精品解析：广东省深圳市龙岗区平冈中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市平冈中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 集合，，则＝（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】由题意可知， ∴， 故选：D 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （    ） A. 或1 B. 或2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及图象特征列式求解. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 4. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C 6. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据奇偶性的定义判断BD；根据奇偶性的定义及幂函数的单调性判断C. 【详解】对于A，当时，为减函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 则函数不是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且， 所以函数是偶函数， 当时，为增函数，故C正确； 对于D，的定义域为， 且，所以函数不是偶函数，故D错误. 故选：C 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解. 【详解】对，满足， 等价于函数在上单调递增， 又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减. 则可化为， 解得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及已知可得且，结合指对数关系判断各项正误. 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于D，，正确． 故选：BCD 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，根据已知由判断A；由判断B；由判断C；由判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】， ，解得． 故答案为：． 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，原题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，分离参数可解. 【详解】设， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， ． 故答案为： 14. 已知函数（其中，且）. （1）若，则实数的值是_________； （2）若的值域为，则实数的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，由分段函数解析式直接求解即可；第二空，通过，，，分别讨论即可. 【详解】（1）由解析式可得：， 所以， 所以， （2）当时，的值域为， ，函数在单调递增，值域为： ， 显然不符合函数的值域为； 当时，的值域为， ，函数在单调递增，值域为： ， 若函数的值域为，则需满足，解得：， 故实数的取值范围为； 当时，显然不符合题意； 当时，的值域为， ，函数在单调递减，值域为： ，显然不符合函数的值域为； 综上实数的取值范围为； 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）解下列不等式： ①；②. （2）计算下列各式的值： ①； ②； ③. 【答案】（1）①；②；（2）①17；②；③. 【解析】 【分析】（1）①通过因式分解即可求解；②由指数函数的单调性即可求解； （2）①②③由指对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）①不等式可化为：， 即， 解得， 所以不等式的解集为； ②不等式可化为：， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得， 所以不等式的解集为； （2） ； ② ； ③. 16. 已知函数. （1）写出的分段函数形式的解析式； （2）画出函数的图象； （3）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 的图象如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）直接对函数化简即可； （2）分别画出和的图象，从而可得的图象； （3）分和两种情况解不等式即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由，得，，得， 当时，由，得，，得， 综上，实数的取值范围为. 17. 函数在区间上的最小值记为. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数图象的对称轴，判断函数在所给区间上的单调性，即可求得答案. （2）分类讨论函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，结合函数的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，，其图象对称轴为， 故在区间上单调递减，在上单调递增, 则， 故函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 函数图象的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 故； 当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在区间上单调递减， 故； 故. 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，解得： 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省深圳市平冈中学高一（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则＝（    ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （    ） A. 或1 B. 或2 C. 1 D. 4. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 5. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A. B. C. D. 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____． 14. 已知函数（其中，且）. （1）若，则实数的值是_________； （2）若的值域为，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）解下列不等式： ①；②. （2）计算下列各式的值： ①； ②； ③. 16. 已知函数. （1）写出的分段函数形式的解析式； （2）画出函数的图象； （3）当时，求实数的取值范围. 17. 函数在区间上的最小值记为. （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求的最小值. 18. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $