精品解析：陕西省渭南市临渭区育红初级中学2025—2026学年上学期九年级期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中检测九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无法确定 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的系数为，，， ∴ ， ∴方程有两个相等的实数根． 故选B． 2. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3. 如图，直线，交于点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理的应用是解题的关键．根据平行线分线段成比例得出的比例关系，再通过设参数的方式化简计算，求出最终比值． 【详解】解：∵ ， ∴， 设, 则， 设, 则． ． 故选：A． 4. 小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率、根据概率公式计算概率，根据题意画出树状图，找出恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：如图，画出树状图， ∴共有6种等可能的结果，其中恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数为2种， ∴恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率． 故选：A． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A. B. 4 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 7. 小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用与一元二次方程的求解，解题的关键是将函数值代入解析式，解一元二次方程并结合实际意义取舍． 将高度代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求解后根据水平距离的实际意义排除负值，得到结果． 【详解】解：已知羽毛球行进的高度与水平距离的关系为， 当时，代入得， 整理得， 解得：， 因为水平距离，而， 所以羽毛球飞出的水平距离为． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，连接，点关于直线对称的点落在上，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和勾股定理求出，由折叠得到，然后求出，即可求出答案． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵点关于直线对称的点落在上， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是一元二次方程的一个解，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入中，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：把代入中， 得：， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，在菱形ABDC中，∠B=40°，点E在CD上，点A在线段DE上的垂直平分线上，则∠BAE的度数为__________． 【答案】110° 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AB=BD，∠BAD=∠BDA=70°=∠ADE，根据垂直平分线的性质和等边对等角得到∠ADE=∠AED=70°，从而算出∠DAE，相加即可． 【详解】解：∵四边形ABDC是菱形， ∴AB=BD，∠BAD=∠BDA， ∵∠B=40°， ∴∠BAD=∠BDA=70°=∠ADE， ∵点A在线段DE上的垂直平分线上， ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=70°， ∴∠DAE=40°， ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和等边对等角，解题的关键是根据图形的性质得到相等线段，从而计算角的度数． 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 32 57 87 125 155 177 302 投中频率 根据以上信息，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到十分位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率的方法结合表格可得答案． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员投篮一次，投中的概率约是． 故答案为：． 12. 某县在举行旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛中参赛队伍的支数为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（单循环比赛场次问题），解题的关键是掌握单循环比赛总场次公式，并根据题意列方程求解． 根据单循环比塞总场次公式列出方程，求解后结合实际意义取舍得到参赛队伍数． 【详解】解：设参赛队伍有支，则单循环比赛的总场次为． 由题意，， 即， 解得或， 因为队伍数为正整数，故舍去， 故答案为：10． 13. 生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中AB，并且线段的黄金分割点有两个． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵P为叶脉的黄金分割点， ∴． 故答案为． 14. 如图，在矩形中，点是边的中点，连接，，过点作，交于点，连接交于点．若，，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，交于点，由矩形的性质得到，，，则，所以，则，而，则，由，求得，则，可证明，由，求得，则，再证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，交于点，则， 四边形是矩形，点是边的中点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用配方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ，． 16. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 用提取公因式法来进行因式分解求解方程即可． 【详解】解：， 提取公因式，得， ∴或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，方程的解为：． 18. 如图，在中，点是边上一点，且，若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质；证明可得，即可求解. 【详解】解：，， ， ∵，， ， ， ， 或（舍去）， 的长是2. 19. 如图，正方形的顶点，分别在正方形的边，上，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形和四边形都是正方形，则，，则，，证明，然后通过全等三角形性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 20. 列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． 设道路的宽度为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． 21. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 将圆形转盘四等分并标上字母、、、， 任意转动转盘一次，选到“、讲一讲革命故事”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种， 甲和乙选到不同活动项目的概率为． 22. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 23. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 24. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 25. 如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． ()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； ()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 26. 【问题提出】 （1）如图①，平分，延长至点，使得．若，，，求的长； 【问题解决】 （2）为开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块正方形生物基地，如图②，在正方形中，大门，分别在边，的中点处，沿，，修建三条灌溉水渠，水渠，交于点，在水渠与的交点处安装一个水流调节控制器，根据设计要求，的平分线交于点，沿修建了一条小路，过点作，交于点，沿修建一条特色小路，若米，求特色小路的长． 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】（1）通过角平分线和等腰三角形的性质找出相等的角，从而证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例求出线段长度． （2）如图，过点作，，垂足分别为，．先证，得出，再证，则．可得，，的长，再由，可得．可得，，，的长．再由，．可得 ，的长．再由．可得的长为． 【详解】解： 平分， ． ， ． ． ， ． ，即． 解得． （2）∵四边形是正方形， ，，． ． 点，分别为边，的中点， ． ． 在和中 ． ． ， ． ． ，， ． ． ，． ． ， ． ． ，，． ． 如图，过点作，，垂足分别为，． 平分， ． ，，， ． ． ，． ，． ． ． ， ． ． ． 即特色小路的长为米． 【点睛】本题主要运用角平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质以及全等三角形的判定和性质来求解．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中检测九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无法确定 D. 没有实数根 2. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，交于点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A. B. 4 C. 10 D. 7. 小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度与水平距离之间满足的关系为，若羽毛球行进的高度为，则羽毛球飞出的水平距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，连接，点关于直线对称的点落在上，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是一元二次方程的一个解，则_____． 10. 如图，在菱形ABDC中，∠B=40°，点E在CD上，点A在线段DE上的垂直平分线上，则∠BAE的度数为__________． 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 32 57 87 125 155 177 302 投中频率 根据以上信息，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到十分位）． 12. 某县在举行旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛中参赛队伍的支数为_____． 13. 生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 14. 如图，在矩形中，点是边的中点，连接，，过点作，交于点，连接交于点．若，，则线段的长度为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 如图，在中，点是边上一点，且，若，，求的长． 19. 如图，正方形的顶点，分别在正方形的边，上，连接，．求证：． 20. 列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度 21. 某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A-讲一讲革命故事，B-说一说家乡变化，C-写一写美好愿望，D-画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-讲一讲革命故事”的概率是_____________； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 22. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 23. 如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 25. 如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 26. 【问题提出】 （1）如图①，平分，延长至点，使得．若，，，求的长； 【问题解决】 （2）为开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块正方形生物基地，如图②，在正方形中，大门，分别在边，的中点处，沿，，修建三条灌溉水渠，水渠，交于点，在水渠与的交点处安装一个水流调节控制器，根据设计要求，的平分线交于点，沿修建了一条小路，过点作，交于点，沿修建一条特色小路，若米，求特色小路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $