， ∴的半径是5． 18．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 19．(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 20．(1)①，②，③，证明见详解 (2)①3，② 【分析】本题考查了圆的基本性质及勾股定理． （1）先证明，得同位角相等，再利用等边对等角即可得解； （2）①连接，可得，则，所以为等腰直角三角形，即，据此求解即可；②由题易得，再分别表示出、，建立方程求出关系式即可． 【详解】（1）解：若①M、N、B三点共线，②，求证：③， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， 此时四边形是矩形， ∴． ②如图，作，连接， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $