第十五章 轴对称 单元复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章《轴对称》五星版单元复习讲义 人教版（2025）八年级数学上册 · 第十五章 轴对称（约10课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 15.1 轴对称与轴对称图形；15.2 线段的垂直平分线；15.3 等腰三角形（含等边三角形）；15.4 最短路径问题；信息技术应用：用轴对称设计图案 核心素养 几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识（由直观对称走向性质证明） 本单元不涉及 平面直角坐标系中的对称（七年级下册）；中心对称；勾股定理（八年级下册） 课标对接 “图形与几何”领域基础内容；经历“观察—猜想—证明”过程，会用轴对称与等腰三角形的性质解决最短路径等实际问题；综合与实践按项目式学习设计 单元知识导航 本单元的知识主线：从生活中的轴对称现象出发 → 认识轴对称图形与成轴对称 → 研究线段的垂直平分线（性质与判定）→ 深入等腰三角形与等边三角形（等边对等角、三线合一）→ 用对称性解决最短路径问题 → 用轴对称设计图案。对称是自然界与数学中最重要的结构之一。 图1　第十五章《轴对称》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 轴对称图形 一个图形沿一条直线对折，直线两旁部分能完全重合；这条直线叫对称轴 对称轴是“直线”，不是线段；平行四边形不是轴对称图形 成轴对称 两个图形沿一条直线折叠后能互相重合，这两个图形关于这条直线成轴对称 轴对称图形是“一个图形”，成轴对称是“两个图形” 垂直平分线 性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；判定：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上 性质与判定要分清：由“垂直平分”得“距离相等”，由“距离相等”得“在垂直平分线上” 等腰三角形 等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；等角对等边 “三线合一”仅指顶角平分线、底边中线、底边高 等边三角形 三边相等；三个内角都等于60°；三线合一与轴对称性质都成立 等边三角形是特殊的等腰三角形（底边＝腰） 最短路径 将军饮马模型：作对称点，化折线为直线，用“两点之间线段最短” 对称点作在“动点所在直线”的另一侧 图2　轴对称图形与成轴对称 图3　常见轴对称图形的对称轴数量 图4　等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 图5　线段垂直平分线的性质 一、基础巩固（概念过关，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列图形中，不是轴对称图形的是（　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．圆　D．正方形 A2（选择·★）下列说法正确的是（　） A．轴对称图形一定是两个图形　B．成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后互相重合 C．平行四边形是轴对称图形　D．等腰三角形有两条对称轴 A3（填空·★）等边三角形有＿＿条对称轴，正方形有＿＿条对称轴，圆有＿＿条对称轴。 A4（选择·★）如图6，直线l垂直平分AB，垂足为M，P是l上一点，PA＝8，则PB＝（　） A．4　B．6　C．8　D．16 图6　垂直平分线性质（A4） A5（选择·★）等腰三角形的一个底角是50°，则顶角是（　） A．50°　B．80°　C．100°　D．130° A6（填空·★）等腰三角形的顶角为80°，则它的两个底角各为＿＿°。 A7（选择·★）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。下列结论错误的是（　） A．∠BAD＝∠CAD　B．BD＝DC　C．AD平分BC　D．∠B≠∠C A8（填空·★）等边三角形的每个内角都等于＿＿°。 A9（选择·★）“将军饮马”问题中，求最短路径的关键方法是（　） A．作垂线段　B．作对称点　C．量角器量角　D．作中线 A10（填空·★）到线段两端距离相等的点，一定在该线段的＿＿上。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（选择·★★）下列图形中，对称轴最多的是（　） A．等边三角形　B．正方形　C．圆　D．等腰梯形 B2（选择·★★）下列说法正确的是（　） A．到线段两端距离相等的点有且只有一个 B．线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 C．两个全等图形一定成轴对称 D．等腰三角形顶角的平分线不一定垂直底边 B3（填空·★★）等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角可能是＿＿°或＿＿°。 B4（填空·★★）如图7，l垂直平分AB，P在l上，PA＝6，则PB＝＿＿；若在AB上取一点M，使MA＝MB，则M在＿＿上。 图7　垂直平分线性质（B4） B5（解答·★★）如图8，小河l一侧有A、B两个村庄，要在河边建一个水泵房P，使PA＋PB最小。请说明点P的位置应如何确定，并说明理由。 图8　将军饮马模型（B5） B6（证明·★★）如图9，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 图9　等角对等边（B6） 三、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·美术·★★★）如图10，一个“笑脸”图案由轴对称图形组成。（本题6分） (1) 画出它的对称轴； (2) 若把这个图案沿对称轴折叠，图形中哪些部分会完全重合？请举两例说明。 图10　轴对称图案识别（C1，示意） C2（跨学科·工程·★★★）如图11，自来水厂要沿直线l铺设管道，把水送到l同侧的A、B两个小区，在l上选一点P接入主管道，使AP＋PB最短。（本题6分） 图11　将军饮马模型（C2） (1) 说明点P的确定方法； (2) 作点A关于l的对称点A′后，若测得A′B＝7km，求最短路线AP＋PB的长。 C3（证明·★★★）如图12，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。（本题4分） (1) 求证：△ABD≌△ACD； (2) 若∠B＝60°，判断△ABC的形状并说明理由。 图12　等腰三角形三线合一（C3） C4（证明·★★★）如图13，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC。求证：△ABC是等边三角形。（本题4分） 图13　等边三角形判定（C4） 综合与实践 · 项目式学习 【项目名称】设计轴对称图案：为校园设计一枚对称徽标（美术·信息科技·数学） 任务1　观察：收集身边的轴对称图形（校徽、剪纸、建筑、交通标志），记录对称轴。 任务2　设计：用轴对称变换设计一枚徽标草图，标出对称轴与对应元素。 任务3　制作：用折纸、剪纸或电脑绘图（可借助AI工具生成参考方案）完成作品。 任务4　说理：说明作品用了哪些轴对称性质（对称点、对应线段相等、对应角相等）。 任务5　分享：班级展示并互评，评选“最佳对称徽标”。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主。本项目融合美术（图案设计）、信息科技（AI辅助绘图）与数学（轴对称性质），体会数学之美与创造之美。 评价维度 分值 评价标准 观察记录 20 收集素材不少于5个，对称轴判断正确 设计创意 30 图案有对称美感，元素安排合理 制作完成 20 作品完整，折纸/绘图质量良好 数学说理 20 能正确说明使用的轴对称性质 展示交流 10 讲解清楚，能参与互评 延伸思考：轴对称是重要的图形变换。九年级学习二次函数时，抛物线的图象关于对称轴对称；圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴。对称思想贯穿中学几何。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 能区分轴对称图形与成轴对称，会数常见图形的对称轴 2 会用垂直平分线的性质与判定解决距离问题 3 会用等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”与“等角对等边” 4 会判断等边三角形（三边相等或三角相等或“等腰＋60°”） 5 会用对称点法解决最短路径问题 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分40分，每题5分） M1（选择·★）下列图形中，是轴对称图形的是（　） A．平行四边形　B．梯形　C．等腰三角形　D．直角梯形 M2（填空·★）等腰三角形的底角为40°，则顶角为＿＿°。 M3（选择·★）线段垂直平分线上的点到线段两端的（　）相等 A．线段　B．距离　C．角度　D．面积 M4（选择·★★）等边三角形的对称轴有（　） A．1条　B．2条　C．3条　D．无数条 M5（填空·★★）如图14，l垂直平分AB，P在l上，PA＝x＋3，PB＝9，则x＝＿＿。 图14　垂直平分线求值（M5） M6（填空·★★）等腰三角形顶角为120°，则每个底角为＿＿°。 M7（选择·★★）下列结论正确的是（　） A．两个全等图形一定成轴对称　B．成轴对称的两个图形一定全等 C．所有四边形都是轴对称图形　D．等边三角形不是等腰三角形 M8（证明·★★）如图15，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点。求证：AD⊥BC（可借助△ABD≌△ACD说明）。 图15　三线合一证明（M8） 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．找对称轴三步：先观察图形是否可对折重合；再尝试不同方向（横、竖、斜）；最后数清条数。 2．等腰三角形问题优先标“两腰、两底角”：已知一角，先判断它是顶角还是底角，再列式计算。 3．“三线合一”反着用：已知等腰＋底边中点，可得顶角平分线与高。 4．最短路径固定流程：作对称点 → 连线段 → 找交点 → 说明理由。 5．限时自评：基础＋提升部分建议40分钟内完成，对照答案解析记录丢分类型。 衔接展望（教师参考）：轴对称是图形三大变换（平移、旋转、轴对称）之一，也是九年级二次函数、圆的对称性、以及全等与相似中常见辅助线思想的基础。学生题目中不涉及上述超纲内容。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它判断错在“对称轴判断”还是“等腰计算” 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（如换一个等腰三角形的角），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用课本性质逐条检验AI解析（如三线合一的适用条件） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 轴对称图形 vs 成轴对称 把“两个图形关于直线对称”说成轴对称图形 轴对称图形是一个图形自身；成轴对称是两个图形之间 对称轴是直线 把对称轴写成线段或折痕 对称轴是一条直线（可无限延长），折叠时沿直线对折 平行四边形误判 认为平行四边形有对称轴 平行四边形沿任意直线对折都不能重合，不是轴对称图形 等腰三角形一角定身份 已知一个角40°直接当底角 40°可能是顶角或底角，需分类讨论（40°/40°/100°或70°/70°/40°） 三线合一范围 认为任意角的平分线都与对边中线重合 仅等腰三角形“顶角平分线、底边中线、底边高”三线合一 最短路径画错点 把对称点作在动点所在直线的同侧 对称点作在直线另一侧，连线与直线交点才是最短点 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（每题5分，共50分） A1　B。解析：平行四边形沿任意直线对折都不能完全重合，不是轴对称图形；A、C、D都是轴对称图形。 A2　B。解析：成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后互相重合；A错（轴对称图形是一个图形），C错（平行四边形不是），D错（等腰三角形只有1条对称轴）。 A3　3；4；无数。解析：见知识清单图3。 A4　C。解析：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PB＝PA＝8。 A5　B。解析：顶角＝180°－2×50°＝80°。 A6　50。解析：底角＝(180°－80°)÷2＝50°。 A7　D。解析：等腰三角形“三线合一”：AD是高、中线、顶角平分线，∠B＝∠C成立；D说“∠B≠∠C”错误。 A8　60。解析：等边三角形三个内角都等于60°。 A9　B。解析：将军饮马关键方法是作对称点，化折线为直线。 A10　垂直平分线。解析：垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上。 （二）能力提升（每题5分，共30分） B1　C。解析：圆有无数条对称轴，等边三角形3条、正方形4条、等腰梯形1条。 B2　B。解析：A错（垂直平分线上有无数个点），C错（全等不一定成轴对称，还需位置关系），D错（等腰三角形顶角平分线一定垂直底边，三线合一）。 B3　40；100。解析：若40°是顶角，底角各70°；若40°是底角，顶角为180°－80°＝100°。 B4　6；垂直平分线。解析：PB＝PA＝6；MA＝MB说明M到两端距离相等，M在AB的垂直平分线上。 B5　作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，点P即为所求。理由：PA＝PA′，PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，由“两点之间线段最短”知A′B是最短路线，故P使PA＋PB最小。评分要点：作对称点2分，连线找交点2分，理由1分。 B6　证明：作AD平分∠BAC交BC于D（或作AD⊥BC）。方法一（角平分线法）：∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（AAS），AB＝AC。方法二（作高法）：AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），AB＝AC。评分要点：构造辅助线2分，全等判定2分，结论1分。 （三）综合应用（共20分） C1　(1) 对称轴为笑脸图案竖直中线（左右对称）；(2) 例1：两只眼睛关于对称轴对称；例2：嘴角两端点关于对称轴对称。评分要点：对称轴2分，每例2分。 C2　(1) 作点A关于l的对称点A′，连接A′B，与l的交点即P（理由同B5将军饮马）。(2) 由对称性PA＝PA′，最短路线AP＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝7km。评分要点：方法3分，计算3分。 C3　(1) 证明：AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故∠BAD＝∠CAD，BD＝DC（三线合一）。(2) ∠B＝60°时△ABC是等边三角形。理由：AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，∠A＝180°－60°－60°＝60°，三个角都等于60°，故△ABC是等边三角形。评分要点：第(1)问2分，第(2)问2分。 C4　证明：AB＝AC，∠B＝∠C（等边对等角），又∠A＝60°，∠B＝∠C＝(180°－60°)÷2＝60°，三个角都等于60°，故△ABC是等边三角形。（也可用“等腰三角形有一个角是60°即为等边三角形”直接判定。）评分要点：推理3分，结论1分。 （四）月考仿真小测（每题5分，共40分） M1　C。解析：等腰三角形是轴对称图形（1条对称轴）；平行四边形不是轴对称图形。 M2　100。解析：顶角＝180°－2×40°＝100°。 M3　B。解析：垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 M4　C。解析：等边三角形有3条对称轴（三条中线所在直线）。 M5　6。解析：PB＝PA，9＝x＋3，x＝6。 M6　30。解析：底角＝(180°－120°)÷2＝30°。 M7　B。解析：成轴对称的两个图形一定全等；A、D错误（见易错辨析）；C错误。 M8　证明：D是BC的中点，BD＝DC；又AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∠ADB＝∠ADC；又∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC。评分要点：全等判定3分，垂直结论2分。 说明：本讲义题目为原创，情境数据为教学示例数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $