第6章 图形的相似（复习课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学第六章“图形的相似”复习课件，系统涵盖比例线段、黄金分割、相似三角形性质与判定、位似图形等核心知识，通过单元知识图谱串联各考点逻辑，以“考点串讲+题型剖析+针对训练”分层梳理，构建从基础概念到综合应用的知识网络。 其亮点在于融合新课标核心素养，如设计“城楼高度测量”等实际应用题培养数学眼光，通过折叠、动点等题型训练推理意识，位似与坐标系结合强化空间观念。分层训练覆盖基础题到综合题，适配不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识巩固与应用能力。

单元复习课件 第六章 图形的相似 苏科版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；。 3.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化； 2. 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题。 4.结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 单元学习目标 单元知识图谱 考点1、线段的比与成比例线段 比值是比的结果，它是一个数，没有单位，也不能写成 a∶b 的形式. 在同一单位下，两条线段长度的比称为这两条线段的比，记为 a∶b 或 ； 补充习题长与宽的比值为_________; 线段的比 考点串讲 考点1、线段的比与成比例线段 成比例线段 在四条线段 a、b、c、d 中，如果前两条线段(a与b)的比等于后两条线段(c与d)的比，那么这四条线段叫作成比例线段． 在比例式中，a、b、c、d 叫比例的项. 两端的两项叫作外项（如a、d）,中间的两项叫作内项（如b、c）. 注意: 成比例的四条线段是有顺序的,不能随便颠倒位置. 考点串讲 在小学，我们学过比例的基本性质： 如果a:b＝c:d 或 ，那么ad ＝bc； 反过来： 如果ad ＝bc(b≠0，d≠0)，那么a:b＝c:d或 . 定 义： 在比例式 a:b＝b:d 中，我们就把 b 叫作 a 和 d 的比例中项，此时有 b2＝ad 外项之积等于内项之积 比例中项 考点1、线段的比与成比例线段 考点串讲 考点1、线段的比与成比例线段 比例的性质 比例的性质 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质： （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 考点串讲 题型一、线段的比与成比例线段 例1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm 【详解】 由于，故不成比例，故A选项错误； 由于，故不成比例，故B选项错误； 由于，故不成比例，故C选项错误； 由于，故成比例，故D选项正确． 故选：D． D 题型剖析 题型一、线段的比与成比例线段 例2.已知，则 ． 【详解】解：设 故答案为： 题型剖析 题型一、线段的比与成比例线段 例3.已知线段，线段，线段是线段，的比例中项， 则线段 ． 【详解】解：因为：线段是线段，的比例中项， 所以：， 因为：线段，线段， 所以：， （负根不合题意舍去）． 故答案为：． 题型剖析 ，则＝ ． 【详解】设k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把x＝3k，y＝4k，z＝5k代入． 故答案为． 2.已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（    ） A． B．6 C．36 D． 【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，且，， ∴，∴， 又∵为线段长度，∴， ∴，故选：B B 针对训练 3.已知，则（     ） A．1 B． C．1或 D．2 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． C 针对训练 4.若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：A.∵，∴，正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，正确，不符合题意； C. ∵，∴，∴，∴，∴，正确，不符合题意； D.当时，原式不成立，故选项D符合题意， 故选：D D 针对训练 5.已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 即， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 1或 2 针对训练 考点2、黄金分割 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫作把线段AB黄金分割，点 C 叫作线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB， 黄金分割 考点串讲 考点2、黄金分割 你认为线段AB还有其他的黄金分割点吗？ A B C C A B 结论：一条线段有2个黄金分割点 黄金分割点 考点串讲 黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种： ①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：； ②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比： 考点2、黄金分割 黄金分割 考点串讲 黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 考点2、黄金分割 21÷34 ≈ 0.618 21 34 黄金矩形 考点串讲 题型二、黄金分割 例4.已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是 (     ) A． B．C． D． C 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A.由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B.由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C.由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D.∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 题型剖析 例5.如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）   A． B． C． D． 题型二、黄金分割 C 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 题型剖析 1.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【详解】解：∵是的黄金分割点，， ∴， ∴； 即：②、④正确，③错误； ∵， ∴①错误， ∵②、④正确， 故选：B ． B 针对训练 2.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． C 针对训练 考点3、平行线分线段成比例 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. A B C D E F l1 l2 l3 a b 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时， 一定要注意对应线段写在对应的位置上. 考点串讲 考点3、平行线分线段成比例 推 论 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角 形相似. 用符号语言表示为： 在∆ABC中，DE//BC， ∴∆ADE∽∆ABC. A 型相似 考点串讲 考点3、平行线分线段成比例 推 论 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角 形相似. 用符号语言表示为： 在∆ABC中，DE//BC， ∴∆ADE∽∆ABC. A 型相似 考点串讲 考点3、平行线分线段成比例 推 论 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角 形相似. 用符号语言表示为： 在∆ABC中，DE//BC， ∴∆ADE∽∆ABC. A 型相似 考点串讲 考点3、平行线分线段成比例 推 论 2.平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似. 用符号语言表示为： 在∆ABC中，DE//BC， ∴∆ADE∽∆ABC. 8字型相似 考点串讲 例6.如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ． 【详解】解：直线， ， ， 故答案为：． 题型三、平行线分线段成比例 题型剖析 例7．如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝ ． 【详解】过点D作DH∥BE交AC于H， ∵DH∥BE， ∴，， ∴AE＝EH，CH＝3EH， ∴AE：AC＝1：5， 故答案为：1：5． 题型三、平行线分线段成比例 1:5 题型剖析 1.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． C 针对训练 2.如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（    ）  A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． A 针对训练 3.如图，在中，，，与相交于点，则 . 【详解】解：作交于，作交于，如图所示： ∵∴，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 题型剖析 考点4、相似多边形 相似多边形 名称 定义 性质     相似多边形 形状相同的图形叫做相似图形   相似多边形的 对应角相等， 对应边成比例 两个边数相同的多边形，如果它们的 角分别相等，边成比例，那么这两个 多边形叫做相似多边形.相似多边形 对应边的比叫做相似比 考点串讲 例8.若两个相似多边形的面积之比为1：4 ，则它们的周长之比为 . 【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为1：4 ， ∴两个相似多边形的相似比为1：2 ， ∴两个相似多边形的周长比 两个相似多边形的相似比为1：2 . 故答案为： 1：2 ． 题型四、相似多边形 1：2 题型剖析 1.如图，四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’ ．则 y 的长为 ． 【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’ ， ∴ ，即 ， 解得 ， 故答案为： ． 针对训练 考点5、相似三角形的性质 相似三角形的性质   性质 对应角相等，对应边成比例 对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 对应线段的比等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 考点串讲 例9.若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 题型五、相似三角形的性质 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． D 题型剖析 例10.已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ． 【详解】解：设最长边为x， 的三条边分别为、、，最短边为3， ， 解得， 即最长边为5， 故答案为：5． 题型五、相似三角形的性质 5 题型剖析 1.如图，点P在的边上，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C C 针对训练 2.已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的面积比为， 设两个三角形的面积分别为：，由题意，得： ， ∴， ∴它们的面积和为：； 故答案为：104． 104 针对训练 考点6、相似三角形的判定 相似三角形的定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似 如图，∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,∠C＝∠C′； 则△ABC与△A'B'C'相似， 记作“△ABC∽A'B'C'。 考点串讲 相似三角形的判定 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 符号语言： 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC. A 型相似 8字型相似 考点6、相似三角形的判定 考点串讲 相似三角形的判定 2 两角分别相等的两个三角形相似． 用符号语言表示为： 在∆ABC与∆A'B'C'中 ∠A ＝∠A'， ∠B ＝∠B'， ∴∆ABC∽∆A'B'C' A A 相似 考点6、相似三角形的判定 考点串讲 相似三角形的判定 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 用符号语言表示为： 在∆ABC和∆A'B'C'中， ∠A ＝∠A' 那么∆ABC∽∆A'B'C'. 考点6、相似三角形的判定 考点串讲 相似三角形的判定 4 三边成比例的两个三角形相似 用符号语言表示为： 在∆ABC 和∆A'B'C'中， 如果 那么∆ABC∽∆A'B'C'. 考点6、相似三角形的判定 考点串讲 例11.如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是 （写出一个条件即可）． 【详解】解：添加，可以使两个三角形相似． ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 题型六、相似三角形的判定 题型剖析 例12.如图，在中，若，，，则的长为 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为12． 题型六、相似三角形的判定 12 题型剖析 1.如图，在中，分别为的中点，则的面积与四边形的面积比为（    ）   A． B． C． D． 【详解】解：∵在中，分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积与四边形的面积之和， ∴的面积与四边形的面积比为， 故选：C． C 针对训练 2.如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，，与相交于点，若，则（   ）  A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 故选：C． C 针对训练 3.如图，已知，相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ．（填一个即可） 【详解】解：补充条件即可； ∵（对顶角），， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 针对训练 4.如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．  (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； 针对训练 4、如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．  (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（2）解：∵， 设，则 在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形，， ∵点为的中点，， ， ，，，且， ，解得，． 针对训练 5.如图，在中，是上的一点，连接，．  (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． 针对训练 考点7、图形的位似 下面两幅图是相似形吗？认真观察看它们还有什么特征？ A B C D E F M N O 1) 每个图形形状相同； 2) 每组对应点所在的直线都经过同一点. 如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，任意一组对应点到位似中心的距离之比叫作他们的位似比. 考点串讲 如图，如果两个多边形上的顶点A与A'，B与B'，…，P与P'，……所在的直线的连线AA'，BB'，…，PP'，…都经过同一点O，并且满足 那么这两个多边形叫作位似多边形； 点O叫作位似中心. OA' OA = OB OB' =…= OP OP' = 位似比 … O A B P A' B' P' 任意一组对应点到位似中心的距离之比 叫作位似比 考点7、图形的位似 考点串讲 O A B P A' B' P' 位似图形的性质: 1.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 2.位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 3.对应边互相平行或在同一直线 4.判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形， 其次每一对对应点所在直线都经过同一点. 5.位似图形一定是相似图形， 但相似图形不一定位似图形. 考点7、图形的位似 考点串讲 A B P O A' B' P' 注意: (1)位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； (2)两个位似图形的位似中心只有一个； (3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； (4)位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 考点7、图形的位似 考点串讲 A B P O A' B' P' 注意: (5)位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 (6)根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形 , 这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 考点7、图形的位似 考点串讲 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 图 考点7、图形的位似 考点串讲 例13.如图，△AOC 三个顶点坐标分别为 A (4，4)，O (0，0)，C (5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化有何变化. -2 -4 -6 -8 -8 2 -4 6 -2 4 -6 8 -10 2 4 6 8 10 y O x A (4，4) C (5，0) A '(8，8) C' (10，0) A''(-8，8) C'' (-10，0) 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它和原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x，y），对应位似图形上的点的坐标为 （kx,ky）或（-kx,-ky）. 题型七、图形的位似 题型剖析 例14.如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确； B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确； C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确； D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误． 故选：D． 题型七、图形的位似 D 题型剖析 例15.在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行， ∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心， 故选：B． 题型七、图形的位似 B 题型剖析 1.如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF位似，则下列说法正确的是（    ） A．位似中心是点D B．位似中心是点G C．位似比为 D．位似比为 【详解】解：如图，连接、、， 在正方形网格中，与位似，点是的中点， 位似中心在点，之间，，故选项A，B错误， 相似比为， 位似比为，故选项正确，D错误， 故选：． C 针对训练 2.如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． (1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是______； (3) ______． 【详解】（1）解：位似中心为点，位似比，已知，，，∴对应点的坐标分别是，，， 连接点，如图所示， （2）由（1）知，故答案为：； 针对训练 2.如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． (1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是______； (3) ______． 【详解】（3）如图，连接，， ，，， ∴， ∴设，则， ∴, 故答案为：． 针对训练 题型八、相似三角形中的折叠问题 例16.如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，由勾股定理，得． ∵与关于成轴对称， ∴，∴．∵， ∴，∴，∴， ∴．故选：B． B 题型剖析 如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是 ． 【详解】解：易证∴，， 由折叠性质得，，，， ∴，则    （负值舍去），∴， 如图，，， ∴，设，则， 由得，解得， 综上，点E坐标为，故答案为 针对训练 例17.下图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 题型九、相似三角形中的格点问题 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，∴，故答案为：； （2）解：①点如图所示， ②点如图所示， 考点串讲 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【详解】（1）解：图1中，∵，∴，故答案为：． （2）解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P，∵，∴， 解得：，∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点，连接，交于点P， ∵，∴，∴点P即为所要找的点． 针对训练 例18.如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 考点十、相似三角形中的动点问题 题型剖析 例18.如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ 【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． 考点十、相似三角形中的动点问题 题型剖析 例18.如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (2)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ 【详解】（2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． 考点十、相似三角形中的动点问题 题型剖析 例18.如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (3)几秒钟后，与相似？ 【详解】（3）解：当时， 即，解得 当时，，即， 解得，或． 考点十、相似三角形中的动点问题 题型剖析 如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为 【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时， 设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． ，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是=， 解得，t= 针对训练 如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为 【详解】解：（2）当△APQ∽△ACB时，， 设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是 ， 解得t=4． 故答案为：秒或4秒． 针对训练 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 依题意，， ∴， ∵，∴，∴，即， 解得：， ∵， ∴城楼的高度为米 考点十一、相似三角形中的实际应用 例19.某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度． 题型剖析 1.某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图， ，，， ， 又根据题意，得， ， ，，即 ，解得：， ，答：这棵树的高度为． 针对训练 2.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ． 【详解】如图，设树高为AB，过点C作CD⊥AB于D，则CD=1.1+1.6=2.7米，DB=1米， ∵同一时刻物高与影长成正比例， ∴，解得：AD＝3， ∴AB＝AD+DB＝3+1＝4（米）． 故答案为：4米． 针对训练 1.比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫作比例的项．两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 课堂总结 2.比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即=AB×BC），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB , BCAB≈0.382AB ，AC与AB的比叫作黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 课堂总结 4．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 课堂总结 5．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 课堂总结 6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法． 相似的基本图形可分别记为“A” 型和“8” 型， 如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 课堂总结 感谢聆听! $