第6章图形的相似 单元综合达标测试题 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

2025-2026学年苏科版九年级数学下册《第6章图形的相似》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 3．已知，如图，直线，，，，则的长（   ） A． B． C． D． 4．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 5．如图，在锐角中，上的高交于点，连接，图中与相似的三角形共有（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．无法确定 6．在平面直角坐标系中，已知线段，点，，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 7．如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（   ） A．6 B． C．3 D．4 8．如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若，且，则 ． 10．如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若位似比为，的周长是6，则的周长是 ． 11．如图，，，，，则 ． 12．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为 13．如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m． 14．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 15．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是 ． 16．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上，连接交轴正半轴于点，连接，，若，则的面积是 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 18．如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 19．在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 20．如图，三个顶点坐标分别为、、. (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为_____； (2)作图：请在线段上找一点使得. 21．如图，已知中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 23．在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比的性质是解题的关键；利用已知比例，通过代入法或分式运算求解目标表达式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键． 利用相似多边形对应边的比相等列比例式求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴，即， ∴． 故答案为：C． 3．D 【分析】由可得，求出的长，即可得的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，正确的列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为，据此求解即可． 【详解】解：由黄金分割比例可知该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∵雕像总高度为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查的是相似三角形判定，牢记判定方法是解题关键，由题意可得，证明，易证，由对顶角相等可得，易证，得到，易证，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ∴图中与相似的三角形共有3个． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 以原点为位似中心进行位似变换时，点的对应坐标可能为原坐标乘以相似比（同侧）或乘以相似比的相反数（异侧）． 【详解】解：∵位似中心为原点，相似比为， ∴点的对应点的坐标为即或即． 故选C． 7．C 【分析】该题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，连接，根据是等腰三角形，O是底边的中点，得出，根据腰与相切于点D，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边的中点， ∴， ∵腰与相切于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 即树的高度为； 故选：B． 9．/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键．由已知比例关系可得各分子与分母的对应关系，代入所求式子即可化简得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，， 则， 故． 故答案为：． 10．9 【分析】本题考查位似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似比等于相似比，而相似图形的周长比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：是以点为位似中心经过位似变换得到的，位似比为， 则相似比为， ∵的周长是6， ∴的周长为． 故答案为：9． 11．3 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据平行线得到比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 12．6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据矩形的性质求出相等的角，证明，得出对应边成比例，求出，然后根据线段的数量关系和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 13．9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出相等角，判定出，得出对应边成比例，然后代数求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：9． 14．24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是 故答案为：24． 15． 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 16． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，相似的判定和性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达，熟练掌握相似的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．过点作轴于，过点作轴于，证明和相似得，则，设，则，其中，进而得点，点，利用待定系数法求出直线的表达为，继而得点，则，由此得． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ， ， ， 设，则，其中， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的表达式为：， 得 将代入①得 设直线的表达式为：， 当时， ， 故答案为：． 17．， 【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）由等腰三角形等边对等角及等角的补角相等，可得，再由已知即可证明； （2）由（1）中相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．旗杆的高是． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形， 所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 20．(1)点， (2)作图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据在轴上的变化量为，轴上的变化量为，，计算求出点的坐标为． 【详解】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）解：作图如下： 21．(1)证明见详解； (2)． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：是的直径， ， ， ， ， ； （2）是的直径， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键． 22．(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 23．(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【详解】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 学科网（北京）股份有限公司 $