第4章 概率 单元综合达标测试题 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

第4章 概率 一、单选题 1．不透明的袋子里装有8个小球，其中5个红色，3个蓝色，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大 B．从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性一样大 C．从中随机抽取6个球，一定有蓝色的 D．从中随机抽取5个球，可能都是红色的 2．有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 3．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（    ） A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定 B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同 C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5 D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518 4．一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 5．在一个不透明的口袋中装有个白球、个黄球、个红球、个绿球，除颜色其余都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到某种颜色的球的频率稳定在左右，则小明做实验时所摸到的球的颜色是（ ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．绿色 6．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　） A． B． C． D． 7．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（    ）. A．男、女生做代表的可能性一样大 B．男生做代表的可能性较大 C．女生做代表的可能性较大 D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定 8．如图，一个圆形转盘被分成了6个圆心角都为的扇形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（  ） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 9．李同学掷一枚质地均匀的骰子，点数为2的一面朝上的概率为 . 10．“任意买一张电影票，座位号是的倍数”，此事件是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 11．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 合格的头盔数 合格头盔的频率 请估计该工厂生产个头盔，合格的头盔数有 个． 12．在拼图游戏中，从图（1）的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图（2）的概率为 ． 13．小红在一次班会中参与学科知识抢答活动，现有语文题5个，数学题5个，英语题5个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是 ． 14．在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 个． 三、解答题 15．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 16．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转到数字10是______（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）； (2)转动转盘，转出的数字大于3的概率是______； (3)现有两张分别写有3和4的卡片，若随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 17．甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转盘被等分为三份，分别标有数字1，2，；转盘也被等分成三份，分别标有数字，，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，记下两个转盘指针所指的数字之和．若指针所指数字之和为正数，则甲胜；指针所指数字之和为负数，则乙胜．    (1)转动转盘一次，指针所指数字为负数的概率是__________； (2)请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平． 18．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 (1)计算“5点朝上”的频率___________； (2)小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是___________； (3)小颖和小红各投掷一枚骰子，若两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数，则小颖获胜，若两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数，则小红获胜，请问游戏对双方公平吗？ 19．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数； (3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果） 20．随着初三的到来，同学们都进入紧张的初三冲刺阶段，为了了解年级同学们每天作业完成时间情况，现对年级部分同学进行调查统计，并制成如下两幅不完整的统计图：（其中A代表完成作业时间2小时，B代表完成作业时间2.5小时，C代表完成作业时间3小时，D代表睡眠时间3.5小时，E代表睡眠时间4小时），其中扇形统计图中“C”的圆心角为90°，请你结合统计图所给信息解答下列问题： (1)共抽取了　 　名同学进行调查，同学们的完成作业时间的中位数是　 　小时，并将条形统计图补充完整； (2)抽取调查的同学中，D类学生有两男两女，E类学生有两男一女，现要从D、E两类学生中各抽取一名同学，了解其每天晚上作业时间安排的具体情况，则抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了随机事件，通过概率说明可能性大小，理解随机事件，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：A．从中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，抽到蓝球的概率为，结论正确，不符合题意； B．从中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，抽到蓝球的概率为，结论错误，符合题意； C．因为只有个红球，所以从中随机抽取6个球，至少有个是蓝色的，结论正确，不符合题意； D．从中随机抽取5个球，可能都是红色的，结论正确，不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球上数字之和是6的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 和 1 3 4 0 1 3 4 2 3 5 6 5 6 8 9 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球上数字之和是6的结果共2种， ∴摸出的两个球上数字之和是6的概率为． 故选：B． 3．A 【分析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得． 【详解】A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确； B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误； C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误； D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键． 4．D 【分析】本题考查了概率，可能性的大小，理解概率的意义是解题的关键， 【详解】解：从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是绿球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是黄球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是红球，故该选项不符合题意； ．因为9个球中，红球的数量最多，则摸出的球是红球的可能性大，故该选项符合题意； 故选：D． 5．C 【详解】试题解析：因为白球的概率为：； 因为黄球的概率为：＝0.2； 因为红球的概率为：＝0.3； 因为绿球的概率为：＝0.35． 故选C． 6．B 【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率． 【详解】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况， 其中a+1，a+2为分母的情况有4种， 所以能组成分式的概率==． 故选B． 【点睛】本题考查了概率公式，分式的定义，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 7．B 【分析】根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】∵某班有25名男生和24名女生， ∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为=， 女生当选的可能性为=， ∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性． 故选B． 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 8．C 【详解】设圆的面积为6， ∵圆被分成6个相同扇形， ∴每个扇形的面积为1， ∴阴影区域的面积为3， ∴指针指向阴影区域的概率. 【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=. 9． 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子有6种等可能结果，点数为2的一面朝上的可能有1种， ∴概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键． 10．随机 【分析】本题考查随机事件、必然事件和不可能事件的概念，根据概念判断事件类型．必然事件：在一定条件下一定发生；不可能事件：在一定条件下一定不发生；随机事件：可能发生也可能不发生，结果具有不确定性． 【详解】解：电影院的座位号通常包含的倍数和非的倍数， 因此，“座位号是的倍数”可能发生，但并非必然，也并非完全不可能， 根据定义，这属于随机事件． 故答案为：随机． 11． 【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：估计该工厂生产个头盔，合格的头盔数有（个）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在概率附近左右摆动，并且随实验次数的增加摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，正确理解频率估计概率是解决本题的关键． 12． 【分析】本题考查了用树状图事列表法求事件的概率，正确画出树状图或列表，找出所有等可能的结果数及某事件发生的可能结果数是解题的关键；画出树状图，可以得到所有等可能的结果数有12种，能拼成“小房子”的有8种情况，由概率公式即可求解． 【详解】解：分别用A与B表示三角形与矩形， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能拼成“小房子”的有8种情况， ∴任取两张纸片，能拼成“小房子”(如图2)的概率等于：． 故选A． 13． 【详解】试题分析：抽到数学题的概率=数学题的数量÷所有题目的数量．P（抽到数学）=． 考点：概率的计算． 14．3a 【分析】设盒子中大约有白球x个，根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数＋白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】解：设袋中白球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝3a， 经检验x＝3a是分式方程的解， 所以估计盒子中大约有白球3a个， 故答案为：3a． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 16．(1)不可能事件 (2) (3)这三条线段能构成三角形的概率是． 【分析】（1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，由概率公式可得； （3）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得． 【详解】（1）解：转到数字10是不可能事件， 故答案为：不可能事件； （2）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率是， 故答案为：； （3）解：∵4-3<第三边的长<4+3，即1<第三边的长<7， ∴与3和4能组成三角形的有2，3，4，5，6， ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是． 【点睛】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，熟练掌握三角形三边间的关系是解题的关键． 17．(1) (2)这个游戏对甲乙两人公平，理由见解析 【分析】（1）根据A转盘被等分成三份，1，2，各占三分之一圆，推出指针所指数字为负数的概率是； （2）根据A转盘被等分成三份，1，2，各占三分之一圆，B转盘被等分成三份，，，3各占三分之一圆，然后列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，即可求解． 【详解】（1）解：∵A转盘被分成三份，1，2，各占三分之一圆，负数只有一个即 ∴指针所指数字为负数的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏对甲乙两人公平，理由如下： 根据题意，列表如下： 所以一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因为， 所以这个游戏对甲乙两人公平． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 18．(1)； (2)； (3)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由他们共做了60次实验，5点朝上的有20次，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）由他们共做了60次实验，4点朝上的有8次，能求出概率，则在投掷第61次骰子时，概率是一样的； （3）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数和5的倍数的情况，再利用概率公式求出各自获胜的概率，进而可求得答案． 【详解】（1）解：“5点朝上”的频率为：； 故答案为：； （2）解：4点朝上的概率是， 小颖在投掷第61次骰子时，4点朝上的概率是， 故答案为：； （3）列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的有9种情况，两枚骰子朝上的点数之和为5的倍数的有7种情况， ∴小颖获胜的概率为：，小红获胜的概率为：， ∵， ∴游戏对双方不公平． 19．(1)100人，见解析 (2)144°； (3)“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【分析】（1）根据阅读时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出阅读时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以360°即可求得答案； （3）分别求得可能性大小后比较即可确定正确的答案． 【详解】（1）本次调查的学生有30÷30%=100（人）， 阅读1.5小时的学生有：100-12-30-18=40（人）， 补全的条形统计图如右图所示， 故答案为：100； （2）360°×=144°， 即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数144°； （3）“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为， ∴“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 故答案为：“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．(1)20，3，补图见解析；(2). 【分析】（1）由B情况的人数及其所占比例可得总人数，再分别求得C、A情况的人数，最后利用中位数的定义求解可得； （2）列表得出所有可能的情况数，再找出一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】(1)共抽取的同学人数=6÷30%=20（人）， 睡眠时间3小时左右的人数（人），睡眠时间2小时的人=20﹣6﹣5﹣4﹣3=2（人）， 按照睡眠时间从小到大排列，各组人数分别为2，6，5，4，3，共有20个数据， 第10个和第11个数据都是3小时，它们的平均数也是3小时， ∴同学们的睡眠时间的中位数是3小时左右； 将条形统计图补充完整如图所示： (2)列表得： 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 所有等可能的情况有12种，刚好是一男一女的6种， 抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $