精品解析：安徽省六安市裕安中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

裕安中学2025年秋学期期中考试 九年级数学学科试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移1个单位 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 如图，，若，，则等于（ ） A. 3 B. 10 C. 6 D. 12 6. 已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A. 10 B. 5 C. D. 7. 中，分别在上，那么下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，，的延长线交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数图像的顶点坐标为_____________． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 13. 在ΔABC中，若AB=,AC=4，∠B=30°，则=__________________. 14. 如图，在四边形中，，点E在上，且， （1）若，则______（用含的式子表示）. （2）若，则的值为______． 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 16. 已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 18. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_______． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点在轴上，若和的面积相等，求点的坐标． 21. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 22. 中，，，对角线． （1）如图1，求的长． （2）如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是以为腰的等腰三角形时，求的值． ②当时，则的值为 ． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 裕安中学2025年秋学期期中考试 九年级数学学科试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， A.由得，不符合题意； B. 不符合题意； C. 符合题意； D. 由得，不符合题意； 故选：C． 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到， ∴要得到二次函数的图象，需将的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位． 故选：B． 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 5. 如图，，若，，则等于（ ） A. 3 B. 10 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知平行线分线段成比例定理的性质．根据可得，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ． 故选：B． 6. 已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的解析式为：，E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k． 【详解】解：设双曲线的解析式为：，E点的坐标是（x，y）， ∵E是OB的中点， ∴B点的坐标是（2x，2y）， 则D点的坐标是（，2y）， ∵△OBD的面积为10， ∴×（2x﹣）×2y＝10， 解得，k＝， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 7. 中，分别在上，那么下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 【详解】解：如图， 、∵，， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 、∵，， ∴， ∴，，不能判断，原选项错误，不符合题意； 、添加条件，不能得出，即不能判断，原选项错误，不符合题意； 、添加条件，不能判断，原选项错误，不符合题意； 故选：． 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 9. 如图，是的中线，，的延长线交于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质与判定，三角形的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．如图，过D作交于M，证明，结合，可得，设，则，可得，再证明，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过D作交于M， ， ， ， ， 设，则， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数图像的顶点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 13. 在ΔABC中，若AB=,AC=4，∠B=30°，则=__________________. 【答案】或 【解析】 【详解】试题解析：分两种情况进行讨论: ①如图，作于, ②作于, 故答案为或. 14. 如图，在四边形中，，点E在上，且， （1）若，则______（用含的式子表示）. （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）过点E作于点F，过点C作，交的延长线于点G，根据得，再根据，得，由此即可得出答案； （2）设，，，由勾股定理得，设，根据平行线分线段成比例定理得，则，进而得，证明和相似得，则，然后在中，根据正切函数的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）过点E作于点F，过点C作，交的延长线于点G，如图所示：   ，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）， 设，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设， ，，， ， 根据平行线分线段成比例定理得：， ， ， ， ，， ， 由（1）可知：， ∽， ， ， ， 在中，. 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 16. 已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】（1），， （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【小问1详解】 解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； 【小问2详解】 解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 17. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 18. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度约 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用．延长交直线于点C，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可得解． 【详解】解：延长交直线于点C，如图， ∵， ∴, ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故教学楼的高度约． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． （1）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形． （2）若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_______． 【答案】（1） 如图，为所求； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质，求出原三角形各顶点经过位似变换后的坐标，再进行画图即可； （2）根据位似变换中坐标的变化规律求解． 本题主要考查了位似变换的性质，以及坐标与图形的变化，熟练掌握位似变换中坐标的变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：以原点为位似中心，相似比为，在轴左侧进行位似变换， ∴ 点变换后的坐标为， 点变换后的坐标为， 点变换后的坐标为， 然后连接三点即可得到． 【小问2详解】 解：∵ 以原点为位似中心，相似比为， ∴ 点放大后的对应点的坐标为， 故答案为：． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点在轴上，若和的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式；设一次函数的解析式为，将，代入根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在y轴的正半轴上；M点在y轴的负半轴上，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得，解得， ， ， ， ， ， 点的坐标为或． 21. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 22. 中，，，对角线． （1）如图1，求的长． （2）如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是以为腰的等腰三角形时，求的值． ②当时，则的值为 ． 【答案】（1） （2）①；②2 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线，将平行四边形的问题转化为直角三角形问题，利用三角函数和勾股定理来求解的长度． （2）①先根据，求出的长度，根据是等腰三角形，且，进而得到的长度，最后通过构造相似三角形来求解的值；②通过作辅助线构造相似三角形，利用平行四边形性质、相似三角形性质以及角度关系，结合等边三角形的判定与性质来推导式子的值． 【小问1详解】 解：过点作于点． ∵在中，，， ∴，． ∴． ． 在中，，， 由勾股定理得：． ∴； 【小问2详解】 解：①∵,， ∴． 由（1）知，，， ∴． 又∵， ∴是直角三角形，． ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∴是等边三角形，则， 过作交于， ∴，是等边三角形； ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形性质与勾股定理求解． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $