第十五章轴对称单元练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 单元练习 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．中，，，所对的边分别为，，，根据下列选项不能判定是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 3．如图，，，，点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．若点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，线段，点是线段上一动点，以为边作等边，以为底作等腰，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．若点与点关于x轴对称，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D．6 7．如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 11．如图，是平分线上的一点，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为 ． 12．如图，等边中，平分，点P、Q分别为上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 13．如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为轴，镜面所在直线为轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部点的坐标是，则对应虚像火焰顶部点的坐标是 ． 14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为  ． 15．如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 三、解答题 16．如图，已知中，，是边上一点，是边上一点，且． (1)若，求的度数？ (2)若，求的度数？ (3)探索与的之间的数量关系并证明． 17．如图，在中，点在边上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，连接，，使得． (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 18．如图，在中，，，垂足为．动点从点出发沿边向终点以的速度匀速运动，同时动点从点出发沿射线以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止．连接，交射线于点，连接．设点运动的时间为． (1)若点在线段上运动，则当为何值时，和相等？ (2)试探索与之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，在长方形纸片中，点E在边上，点F在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上；将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则_． (2)若，求的度数． 20．如图1，和中，，，，点D在上，连接． (1)你认为与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． (3)如图2，若，，若，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A D A C B C C 1．A 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握判定条件是解题关键． 根据等腰三角形的判定条件有两个角相等或两条边相等，结合三角形内角和定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：根据有两角相等或两边相等的三角形是等腰三角形分析，得 A、，，是等腰三角形，故选项A不符合题目要求； B、，，是等腰三角形，故选项B不符合题目要求； C、，，即，是等腰三角形，故选项C不符合题目要求； D、，且，，，不能判定是等腰三角形，故选项D符合题目要求． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键，由已知条件可证明，可知，，在等腰中可求得，利用邻补角的定义可求得，进而得到，由即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 【详解】解：∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为， 故选：A． 5．D 【分析】连接，结合等边三角形性质、等腰三角形性质证明，由全等三角形性质得，推得点在的角平分线上，结合含角的直角三角形特征、垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接， 等边，以为底的等腰， ，，， 在和中， ， ， ， 点在的角平分线上， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形特征、垂线段最短，解题关键是作出合适的辅助线． 6．A 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键．根据点与点关于轴对称，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ∴， ． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折叠后对应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得、，将的周长转化为，代入边长计算． 【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ∵，，， ∴，， （）， 的周长（）， 故选：B． 9．C 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为 故选：C 10．C 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 11．或或 【分析】本题考查了等边对等角，分类讨论若，若，若，三种情况即可求解； 【详解】解：由题意得：； 若，如图所示： 则， ∴； 若，如图所示： 则； 若，如图所示： 则， ∴； 故答案为：或或 12．11 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为11． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了对称，先确定镜面所在的对称轴，再根据平面镜成像原理以及关于轴对称的点的坐标规律求出点坐标． 【详解】解：镜面所在直线为轴建立平面直角坐标系， 关于轴对称， 纵坐标不变，横坐标互为相反数，即． 14．3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 15．①②④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 在和中，， ∴， ∴，， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 16．(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，关键是进行推理和总结规律． （1）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可; （2）方法同（1）可得 的度数是； （3）根据（1）（2）的结论猜出并证明即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的度数是； （2）解：同理可得：， （3）解：，理由如下： 根据题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 17．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了尺规作图——线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点E，根据线段垂直平分线的性质可知，结合已知条件即可利用证得，故点E为所求； （2）由，可得的周长，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求， 由作图可知，， 又∵，， ∴， ∴点E即为所求； （2）解：∵，，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴的周长． 18．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，进而可证，由三角形全等的性质得，根据题意分别用表示，解方程即可； （2）过点作于点，于点，由角平分线的性质得，结合，代入三角形的面积公式即可； 本题主要考查了等腰三角形、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 当时， 在和中， ， ∴， ∴． 由题意得， ∴， ∴， 解得． 则时，和相等． （2）．理由如下： 过点作于点，于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练运用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1 ）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2 ）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∵点恰好落在边 BC上， ． ， ， ， ， 由折叠的性质，知， ． 20．(1)，理由见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识． （1）由，推导出，即可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，由，得，因此，即可知的度数； （3）由全等三角形的性质得，，由， 得，因此，结合含角的直角三角形的性质即可求出的长度． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 即． （3）， ，， ， ， ， 即， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $