强基训练七 锐角三角函数 2026年中考数学复习

强基训练七 锐角三角函数 一、单选题 1．若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．中，，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是（    ） A．已知a与∠A B．已知a与c C．已知∠A与∠B D．已知c与∠B 5．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　） A．60 B．30 C．240 D．120 6．角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8，则tan∠COE＝（   ） A． B． C． D． 8．如图在梯形ABCD中，，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（　　） A．3 B．2 C． D． 二、填空题 9．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）．                                                      10．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 11．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ． 12．如图，长为米的梯子搭在墙上与地面成角，则此时梯子的顶端距离地面约 米．（精确到米） 13．如图是某支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α，若AO＝85cm．BO＝DO＝65cm．问：当α＝60°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 cm．（结果保留到0.01，≈1.732）    14．在中，，点D在边上，．若，则 ． 三、解答题 15．计算： 16．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 17．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 18．计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D C B A 1．A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下即可，A项符合题意 故选：A． 2．B 【分析】根据直角三角形中正切值的求法直接可得出答案． 【详解】 设的对边为，的对应边为b，的对应边为c，由题意可得： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的求法是解题的关键． 3．C 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可． 【详解】连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴△BCD是直角三角形，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 4．C 【分析】根据解直角三角形的方法和计算进行判断． 【详解】解：∵已知a和A，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠B＝∠C－∠A，c＝，b＝csinB. 故选项A错误． ∵已知c和a，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴b＝，sinA＝，sinB＝. 故选项B错误． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知A和B，∠A＋∠B＝∠C＝90°， ∴只能知道直角三角形的三个角的大小，而三条边无法确定大小． 故选项C正确． ∵已知c和B，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＝∠C－∠B，a＝csinA，b＝csinB． 故选项D错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的方法，解题的关键是熟知解直角三角形的方法． 5．D 【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积． 【详解】如图所示， 由tanA＝， 设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x， 由题意得：12x+5x+13x＝60， 解得：x＝2， ∴BC＝24，AC＝10， 则△ABC面积为120， 故选D． 【点睛】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 6．C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 7．B 【详解】试题分析：∵直径AB=10， ∴OA=OC=OB=5， ∵AB⊥CD， ∴E为CD的中点，又CD=8， ∴CE=DE=4， 在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2=CE2+OE2， ∴OE=3， 则tan∠COE=． 故选B． 考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义． 8．A 【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取则四边形MDCB为正方形，可证得≌，从而得到，∠MBN=∠CBE，再证得≌可得AN=AE，设 则DM=DC=2a，在中，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取， ∵，AD⊥CD， ∴BM⊥BC，CD⊥BC， ∴∠D=∠NMB=∠C=90°， ∴四边形BCDM是矩形， ∵BC=CD， ∴四边形MDCB为正方形， ∴BM=CD，MD=BC=2AD， ∵BC=CD， ∴BM=BC， ∵∠NMB=∠C=90°，， ∴≌， ，∠MBN=∠CBE， ， ， ， ∵AB=AB， ∴≌ ∴AN=AE，∠AEB=∠BNM， 设 则DM=DC=BM=2a， ∴ ， ． 故选A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答． 9．（0，4+） 【分析】根据已知得出，进而得出，求出的长，进而得出点坐标. 【详解】过点作轴于点， 机器人从点沿着西南方向行了个单位， ， 到达点后观察到原点在它的南偏东的方向上， ， ， 点的坐标为：. 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出的长是解题关键. 10． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 11． 【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4， ∴AB=． ∴sin∠ABC=． 12．3.28 【分析】在地面、梯子以及墙三者形成的直角三角形中，已知一个锐角和斜边，求对边，依据正弦函数即可求解． 【详解】 解： 在直角△ABC中，∠ABC=55°， ∵sin∠ABC=， ∴AC=AB•sin∠ABC=4×sin55°≈3.28（米）． 【点睛】本题考查正弦函数的定义，解关键是把实际问题抽象成数学问题． 13．129.90 【分析】过点A作AE⊥直线BD于点E，由∠BOD＝60°及BO＝DO，可得出△BOD为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠OBD＝60°，再在Rt△ABE中，通过解直角三角形可求出AE的长． 【详解】解：过点A作AE⊥直线BD于点E，如图所示， 在△BOD中，∠BOD＝α＝60°，BO＝DO， ∴△BOD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝AO+OB＝150cm， ∴AE＝AB•sin∠ABE＝150×≈129.90cm． 故答案为：129.90．    【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法． 14．/ 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握在直角三角形中的解直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，过点D作，垂足为E，设，则，设，分别求出和，利用，求出, 分别在和中，表示出，列式化简，即可得出，即可求解， 【详解】解：根据题意画出图形，如图，过点D作，垂足为E， ∵， ∴设，则，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴, 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．-5 【详解】试题分析：根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可． 试题解析：原式=4﹣2×+1﹣9， =﹣5． 考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、特殊角的三角函数值 16．． 【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：原式 ． 17．（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 18．1 【分析】先计算特殊角的三角函数，然后合并即可. 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $