第四章 图形的相似 单元综合达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．10 B．15 C．8 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度是（     ） A．6.4m B．7m C．8m D．9m 6．已知，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 7．下列各组图形相似的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 8．下列图形一定相似的是（ ） A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形 C．有两边成比例的两个直角三角形 D．有两边成比例的两个等腰三角形 二、填空题 9．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为 cm．      10．如果把一个三角形的三边长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的高扩大为原来的 倍． 11．如图，在中，，中线相交于点O．若，，则的长为 ． 12．把长为的线段黄金分割，那么较短线段的长为 ． 13．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB= ，AP：AB= ． 14．已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ． 三、解答题 15．以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． (1)如图： ． (2)在上找点，使． (3)在上找点使． 16．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB和AC上的点，DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE. 17．如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，求的长． 18．如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值） 19．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴ 故选：A 3．D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 4．D 【分析】由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可求出结论． 【详解】解：设与相较于O，    ∵四边形是菱形，，，， ∴，，， 由勾股定理得到：， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；证明是解决问题的关键． 5．C 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【详解】解：因为人和旗杆均垂直于地面， 所以构成的两个三角形相似， 设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ， 解得： 经检验：符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了考查相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6．C 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，再根据比例的性质，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 7．B 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】：解：①形状不同，故错误； ②形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； ③两个菱形，边的比相等，而对应角对应相等，故正确； ④两个直角梯形，边的比相等，而对应角度数相同，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 8．A 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A、两个直角三角形，直角相同，有一个锐角相等，故符合题意； B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； C、有两边成比例的两个直角三角形，不一定是对应边，故不符合题意； D、有两边成比例的两个等腰三角形，不一定是对应边，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 9．90或30 【分析】证明，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度 【详解】设， ∵矩形EFGH的面积为，∴. ∵，∴． 又∵AM，AD分别为与的高，∴， 即，解得，， ∴EH的长为90cm或30cm． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键 10．4 【分析】将一个三角形的三边扩大为原来的4倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，即可得解． 【详解】解：由题意，得：新的三角形与原三角形相似，相似比为：， 两个三角形的面积比为：，边长之比为， ∴高之比为 即：这个三角形的高扩大为原来的4倍； 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的性质，是解题的关键． 11．/ 【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到解题即可． 【详解】解：∵E为的中点， ∴ ∴ 连接， 则是的中位线， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 12．（12−4） 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，依此根据黄金分割的公式，求出较短的线段． 【详解】解：∵将长度为8cm的线段进行黄金分割， ∴较短的线段＝8×＝（12−4）cm． 故答案为（12−4）． 【点睛】考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的 ． 13． 7：5； 2：7． 【分析】根据直接求解即可． 【详解】解：由题意AP：PB=2：5， AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+5）：5=7：5； AP：AB=AP：（AP+PB）=2：（2+5）=2：7．     故答案为7：5；2：7． 【点睛】本题考查比例的合比性质和反比性质，解题关键是能够根据已知条件得到线段之间的关系． 14． 【分析】本题考查黄金分割点的定义及求线段长，根据题意，作出图形，由黄金分割点的定义列式代值求解即可得动答案，熟练掌握黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由，如图所示： 是线段的黄金分割点， ， ，设， ，即， 解得或（舍去）， 故答案为：． 15．(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 即：； （2）如图所示：点即为所求； （3）如图所示：点为所求． 16． 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD=3BD， ∴， 又∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17．． 【分析】首先过点O作OMAB，交BC于点M，易得，，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得出答案． 【详解】解：过点O作OMAB，交BC于点M， 四边形ABCD是平行四边形 ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用． 18．窗口的高度为1.4m 【分析】根据题意知AE∥BD，可得∠AEC=∠BDC；从而得到△AEC∽△BDC，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度． 【详解】解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD， 所以∠AEC=∠BDC. 又因为∠C是公共角， 所以△AEC∽△BDC，从而有. 又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2， 于是有， 解得  AB=1.4(m)． 答：窗口的高度为1.4m．. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质应用，解题关键是证明两个三角形相似，利用比例式求解． 19．见解析 【分析】由平行四边形的性质得出∠B=∠D，由平行线的性质得出∠DFA=∠BAE，即可证出△ADF∽△EBA． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠DFA=∠BAE， ∴△ADF∽△EBA． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，由平行线的性质得出∠DFA=∠BAE是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $