专题04 圆（期中真题汇编，北京专用人教版）九年级数学上学期

专题04 圆 4大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角与圆周角 考点03 点直线圆的位置关系 专题04 正多边形和圆 地 城 考点01 垂径定理 一、填空题 1．(24-25九·北京丰台区·期中)如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【答案】1 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 二、解答题 3．(24-25九上·北京·期中调研)如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和勾股定理． （1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 4．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接． (1)求证：： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据同弧所对圆周角相等可得，结合内错角相等，两直线平行即可求证； （2）根据等边对等角可得，结合（1）中的，可得，根据直角三角形两锐角互余可得，在中，根据含角的直角三角形的性质，设，则，，由垂径定理可得，在中，运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵所对的圆周角是， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵与点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，设， ∴，， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵与点， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，同弧所对圆周角相等，等边对等角（等角对等边），平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握同弧所对圆周角相等，等边对等角（等角对等边），含角的直角三角形的性质是解题的关键． 5．(24-25九上·北京·期中)如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 【答案】圆O的半径为米 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 设圆O的半径为米，则米， ∵，为1.8米， ∴米， ∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米， ∴米， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴圆O的半径为米． 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知是的直径，弦，垂足为，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题． （1）连接，证明即可； （2）利用相似三角形的性质求出，再利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：连接． ∵，是直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点作如下变换，将点绕点逆时针旋转得到点，再将点绕点逆时针旋转后得到点，则称点为点的“双逆转点”． (1)若点为线段上的一点，则在点，，中，点的“双逆转点”可能为__________； (2)若点的“双逆转点”在轴上，请写出一个满足条件的点的坐标__________； (3)若点坐标为，点为点的“双逆转点”， ①当长度最短时，求的值； ②已知半径为，若存在过点的直线被所截得的弦长为，则的取值范围为__________． 【答案】(1)，； (2)（答案不唯一，纵坐标为即可）； (3)①；②或． 【分析】（1）根据题意分别画出的“双逆转点”，即可求解； （2）①根据题意将点的“双逆转点”变换得到点，如图所示当点的“双逆转点”，在轴上，将绕点顺时针旋转得到，再绕点顺时针旋转得到点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出的纵坐标为，得出关于点中心对称，进而求得对称中心，根据两点距离列出关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）当在内时，过点的直线被所截得的弦长最小时，则，根据题意得出时，符合题意，进而根据勾股定理求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，将点作变换，则是的“双逆转点”，将作变换，则是的“双逆转点”， 若点为线段上的一点，则在点，，中，点的“双逆转点”可能为，； 故答案为：，；． （2）解：如图所示，当点的“双逆转点”，在轴上，将绕点顺时针旋转得到，再绕点顺时针旋转得到点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵点，则的横坐标为， ∴，即的纵坐标为， ∴若点的“双逆转点”在轴上，满足条件的点的坐标（答案不唯一，纵坐标为即可）； （3）由（1）（2）可得，的“双逆转点”分别为，顺次连接得到 如图所示， 关于点中心对称 ∵点，点，，， ∴， 当为平面内任意一点时，同理可得的中点为， ①∵点坐标为，点为点的“双逆转点”， ∴， ∴ ∴当时，长度最短时； 故答案为：． ②如图所示，当在内时，过点的直线被所截得的弦长最小时，则， ∵过点的直线被所截得的弦长为，半径为， ∴是等边三角形， ∴， ∴时，符合题意， 如图所示，点坐标为，,(即在直线上，在直线上) ∵， ∴ 当时，即， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，两点距离公式，垂径定理，中心对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 8．(24-25九上·北京回民学校·期中)利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 9．(22-23九上·北京朝阳区·期中)圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】0.8m 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接， ∵，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴水的最大深度为0.8m． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 地 城 考点02 圆心角与圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24·北京·期中)如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，再由同弧所对的圆心角相等及等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：   ， ， 点是劣弧的中点， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决问题的关键． 3．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，，由直径所对的圆周角为直角得，即可求解；掌握 圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 故选：C． 5．(24-25九上·北京第一七一中学·期中)如图，点都在上，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理得，， 故选：． 二、填空题 6．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)为圆上的两个定点，是上的动点（不与重合），若圆半径为，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，由已知得，即得是等边三角形，得到，再分点在优弧和劣弧两种情况，根据圆周角定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当点在优弧时，； 当点在劣弧时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 7．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，圆周角定理，度所对的直角边是斜边的一半，由三角形中位线的性质得，即可得当是的直径时，取最大值，利用直角三角形的性质求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点是上的一个动点， ∴当是的直径时，的值最大， 当是的直径时 ，， ∵， ∴， ∴的最大值是， 故答案为：． 8．(24-25九上·北京回民学校·期中)如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定的最大值时点P的位置是本题的关键．由可知点P在以为直径的圆上，作辅助圆O，确定当P、O、D共线时，最大，最大值即为的长，先根据勾股定理计算的长，就是半径的长，可得的长． 【详解】解：∵， ∴点P在以为直径的圆上， 取的中点为O，画半圆，如图，连接，连接并延长交圆于， ∵在中，， ∴当P、O、D共线时，的长最大，最大值即为的长， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)如图，为的直径，点C是上的一点，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，灵活运用知识点是解题的关键． 首先求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径，点C是上的一点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 10．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和．根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后分两种情况，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，当点在优弧上时，    ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 11．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点的“角坐标”． （1）点的“角坐标”为 ; （2）若点到轴的距离为3，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键． （1）过作轴于，由，可得，进一步得到，再根据“角坐标”定义求解即可； （2）由（1）可得，则过，，三点，且，再由三角形内角和可得，要使得取得最小值，则需取得最大值．根据圆周角和三角形外角确定相切时角度最大即可得答案． 【详解】解：（1）过作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点的“角坐标”为； 故答案为：； （2）由（1）可得， ∴过，，三点，且， ∵， ∴， ∵直线与轴平行， ∴， ∵， ∴直线与相切于点， ∵，， ∴， ∴要使得取得最小值，则需取得最大值． 在直线上任取一点不同于点P的一点，连接交于点Q，连接，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，四边形内接于，为的直径，． 求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等边对等角，平行性质的性质，掌握圆心角相等，则对应弧也相等是解题的关键．根据题意，运用平行线的性质，等边对等角的性质可得，结合圆心角相等，则对应弧也相等的关系即可求证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)已知：如图，内接于，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，则由同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等角和圆内接四边形的性质等可得出，根据等角对等边得出，根据圆周角定理可得出，最后根据等腰三角形三线合一即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形的顶点都在上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴． 15．(24-25九上·北京第二中学·期中)下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，垂线的尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质， （1）按照题干要求作图，即可； （2）按照题干给出的思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可． 【详解】（1）解：作图如下： 线段就是所求作的高； （2）证明：连接，，，，如图， ，， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点，即． ∴为直径，与线段交于点D， （直径所对圆周角为直角） ． 16．(23-24九上·北京三帆中学·期中)已知：如图，在中，．求作：的外接圆．    下面是小张的作法： ①如图，作的垂直平分线； ②作AC的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，长度为半径作圆． 则是的外接圆． (1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形． (2)小李看到他的作法后灵机一动，找到了的内心．下面是小李的作法： 直线与交于点D，连接，交于点I，则点I是的内心． 请你补全下面证明． ∵，经过点O， ∴（    ①   ）（填推理的依据）， ∴ ② （  ③    ）（填推理的依据）． ∵，，∴． ∵与交于点I，∴点I是的内心． 【答案】(1)见解析 (2)垂径定理，，等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）利用垂径定理和圆周角定理可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图，是的外接圆．   ； （2）证明．如图，    ∵，经过点O， ∴（垂径定理）（填推理的依据）， ∴（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）． ∵，， ∴． ∵与交于点I， ∴点I是的内心． 故答案为：垂径定理，，等弧所对的圆周角相等． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外心和内心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型． 地 城 考点03 点直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系． 【详解】如图： ，平分， ， 为的半径， 是的切线， 与的位置关系是相切． 故选：B． 二、填空题 3．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当的值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 4．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在 ．（填“内”、“上”或“外”） 【答案】外 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系的判断，掌握判断二者位置关系的方法是解题的关键；根据点到圆心的距离和半径的大小关系，即可判断求解． 【详解】解：因为的半径为2，点A到圆心O距离是4， ， 点A在外． 故答案为：外． 6．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)将含角的直角三角板，直尺和量角器如图摆放（无重叠部分），其中三角板斜边与直尺边无缝隙，三角板的顶点落在直尺点处，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若在直尺上，点处刻度为，点处刻度为，则该量角器的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，理解图示，确定切线，判定，求出，是解题的重点，掌握切线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵为量角器与三角板的接触点， ∴是半圆的切线，即， ∴， ∵为量角器与直尺的接触点， ∴是半圆的切线，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点处刻度为，点处刻度为， ∴， ∵三角板的顶点落在直尺点处， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该量角器的半径长为， 故答案为： ． 7．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 8．(24-25九上·北京·期中)如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，首先证明是顶角为的等腰三角形，当的值最小时，的值最小，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C、D、P、E四点共圆， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，， ∵，，   ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当时最小是解题的关键． 9．(23-24九上·北京·期中)如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的内接四边形对角互补，掌握性质即可解题． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25九上·北京·期中)如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径，，的半径为5， ，， ， ，， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键． 11．(24-25九上·北京·期中)平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）可得出点的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），进一步判断即可得解； （2）直线过，求出相切时的的值，即可得解； （3）求出与相切时的值，结合题意分析即可得解． 【详解】（1）解：如图1， 设半径的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆， ∵， ∴点M的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点）， ∴点M在圆环内， ∵，，， ∴点，，不是的“内直点”， ∵， ∴是的“内直点”， 故答案为：； （2）解：如图2， ∵， ∴直线过， 设直线与半径为4的圆且与点A和点B，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴或； （3）解：如图3，直线记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与相切于点A，连接， 可得，，，， ∵， ∴， ∴， 如图4，当时，和圆环交于点C， ∴． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了确定圆的条件，直线和圆的位置关系，一次函数的有关知识点，解直角三角形等知识点，解决问题的关键是数形结合的思想． 12．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ，平分， （         ①         ）（填推理的依据）． 为的直径，，在上， （      ②         ）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（         ③         ）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析； (2)等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；②作的角平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；④作直线，，则直线，为的切线； （2）连接，，根据等腰三角形的性质得到，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，， ∴直线，为的切线，如图： （2）证明：连接，， ，平分， （等腰三角形三线合一）， 为的直径，，在上， （直径所对的圆周角是直角）， 半径，半径， 直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）， 故答案为：等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 13．(23-24九上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的判定定理，结合已知即可求证； （２）连接，根据圆内接四边形的性质，结合已知条件，易证,继而求得，根据相似三角形对应边成比例，列式代入即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 直线是的切线． （2）连接，则， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， , ， ， 即， 解得, 所以或（舍去）， 所以的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定定理及性质定理，熟练掌握这些性质和定理，是解题的关键． 14．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知是的直径，弦，垂足为，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题． （1）连接，证明即可； （2）利用相似三角形的性质求出，再利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：连接． ∵，是直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 15．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则，如图，过点E作交于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴ 如图，过点E作交于点F， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长是． 【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．(23-24九上·北京朝阳区·期中)在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)且 【分析】（1）①根据题意作等腰直角，且，此时点的坐标为或点的坐标为，圆的半径为，根据点、、、到圆心的距离与半径比较，即可判断； ②作轴于点，连接，设，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）当圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“等直点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 作等腰直角，且， 此时， ∴点的坐标为或点的坐标为， ∴圆的半径为， ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； 故答案为：，； ②作轴于点，连接， 设，则，， 在中，，即， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 同理，点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或； （2）解：作轴交x轴于点，交直线于点，作直线的垂线，垂足为点，则， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 解得； 如图，同理求得； 当直线经过点或点时，直线上只存在线段的一个“等直点”， 此时或； 综上，的取值范围为且． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切线与圆的性质是解题的关键． 17．(23-24九上·北京西城区·期中)如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论； （2）由（1）知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴ 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 18．(23-24九上·北京·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 地 城 考点04 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接，利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得，得到垂直平分线，即得，得到，再证明可得，据此即可求解． 【详解】解：设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接， ∵垂直平分， ∴，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为，， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出为等边三角形是解题的关键． 3．(23-24·北京·期中)马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，， 为等边三角形， ， ∵点A为的中点，点D为的中点， ∴， （）， （）， 该马面裙裙面的周长为， 故答案为：． 4．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为 ；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用可证得，于是可得，，根据三角形的中位线定理可证得，即是等腰三角形，利用平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可推出，于是可证得是等边三角形，易证得边长为的等边三角形的面积为，因而可得，根据三角形三边之间的关系可知，因而，当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值，此时，据此即可求出面积的最大值． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 点、、分别为、、的中点， 且，且， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， 是等边三角形， 即是等边三角形， 如图，是边长为的等边三角形，是底边上的高， ， ， ， 对来说， ， 又， ， 当取得最大值时，取得最大值， 在中，， 当、、三点共线时，即点在延长线上时，取得最大值， 此时，， ， 面积的最大值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的定义，两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定，三线合一，勾股定理，三角形的面积公式，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题 5．(23-24九上·北京·期中)如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕点O逆时针旋转后的； (2)在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积： （1）依据旋转变换的性质画出图形即可； （2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积扇形的面积扇形的面积，由此计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由勾股定理，得：， ∴线段扫过的面积为：． 6．(24-25九上·北京海淀区·期中)在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据题意给定的距离系数定义化解绝对值即可； （2）利用距离系数的定义，用表示，根据距离系数小于，解含绝对值不等式即可； （3）①根据题意，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，得到点关于点A的距离系数的最小，进行计算即可； ②当，找到点E和点D所在位置，且点E、D和A共线时，满足条件，延长交x轴于点J，由题意可得，求得和，根据平行求得，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，则， ∵， ∴，，； 故关于点A的距离系数为1的是：和； （2）∵，， ∴线段：， ，即：， ∴或， ∴或， ∴当两个点的横坐标间的距离越远，越小， ∴当点离点横坐标最远时：， 当离点横坐标最远时：， 综上：或； （3）①由可知，当正方形上的点到，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段关于点A的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点关于点A的距离系数的最小：此时：； ②如图，当，点E在上，点D在上(D和E可以互换位置)，且点E、D和A共线时，满足条件， 延长交x轴于点J，由题意可得，，解得， 则， ∵， ∴， 则，解得， 那么， 故答案为∶． 【点睛】本题考查坐标系中新定义下的距离系数运算，涉及化解对绝对、解含绝对值的一元一次不等式、正方形的性质和平行线所截线段成比例，解题的关键是理解给定得运算并熟练解含绝对值的不等式． 7．(24-25九上·北京朝阳外国语学校来广营初中部·期中)如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． (1)依题意补全图形，并证明； (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，考查等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，全等三角形的判定和性质，解题时作出正确辅助线是关键． （1）依据题意，读懂题意即可作图；依据题意，由，，从而，又，进而可以判断得解； （2）依据题意，延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，．由是中点，从而，，又，从而，可得，同理可得，，进而可得，证得，故即可判断得解； 【详解】（1）证明：补全图形如图． ，， ． ， ， ，即； （2）解：为等腰三角形，． 理由：延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，， 是中点， ，， 由题意，，， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ． 为等腰三角形． 8．(24-25九上·北京海淀外国语实验学校2·期中)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 4大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角与圆周角 考点03 点直线圆的位置关系 专题04 正多边形和圆 地 城 考点01 垂径定理 一、填空题 1．(24-25九·北京丰台区·期中)如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      二、解答题 3．(24-25九上·北京·期中调研)如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 4．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接． (1)求证：： (2)若，求的长． 5．(24-25九上·北京·期中)如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 6．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知是的直径，弦，垂足为，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点作如下变换，将点绕点逆时针旋转得到点，再将点绕点逆时针旋转后得到点，则称点为点的“双逆转点”． (1)若点为线段上的一点，则在点，，中，点的“双逆转点”可能为__________； (2)若点的“双逆转点”在轴上，请写出一个满足条件的点的坐标__________； (3)若点坐标为，点为点的“双逆转点”， ①当长度最短时，求的值； ②已知半径为，若存在过点的直线被所截得的弦长为，则的取值范围为__________． 8．(24-25九上·北京回民学校·期中)利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 9．(24-25九上·北京朝阳区·期中)圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 地 城 考点02 圆心角与圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．(23-24·北京·期中)如图，是的两条直径，点是劣弧的中点．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京第一七一中学·期中)如图，点都在上，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)为圆上的两个定点，是上的动点（不与重合），若圆半径为，，则的度数为 ． 7．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是 ． 8．(24-25九上·北京回民学校·期中)如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 9．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)如图，为的直径，点C是上的一点，，则 ． 10．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为 ． 11．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接，．若，，则我们把叫做点的“角坐标”． （1）点的“角坐标”为 ; （2）若点到轴的距离为3，则的最小值为 ． 三、解答题 12．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，四边形内接于，为的直径，． 求证：． 13．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)已知：如图，内接于，是的直径，．求的度数． 14．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，四边形的顶点都在上，边为直径，延长、交于E且，求证：． 15．(24-25九上·北京第二中学·期中)下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 16．(23-24九上·北京三帆中学·期中)已知：如图，在中，．求作：的外接圆．    下面是小张的作法： ①如图，作的垂直平分线； ②作AC的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，长度为半径作圆． 则是的外接圆． (1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形． (2)小李看到他的作法后灵机一动，找到了的内心．下面是小李的作法： 直线与交于点D，连接，交于点I，则点I是的内心． 请你补全下面证明． ∵，经过点O， ∴（    ①   ）（填推理的依据）， ∴ ② （  ③    ）（填推理的依据）． ∵，，∴． ∵与交于点I，∴点I是的内心． 地 城 考点03 点直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 二、填空题 3．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 4．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ． 5．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)已知的半径为2，点A到圆心O的距离是4，则点A在 ．（填“内”、“上”或“外”） 6．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)将含角的直角三角板，直尺和量角器如图摆放（无重叠部分），其中三角板斜边与直尺边无缝隙，三角板的顶点落在直尺点处，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若在直尺上，点处刻度为，点处刻度为，则该量角器的半径长为 ． 7．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 8．(24-25九上·北京·期中)如图，等边三角形中，为边上一动点，，垂足分别为则的最小值为 ． 9．(23-24九上·北京·期中)如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是 ． 三、解答题 10．(24-25九上·北京·期中)如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 11．(24-25九上·北京·期中)平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r． (1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是 ； (2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围； (3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围． 12．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，； ②作的角平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ④作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ，平分， （         ①         ）（填推理的依据）． 为的直径，，在上， （      ②         ）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（         ③         ）（填推理的依据）． 13．(23-24九上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 14．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知是的直径，弦，垂足为，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 16．(23-24九上·北京朝阳区·期中)在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 17．(23-24九上·北京西城区·期中)如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．(23-24九上·北京·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 地 城 考点04 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳外国语学校·期中)图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为 ，阴影部分的面积为 ． 3．(23-24·北京·期中)马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为 ． 4．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，与中，，，，连接，点、、分别为、、的中点，则的度数为 ；若，，在绕点任意旋转的过程中，则面积的最大值是 ． 三、解答题 5．(23-24九上·北京·期中)如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕点O逆时针旋转后的； (2)在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 6．(24-25九上·北京海淀区·期中)在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数． (1)当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________； (2)已知点，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________； (3)已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）． ①线段关于点的距离系数的最小值为________； ②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________． 7．(24-25九上·北京朝阳外国语学校来广营初中部·期中)如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． (1)依题意补全图形，并证明； (2)判断的形状，并证明． 8．(24-25九上·北京海淀外国语实验学校2·期中)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 试卷第1页，共3页 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $